“失望”与“后悔”情绪下的投资组合选择研究

王宗润,何瑭瑭

(中南大学商学院,湖南长沙410083)

1 引言

在投资决策领域,投资组合选择理论扮演着举足轻重的角色,因其可提供合适的投资比例使得构建的最优组合能满足投资者需求.其中,Markowitz[1]于1952年提出的均值方差模型带来的影响最为广泛和深远,该方法基于投资者完全理性的假设,认为投资的目标是达到收益最大化及方差最小化的平衡.但实际上,投资者作为非完全理性的个体,投资时会产生各种情绪[2],诸如后悔、失望等,从而影响其对组合收益的判断.因此,在构建投资组合模型时,将投资者的此类情绪加以考虑更符合投资心理,也更具实际意义.鉴于此,本文将后悔和失望引入投资组合选择模型,为投资者提供参考.

同是获得500 元,如果一个人的期望是200 元,那么此人感受表现为积极;反之,如果期望为1 000 元,那么此人感受表现为消极,该消极心理即称作“失望”.失望理论最早由Bell[3]提出,以固定参考点为标准,当结果大于该标准时,决策者感到满意,反之,产生失望的情绪.学者们在失望理论对决策行为影响方面的探索硕果累累.其中理论应用上,Cillo 等[4]将失望理论模型与精神病学的实证研究相结合,进一步阐明强迫症患者在风险下的决策.结果表明强迫症患者对风险的敏感度低于健康对照组,也更少出于避免失望的目的进行决策.Cheung 等[5]拓展了三个失望模型,在各种失望理论框架下研究最优保险问题,证明在涉及的失望模型下,虽然目标函数不同,但流行的单层保险赔偿仍然最优.Cao 等[6]结合报童的参照依赖、失望厌恶、满意寻求心理求解报童问题,提供了刻画三种行为的效用函数.研究结果表明,订单量随参照依赖参数和失望厌恶参数的增加而减小.Graves 等[7]以失望理论为指标,测量过度自信对风险投资的影响.基于实证数据构造确定性和随机性模型,发现大多数风险投资家会经历巨大的失望.国内关于失望理论的应用较少.于超等[8]将其用于服务要素优化配置问题中的顾客感知效用描述,给出具体的效用优化模型和求解实例.李铭洋等[9,10]则将其用于双边匹配决策,借此建立稳定匹配约束,从而得到更符合实际的匹配结果.理论发展上:Gul[11]对阿莱悖论提供了直观解释,提出将彩票分解成关于确定等值的失望和满意部分,并且分析了失望厌恶和风险厌恶的关系.Delqui´e 等[12]更新失望理论的参考点,考虑各个结果间的彼此偏差对决策者造成的心理影响,使每个可能结果都成为参照点.

虽然上述文献对失望理论的发展已经起到了很大的推动作用,但很少有学者着重于分析其在投资组合方面的影响.借助失望理论的研究成果,考虑投资者在投资过程中的失望情绪,从而构造组合优化模型成为本文研究的重点之一.如上所述,随着失望理论的发展,失望模型也在众学者笔下呈现不同的姿态.因此,建立优化模型时,对于失望模型的选取就显得尤为重要.

失望理论的一个关键点在于,以何为标准定义“失望”.在Delqui´e 等[12]以前,学者们大都采用单一的、预设的期望水平为衡量基准.当然,此预设水平可以用结果均值或主体目标表示.但值得思考的是,类似均值的指标难以被决策者准确感知,它只是抽象出的统计量.作为投资者失望情绪的触发点,其表达过于“隐晦”.至于投资者的目标水平,只有在投资者对自身境况和需求十分明晰的前提下,它才能用以失望情绪的界定.事实上,风险选择中的每个可能结果都会影响决策者对该选择的判断.Ord´o~nez 等[13]用薪资的满意度和公平度评估实验说明了这一点.因此,文献[12]的失望模型相较其他失望模型在情绪判定标准上更具普适性,故本文将其作为模型构建的一部分.

失望模型中用以描述决策者主观收益值的函数,学者们大多采用前景理论等[14]中的价值函数或简单线性函数,林祥亮等[15]深入研究了前景理论中的投资组合选择问题,本文则引入近来Schneider 等[16]提出的目标调整效用函数(target-adjusted utility function,TAU).TAU 在选择集中各个选择可能达到的最低收益里取最大值作为内生标准,以此衡量各收益结果的主观价值.TAU 模型可以对累积前景理论(cumulative prospect theory,CPT)无法解释的阿莱悖论尺度依赖性作出解释.同时,Schneider 等整理以往文献中的实验数据发现,TAU 能正确预测一些CPT 无法吻合的实验结果.因此,将TAU 函数融入失望模型,以求建立更贴切描述投资者行为的组合优化模型也成为本文的一种尝试.

投资者会因风险资产的可能收益结果间的差异产生失望情绪,但另一方面,由于市场的不确定性或投资者对市场分析的时间周期差异,风险资产的收益在不同情境下具有不同的变化范围.当面临不确定性情境时,投资者会选择一个稳妥的方案,该方案在诸情境下都有较优的表现.曹兵兵等[17]通过国泰君安大智慧软件等分析工具,以不同的市场状态作为不同的情境,预测出各情境下资产的期末价格.Xidonas 等[18]以不同的时间周期作为不同的情境,描述各资产的可能收益状况.考虑到实际中,大多投资者会根据资产在一定时间内的变化情况来判断该资产的表现,本文以不同的时间周期为不同的情境,表示投资者的长短期视角.

当某情境发生时,投资者之前如果没有选择该情境下的最优方案,就会因收益低于本可达到的最佳值而产生“后悔”情绪.后悔值指在某一特定发生情境下,所用方案得到的收益结果与最优方案得到的收益结果的差值.上文涉及的“稳妥方案”的实质就是最大程度避免后悔情绪的方案.在决策理论中,可以通过最小化最大后悔值的方法进行不确定性决策[12].运用最小最大后悔值准则进行决策的文献层出不穷.Ma 等[20]分析安全博弈中局中人的后悔情绪与损失态度,借助最小最大后悔值准则得到安全资源分配方案.Moreira 等[21]将最小最大后悔值准则用于不确定性下柔性电网规划模型的构建.动态定价领域也不乏学者对后悔情绪的重视[22].国内学者在应急救灾网络[23]、供应链网络[24,25]等鲁棒优化模型中考虑最小最大后悔值准则.但在投资组合选择领域,对最小最大后悔值准则的研究还相对缺乏.本文在失望模型基础上,将“后悔”同时纳入组合优化模型,以此刻画寻求稳妥方案的投资者的行为.

综上所述,目前在投资组合选择模型中有待开拓的方面有:1)用更贴切的价值函数描绘投资者感知收益.2)兼顾投资者的失望与后悔情绪,将二者统一到一个框架.3)针对该统一框架下的模型设计恰当的算法.因此,本文充分考虑投资者的失望与后悔情绪,基于失望理论与最小最大后悔值准则,建立组合选择模型,并设计相应的算法求解.本文将TAU 模型用于投资组合优化问题的主体行为刻画,在失望理论和最小最大后悔值准则的帮助下同时考虑投资决策中的失望和后悔情绪,针对本文建立的失望–后悔模型,设计了合理的粒子群算法.此外,通过实证研究,本文对所建模型与两种经典模型的特点进行了比较分析.

2 投资组合模型构建

2.1 失望理论

最初的失望理论认为,决策者在决策前有一个预先的收益目标,当结果大于该标准时,决策者感到满意,反之,产生失望的情绪.实际中,投资者会将每一项选择的各个可能结果进行比较,从而形成多参照而非单一参照依赖.鉴于此,Delqui´e 等[12]将失望理论拓展,考虑各个结果间的彼此偏差对决策者造成的心理影响,使每个可能结果都成为参考点.设某风险选择的可能收益结果为X=(x1,p1;x2,p2;...;xT,pT),其中xk为收益,pk为相应概率,满足x1≥x2≥···≥xT.价值风险模型如下

简记为V(X)=M(X)-Δ(X).H(·)为定义于非负区间的失望–满意函数,刻画决策者对可能结果彼此间偏差的认知情绪.

设投资者把财富投资于N个风险资产,投资比例向量为w=(w1,w2,...,wN),wi表示资产i的投资比例.资产i的历史收益序列为{xij,j=1,2,...,T},以此作为各资产的众多可能收益结果.当然,资产的收益序列也可通过模拟预测的方式获得,但本文直接以历史收益作为组合优化的数据对象[26].概率pj=pk=1/T.投资组合的价值函数M(·)与风险函数Δ(·)可表示如下

其中v(·)为增函数,描述决策者对收益结果的主观价值.根据Cillo 等[27],本文使用H(z)=z+e-mz-1,0 ≤m≤1.对于v(·)函数的选取,本文采用Schneide 等[16]提出的TAU 函数形式如下,

TAU 模型将参照点r视为目标,因而α,β ＞1 表示回报与目标偏差越大,投资者心理感知程度越大;α ＜β表示对回报高于目标的感知程度小于对回报低于目标的感知程度.本文运用Schneide 等[16]的参数设置,k=1,α=1.3,β=1.75.TAU 模型确定参照点r的方法为:在选择集中各个选择可能达到的最低收益里取最大值.此内生参照点的好处在于可以随选择集自动调整.面对不同的选择集,投资者的心理感受不同,从而造成参照点的动态变化,更符合实际.

在投资决策时,考虑投资者会因组合在不同可能结果间的差异而产生“失望”情绪.此外,实际问题中,投资者通常会给资产设定权重范围,并且规定资产种类的上限.综上,用TAU 函数刻画投资者主观收益,先借助失望理论构建投资组合模型

其中式(6)使各资产权重和为1,式(7)给出资产权重的取值范围,式(8)限制投资资产种类,资产i被选中时,ξi为1,反之为0.

以上述失望理论为基本架构,构建最小最大后悔值的投资组合选择模型.

2.2 最小最大后悔值准则

最小最大后悔值准则在决策领域发挥着举足轻重的作用.旨在各方案面临不同情境的最大损失中,选择机会损失最小的方案.表1 列出各方案在各情境下的取值以及后悔值.如A 在各情境下的取值依次是2/4/6.情境S1 中,最优值是4,故A 的后悔值为2,同理,情境S2 下后悔值是3.各方案的最大后悔值依次是3/5/2.依据最小最大后悔值准则,最优方案为C.

表1 不同方案在不同情境下的收益及后悔值Table 1 Outcomes and regret values of different solutions under different situations

根据Kouvelis 等[28]给出的最小最大后悔值的数学规划形式,将其变形得

其中y是表达相对后悔程度的变量,fs为情境s下优化问题的目标函数,θs为情境s下目标函数的最优值.若决策问题面临4 种情境,则有4 个不等式约束条件.为保持风险与价值量纲的一致性,且fs始终为正值,引入价值权重a及风险权重b,式(5)中的目标函数变换为

其中a+b=1,0 ≤a,b≤1.mins(M),maxs(M)分别表示情境s下投资组合价值函数目标的最小、最大值,mins(Δ),maxs(Δ)分别表示情境s下投资组合风险函数目标的最小、最大值.Ms(w),Δs(w)分别表示情境s下投资组合的价值函数和风险函数.

结合失望情绪下的投资组合模型,考虑投资者在面临不确定性情境时,选择最稳定、相对折中的策略,减少自己因选择失误而产生的“后悔”,构建同时考虑“失望”与“后悔”情绪下的投资组合模型如下

3 粒子群算法

针对模型(13),设计一种改进的粒子群算法,提高求解质量和效率.粒子群算法[29]是一种模拟鸟群捕食过程的全局优化算法,算法本身简洁易懂,但原始算法存在易早熟收敛的弊端.结合本文的具体问题,给出适当的变异操作.

粒子表示:将每个粒子的位置赋值为W=(w1,w2,...,wN,y),前N项为资产权重,第N+1 项为相对后悔程度.速度赋值为Q=(q1,q2,...,qN+1),以此表示粒子的更新距离.

约束控制:对于约束条件(6),考虑三种处理方法:1)直接丢弃不可行方案.2)将粒子的各资产权重求和,再用各资产权重除以该总和,即进行归一化处理.3)各资产权重以依次加入的方式确定,设定权重和达到1的临界资产A 的权重为,之后的资产权重为0.对于约束条件(8),有两种可选方法:1)直接丢弃不可行方案.2)当非零资产种类超过K时,随机选择一定种类资产,令其权重为0,以将投资资产种类限定在K以内.由于本文同时考虑约束条件式(6)～式(8),故在约束操作时,先将资产数量控制在K以内,再将权重归一化.如果有资产权重ws小于约束限制l,则将其权重设为0,并将ws均分给其它权重不小于l的资产;如果有资产权重wb大于约束限制u,则将其权重设为u,并将wb-u均分给其他权重小于u的非零资产.对于约束条件(11),采用罚函数法,将模型(13)中的目标变为

λ取足够大的正数,选择105,Ps为式(10)中不等式约束左项.

更新:每次迭代,粒子通过两个标准实现更新:其一是粒子本身所找到的最优解;其二是粒子群中所有粒子在历代搜索中寻觅的最优解.迭代过程中若粒子位置和速度超出范围则取界限值.粒子位置和速度更新如下

变异:将每次迭代时各粒子的适应值排序,指定连续τ次适应值最低的个体,将该个体作为变异对象,根据更新粒子位置,表示服从标准正态分布的随机变量.或者指定连续τ次适应值排序位于某个范围的一个或多个个体作为变异对象.

给出算法的大致步骤如下:

步骤1初始化:设定粒子种群数量,随机或直接给定各粒子的位置和速度,指定迭代次数.

步骤2约束控制:按上文方法对粒子实施操作.

步骤3方案评价:依据粒子的位置计算失望–后悔模型的目标值,即式(14),值越小粒子越优.

步骤4更新及变异:根据式(15)和式(16)改变粒子的速度和位置,检查有无需要变异的个体,如有则进行变异,如无则照常更新.

步骤5算法终止:依据指定迭代次数判断终止与否,是则输出最优解,否则返回步骤2.

4 实证研究

本文的特点在于在采用TAU 函数的基础上,同时考虑了投资者的失望情绪及后悔情绪.实证部分先研究纳入失望理论后的组合特点,再讨论综合最小最大后悔值准则后模型的优越性.

4.1 数据选取

首先将沪深300 指数中的成分股代码以向量的形式记录,再利用MTLAB 中的Randi 函数产生伪随机整数,并以此作为成分股位置索引.随机得到沪深300 指数中来自各个行业的股票18 支,选取这18 支股票在2010年3月至2018年6月,共计100 个月的月度收益率.对于模型中的各情境收益选择,一方面,如Zhou-Kangas 等[30]在投资组合优化中所描述,投资者计划投资时可能考虑短、中、长期数据,因为着眼于长期投资的投资者可能在中途退出,而短期投资计划也可能最终变更为长期.另一方面,就投资者本身而言,有的投资者习惯参考近期数据,有的投资者倾向于综合考虑更早期的历史.因此,本文依据时间长短设定不同情境,以此刻画投资者的长短期视角.具体而言,从2018年6月起,分别以前10 个月(S1)、前40 个月(S2)、前70 个月(S3)和前100 个月(S4)的收益序列作为一个情境,共计4 个情境,表示风险资产在长期和短期的收益变化状况.收益率描述性统计见表2.

表2 不同情境下各股收益率描述性统计Table 2 Descriptive statistics for 18 stocks’return rates under different situations

4.2 实证分析

均值方差模型作为十分经典的组合优化模型,具有普遍的适用性[31].而均值半方差模型由于只将低于预期收益的部分视作风险,更符合投资者心理[32].为比较这两个模型与本文涉及的模型的区别,找出在运用TAU 函数描述主观收益的前提下,均值半方差(MT-SV)模型、均值方差(MT-V)模型和均值失望(MT-Δ)模型所形成最优组合的特点差异.注意,为便于比较,在此并不限定投资资产种类数量上限K.

MT-V 模型

MT-SV 模型

MT-Δ 模型

模型(17)～模型(19)表示投资者在决策时的根本目标是,主观价值一定时,最小化风险.σil表示资产i,l主观收益的协方差,δil为资产的协半方差.H(·)函数中的参数m设为0.8.先根据式(20)和式(21)算出MT的取值范围,再根据取值范围选定区间[0.055,0.070],在此区间均匀选择16 个MT 值,得到三种模型下的16个最优组合.采用S4,即2010年3月至2018年6月的数据,组合的分布特征如图1 和图2所示.

图2 MT-V,MT-Δ 及MT-SV 模型下最优组合的TAU 偏度Fig.2 TAU value-skewness of the optimal portfolios with MT-V,MT-Δ and MT-SV

标准差反映了投资组合收益的波动大小,体现所建立组合的不稳定性.均值方差模型将此不稳定性作为投资风险的衡量指标,是投资者力图减小的.前人的研究结果表明,均值方差模型的收益率–标准差曲线,也称为有效前沿,居于均值半方差模型的左边.从图1 可知,与有效前沿概念类似,TAU 函数下的价值风险曲线也呈现相似形状.表示在相同主观价值下,MT-SV 模型决策者对风险更为敏感.MT-Δ 模型的标准差居于两者中间,是因为该模型虽然也注重下侧风险,但与MT-SV 模型以单一期望收益率为标准判定下侧风险不同的是,MT-Δ 以可能的收益结果为参照点,将彼此偏差作为风险.

图1 MT-V,MT-Δ 及MT-SV 模型下最优组合的TAU 标准差Fig.1 TAU value-standard deviation of the optimal portfolios with MT-V,MT-Δ and MT-SV

当组合收益大多数据处于均值左侧,并且右侧呈现长尾形态时,称为右偏分布.偏度越大,说明投资组合越有能力获得高收益.越来越多的文献表明偏度在投资决策中扮演着重要的角色,并将其纳入优化目标,构建组合模型[33-36].Mitton 等[37]发现投资者为更高的偏度而牺牲均值方差有效性.Jouini 等[38]指出更强烈的期待感会增多正偏资产的投入.鉴于此,绘出最优组合的TAU 价值–偏度曲线,体现投资组合给投资者带来高价值感的能力的情况.如图2所示,随TAU 价值的增加,三种模型下的偏度都呈现先减小后增大的趋势.当变换m值时,MT-Δ 曲线与图1 和图2 极相似,略向左移或右移,但仍居另两条曲线之间.事实上,MT-V模型虽然控制标准差能力最好,但这种控制带来的负面影响是扼杀了具有上行价值潜力的投资组合,因为它将资产价值的正偏移也视作风险.而MT-SV 模型虽然控制标准差的能力最弱,但其支持了具有上行价值潜力的组合,因为负偏移的资产价值才属于它的控制范围.相比两者,由于本文提出的MT-Δ 模型不直接以资产收益本身的好坏为风险衡量标准,故而在上行价值潜力资产的参与上没有二者极端.由此看来,基于失望理论的MT-Δ 模型在组合稳定性和组合潜力间能取得较好的平衡,不至于顾此失彼.

接下来,分析单独考虑失望理论及同时考虑后悔情绪的最优组合特点.权重上下限u,l分别设为0.9 和0.05,资产数量限制K为10,变异参数τ定为5,迭代次数设为500,运行10 次,取其中的最优值.单独考虑失望理论时,表3 列出不同组合价值权重a及不同H(·)参数m下,各情境最优组合的股票种类数量.

表3 不同m 及a 下,基于失望理论的各情境最优组合股票数量统计情况Table 3 Stock numbers of optimal portfolios based on disappointment theory under different situations with different m and a

表3 中0.4,0.5 与0.6 为a的取值,反映投资者对价值的偏好程度,越大则说明投资者越重视价值而不重视风险.m体现投资者对风险的敏感程度,越小越敏感.m相同时,股票数量随a增大而减少,这是因为投资者更在意价值时,会将更多的权重放于具有更大价值的少量资产上,更少考虑风险分散问题.a相同时,股票数量随m减小而增多,与上同理,投资者对风险越敏感,越持分散组合.

兼顾“失望”与“后悔”情绪,求得不同参数下最小最大后悔值最优组合,这种最优组合在面临四种情境时都能表现出较好的价值风险,因而具有稳定性.股票数量统计见表4.

表4 不同m 及a 下,考虑失望及后悔情绪的最优组合股票数量统计情况Table 4 Stock numbers of optimal portfolios considering both“disappointment”and“regret”with different m and a

从表4 看来,与四个单独情境相比,加入最小最大后悔值准则的最优组合的股票数量居中,反映出其风险分散性.目标函数值ΘRV体现了相对后悔程度,越小则说明方案越稳定.m相同时,ΘRV随a减小而减小,说明减少对价值的追求会促进组合的稳定.a相同时,除个别值外,总体而言,ΘRV随m减小而增大,意味着投资者对失望情绪越敏感,组合越不稳定.图3 给出当m为0.2 时,不同a值下,算法迭代过程收敛图.由图3 可见,该算法能较好求解本文的模型,随着迭代次数的增加,ΘRV逐渐减小并渐趋稳定,体现算法的有效性.

图3 m=0.2 时,粒子群算法迭代曲线Fig.3 Iteration curves of particle swarm optimization algorithm with m=0.2

5 结束语

提出的均值方差模型在完全理性人的假设下为投资组合的选择创造了规范且简易的标准,而行为金融从实际出发,结合心理学的知识正在开辟一片属于有限理性人的沃土.本文借助已有的行为理论工具,结合投资组合问题中的实际约束,建立了失望–后悔投资组合选择模型,并设计了相应的算法求解.实证研究结果表明本文提出的模型相较均值方差及均值半方差模型而言,都有较为稳定的表现.此外,失望情绪会影响组合的稳定性,后悔情绪有助于调节组合的风险分散性.