“起承转合”——“图形的测量”结构化学习四部曲

摘 要：小学数学结构化学习就是学生将所学集结后，构筑新的结构并潜移默化，形成个人的学习结构。“图形的测量”结构化学习是通过“起承转合”四部曲，形成学习的整体过程，建构知识结构关联系统，形成整体教学结构，循环推进，专注提升学生数学素养。

关键词：结构化学习;图形的测量;关联;连续;循环

所谓结构化，是指将逐渐积累起来的知识加以归纳和整理，使之条理化、纲领化，做到纲举目张。从汉语词典来看，结即集结，构即构筑，化即潜移默化。结构化学习，即为将所学集结后，构筑新的结构并潜移默化。

美国认知心理学家布鲁纳指出：“掌握事物的结构，就是以允许许多别的东西与它有意义地联系起来的方式去理解它。简单地说，学习结构就是学习事物是怎样相互关联的。”小学数学结构化学习就是从数学知识的本原出发，着眼于数学整体知识的建构，通过对学习内容内部各关键元素之间的结构关联分析，建立起课时内容与同单元其他课时内容、同领域其他单元内容、同学科其他领域内容以及学科外世界的结构关联分析，做到纵向连贯，横向融通，不断丰盈课时内容的深刻内涵和丰富外延，让学生实现从由外而内的结构理解，到由内而外的创生发展。

文章作法讲究“起承转合”。“起”是开始;“承”是“起”的延续，寻找既能承接“起”，又能启下的元素;“转”跟“承”有情绪逻辑上或事实逻辑方面的关系;“合”将做情绪、逻辑、意义上的揭示和升华。写文章如此，“图形的测量”结构化学习亦如此。

一、 起——溯源：回到本源，聚焦测量本质

史宁中教授指出，度量就是计算所要度量的图形包含多少个度量单位。王林、沈重予主编的《小学数学内容分析与教学指导》中进一步阐述了测量的方法：“测量的本质就是用具有同一属性的测量单位去填充、覆盖或匹配。”从中可以看出，图形的测量本质是数出有多少个度量单位的累加。如测量长度就是测量多少厘米、分米、米的累加，测量面积即有多少个面积单位的累加，测量体积亦然。所以，图形的测量初始学习起源于长度和长度单位、面积和面积单位、体积和体积单位。学生在初始阶段先行认识度量单位，才有下一步的度量单位累加。在这一阶段的学习中，学生经验连续，在原有生活经验的基础上展开学习，实现新旧知识的无缝对接，初步建立度量单位的形象，培养量感。

如在“长度单位”的教学中，通常从长度的本质出发，唤起学生的认知经验，在用不同物品测量长度、比较长度的基础上，让学生产生统一度量单位的需求，同时借助身体这个天然的“度量单位”建立长度单位1mm、1cm、1dm、1m的表象，培养量感。学生经历长度度量单位的建构过程，在丰富的测量活动中学会选择合适的长度度量单位测量物体的长度。紧接着在丰富的观察、找寻、测量、比较等实践活动中，学生不仅建构了关于长度单位的知识结构，多元表征建立长度表象，加深对长度本质的理解，同时也习得认识度量单位的学习结构。后续在学习“面积单位”“体积单位”等同质内容时，迁移学习结构，进行认知连续、经验连续和思想方法结构练习，架构起其自身结构化的学习过程。

举一个简单的例子：在前两年的试题检测中有这样一个问题：“根据要求画出到点A的距离等于3cm的所有点。”这道题考查学生对圆概念的本质特征，当时样本得分率仅45.67%，可见学生学习过程中对圆“一中同长”的本质特征理解不够，对圆概念整体建构不到位。这样的问题考查的是学生的学习过程是否围绕本质进行意义建构，这要求我们要回归概念的本质，重构学生的学习过程。

二、 承——顺应：关联元素，探寻测量方法

图形的关键元素是点、线、面。如：正方形的元素有边和角，圆的元素有圆心、半径、直径、圆周，而长方体的元素即顶点、棱和面。图形的测量就是关联起图形的关键元素即线与面，探寻基础图形测量的一般方法。如在一维长度测量中，学生认识了周长的含义即数出包含有几个长度单位，周长即为几。长方形、正方形根据其元素（边）的关系，探寻周长的计算方法C长=2（a+b）和C正=4a;再如在初始课“长方形、正方形的面积”学习中，我们沿着长（长方形的关键元素）数出包含几个1cm2的小正方形，沿着宽包含有几行，从而通过数出填充或覆盖长方形的度量单位有几个，得出长方形、正方形的面积计算方法是几（长×宽）个度量单位。同样的，在三维立体图形“长方体、正方体的体积”学习中，这个学习结构同样适用，沿着长、宽、高（关键元素）分别数出包含有几个度量单位，从而简便计算出所填充的度量单位的个数。从这种简便的计量叠加度量单位的方法中，获得测量图形的方法：V长=abh。

这个学习阶段，顺应本质理解，关联其关键元素。如在一般三角形、四边形、五边形等的周长计算方法即是简便计量几条边分别包含有多少个长度度量单位的总和;测量长方形、正方形面积的方法也是简便计量整个面需要填充多少个面积度量单位的叠加;长方体、正方体的体积也是如此，即數出度量单位叠加的本质。就这样，学生关联关键元素，通过认知练习，探求度量基本图形的一般方法，初步形成学习结构，以其关联元素，建构起基本图形的测量研究方法。连续经验、认知及思想方法，激发学生进行数学知识的结构化建构、结构化认知和结构化思维，让数学学习和数学思维自然发生，逐步培养学生结构化思维的方式、习惯和观念。

三、 转——迁移：连续建构，迁移测量策略

进入这个学习阶段，我们要站在学科核心素养视角下，厘清接下来的学习内容的前沿后续和重要作用，充分认识内容之间的结构关联，看到它们之间的内在联系和层级关系，做好相互渗透、融合和衔接，形成层次分明、不断递进、便教利学的整体知识结构。

此时，单纯顺应结构已然不够，需要更多学习策略的迁移和转化。例如，在平行四边形面积公式推导过程中，用到割补法。在不改变图形面积的情况下，通过改变图形的形状，建构平行四边形的底和高与长方形的长和宽的元素关联，推导出平行四边形的面积公式。三角形和梯形甚至组合图形，也采用同样的方法结构，在不改变图形面积的情况下，改变图形的形状，建构元素关联，推导出面积公式，引导学生突破知识结构的限制，从知识结构走向方法结构，促进学生方法结构的建构。学生的方法结构一旦形成，就会具有很强的迁移能力和灵活的应用能力，可以迁移到其他类似的单元问题学习中去。如，圆的面积计算公式推导中，在改变形状而不改变大小的前提下，尽可能化曲为直，关联转化前后圆的周长和近似长方形的长、圆的半径和长方形的宽之间的联系。依然是建立在关键元素关联前提下，迁移转化策略，同时渗透了化曲为直和极限思想。在构建方法结构的同时，发展数学素养。往下，在圆柱体体积计算学习阶段，学生自然而然在不改变面积、体积的情况下，改变它们的形状，使之变成自己学过的形体来解决，从而很容易把新知纳入原有认知结构中，形成新的认知结构。方法不仅可以迁移到类似单元、类似问题学习内容中去，还可以迁移到其他领域不同单元不同类型的问题学习中，

如从图形领域到代数领域。借助图1

利用所学的面积计算公式，探索（a+b）2=a2+2ab+b2。倘若止步于此，那还稍显不够，我们要和学生一起读懂它，探究它。学习过程中再加入这样一个问题，请计算：20212-20202。这个问题其实就是对a2-b2的探索，有的学生可能列竖式，有的学生可能用乘法分配律倒腾半天。这时候提供这样数形结合的情境：你能看懂它的思路吗？它是把20212-20202理解为两个边长分别是2021和2020的正方形面积相减，如图2，即：

20212-20202

=2021×（2021-2020）+2020×（2021-2020）

=2021+2020

=4041

像这样，迁移转化策略，多元表征沟通数与形的关联，沟通几何与代数领域间的连续，内容不一样，方法结构是一样的，需要迁移才能建构起学习结构。

再如：学习圆柱侧面积的时候，我们可以通过侧面展开，同质化长方体、正方体的侧面积，并类比延伸到三棱柱、五棱柱、六棱柱等柱体的侧面积。学生经历：侧面展开（化曲为直，化体为面）——找联系（关联相关元素）——推结论（结构化过程），发现所有柱体的侧面积都可以用底面周长×高（S侧=Ch）来计算。这样的结构化学习过程可以承接到柱体的体积方面，学生已有认知和思想方法的连续，就如打通了任督二脉，思维自然发散出去，学习结构已然形成。这样的迁移，可以有效打通数学知识之间的内在联系，不断完善学生的方法结构，拓展数学思考的空间，提升数学思考的品质，促进数学素养的发展。

四、 合——循环：往复提升，建构发展图式

经历前面的学习过程，学生已初步形成自己学习的一般化结构。接下来就是将知识、认知、思想方法等不断纳入自身学习体系的过程。教师所要做的就是不断创造这样的情境，便于学生自觉或不自觉地进入往复提升的学习进程中。如五年级学习完直线图形的面积计算后，提供这样的问题：S=（3+a）×5÷2，以上可能是什么图形的面积计算公式？思考a有几种可能？分别是什么情况？学生在这样的知识体系梳理中，自然而然明白其内部逻辑，建构起整个平面图形面积的结构。

再如图3，学完圆周长后，我们可以加入如“圆周长的奥秘”“圆面积的奥秘”这样的探究活动，思考当

d大=d小和时，C大与C小和之间的关系。学生通过化繁为简，举例说明、推理验证发现当d大=d小和时，C大=C小和。再延伸到圆面积的探究中，适当留白，留待学生自主发展。创造这样的探究机会，让学生的思维在尝试中生长，在探究中渗透思想方法，在往复循环中发展数学素养。

学生在探究中观察、举例、表达、推理，借助多元表征，促进经验碰撞、内化与积累，建构具有个人独特理解特色的数学模型，发展具有个人特色的结构图示。

小学数学学习阶段“图形的测量”系列认知结构：长度（周长）—面积（长方形的面积—平行四边形的面积—三角形、梯形、圆的面积）—体积（长方体、正方体的体积—圆柱的体积）。这里蕴含着两重结构：首先，以起始课为系列的结构一：周长—面积—体积，其结构是通过长度、面积、体积单位的叠加，数出长度、面积、体积的本质，从而得出基本图形的计算结构。其次，是以转化策略为系列的結构二，通过将“未知”的平行四边形、三角形等转化为“已知”长方形后进行相应的计算结构提取。整个过程序列，学生经历了以下结构化过程（如图4）：整体分析—参与学习—建构图式—发展素养。

“图形的测量”结构化学习就是通过：溯源—回到学习起点，以元素关联形成知识结构，关联主题结构，建构知识系统;迁移方法，形成学习的策略结构;在往复提升中，整体分析从而形成完整的教学结构。循环发展，建构个人学习图示。小学数学结构化学习就是通过知识结构的整体分析，包括明晰联结生活的知识产生过程、理解知识内部以及知识之间的网络联系、调查学生的学习情况，并在此基础上回到学生真实的生活世界，引导学生参与挑战性的学习，建构自己的认知图式，促进学生数学素养的发展。

参考文献：

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[2]吴玉国.小学数学结构化学习的实践研究[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2021.

[3]席爱勇，吴玉国.基于结构化视角的单元整体设计路径[J].基础教育课程，2019（9）：35-39.

作者简介：陈雪霞，福建省厦门市，厦门第二实验小学。