基于直线倒立摆的自控实验平台研究

易 磊，张 蓉，邓春花，尹 仕

（华中科技大学 电气与电子工程学院，湖北 武汉 430074）

传统自动控制原理实验多采用实验箱作为研究对象，系统相对封闭，缺少工程背景，开设的多是验证性实验，无法提高学生的设计和创新能力。针对以上问题，部分高校选用产品级的运动控制对象，如倒立摆、平衡车等进行实验教学。倒立摆作为一个复杂、非线性、多变量、强耦合的系统，能有效反映自动控制系统中稳定性、快速性等指标，是开设综合性试验的良好实验平台[1-2]。

然而现有的倒立摆实验平台占地空间大、价格贵，控制器接口封闭[3]。为此本文设计出结构紧凑，硬件可视化、接口开放化、模块化的倒立摆实验平台。通过开放接口可兼容不同微处理器，在实现层次性学习的同时，营造开放、多元的实验环境，模块化结构有利于提高学生设计、应用及创新的能力，培养学生解决实际工程问题的能力。

本文首先构建基于微处理器的直线倒立摆实验平台，建立了直线倒立摆数学模型，搭建了倒立摆控制系统，利用根轨迹法和 SISO工具相结合的方法完成位置环和角度环控制器设计与仿真，然后对控制系统进行仿真与波形分析，最后完成软硬件实验平台测试与分析。

1 直线倒立摆平台和控制系统

直线倒立摆实验平台如图1所示，包括控制器和倒立摆。其中倒立摆由直流电机、编码器、带轮、同步带、滑块、角位移传感器、匀质摆杆、限位开关及导轨等部件组成。控制器由微处理器 MCU核心板、采样调理板、电机驱动板和OLED显示屏等构成。

图1 直线倒立摆实验平台实物图

直线倒立摆控制系统由减速直流电机驱动带轮旋转，带轮连接同步带后带动滑块水平运动，通过控制滑块的运动位置实现对摆杆的角度控制。控制器通过编码器和角位移传感器采集滑块位置x和摆杆角度φ反馈信息，采用位置和角度闭环控制算法输出控制信号，经驱动电路放大后驱动直流电机运动。控制系统结构如图2所示。

图2 直线倒立摆控制系统结构图

图2中，采用微处理器实现系统数字闭环控制，位置信号通过正交编码器（QEP）计算得到，角度通过模拟数字转换器（ADC）采样，经过数字调节器闭环控制后由定时器发出脉宽调制（PWM）信号控制直流电机运动，辅助电源提供3.3、5、15 V电压给相应芯片。

2 直线倒立摆数学模型

在分析和设计控制器时，首先要建立被控对象的数学模型。本文采用牛顿第二定律和刚体转动定律进行直线倒立摆建模，在实际建模过程中进行如下假设：

（1）将系统抽象成滑块和匀质摆杆组成，无形变；

（2）带轮与同步带无滑动摩檫，且同步带无伸长；

（3）忽略摆杆和支点及各接触环节的摩擦力。

简化后的直线倒立摆物理模型如图3所示[4-6]。

图3 直线倒立摆物理模型

图3中，F为滑块受直流电机驱动力，x为位移，l为匀质摆杆质心与支点距离，φ为摆杆与垂直方向的夹角，m和M分别为匀质摆杆和滑块的质量，N和P分别为滑块与摆杆之间水平和垂直方向作用力大小。

现对滑块进行水平受力分析：

摆杆水平受力分析：

摆杆垂直受力分析：

摆杆绕重心转动方程：

式中J为摆杆转动惯量。

考虑φ在（-10°, 10°）调节，近似有：

式（2）―（4）可简化为：

将式（6）、（7）代入式（1）、（8）可得：

对式（9）经拉氏变换后整理得倒立摆传递函数：

从式（10）可知，F和x决定了φ，通过控制F和x可实现倒立摆直立控制。本直线倒立摆物理参数为M= 0.227 5 kg；m=0.092 3 kg；l=0.185 m；J=0.004 2 kg·m2；g=9.8 m/s2。将这些参数代入式（10）后得φ和F之间的传递函数为：

x和φ之间的传递函数为：

从式（11）可知，直线倒立摆是一个二阶的系统，系统存在2个极点，分别位于原点两侧，因此系统是不稳定的。当系统受到外界干扰时将无法维持原有平衡状态，因此为实现倒立摆直立控制，必须引入反馈以形成闭环控制，同时为改善系统性能指标，需要加入校正控制器。

3 控制器设计与仿真

3.1 控制系统设计

根据控制对象和性能指标要求，控制器选用串联校正的方式以改善系统性能，构建的直线倒立摆位置角度控制系统框图如图 4所示。控制器为Gc1(s)、Gc2(s)。

图4 直线倒立摆位置角度控制系统框图

位置给定信号xref与位置反馈信号x计算误差运算，经控制器Gc2(s)输出，角度给定信号φref与角度反馈信号φ作差后经控制器Gc1(s)输出扰动量Δ，位置环输出与扰动量Δ相减后作用到被控对象倒立摆，由此实现滑块位置控制和摆杆的直立控制。

当φref=0时，图4可简化为图5所示位置和角度双闭环结构。

图5中，控制器设计的好坏直接影响校正后倒立摆系统的性能指标，其中串联校正控制器多采用PI、PD和 PID等控制方式，而控制参数的设计方法有解析法、根轨迹法、频域分析法及状态空间法等。本文根据被控对象和控制系统结构，决定采用 PD控制算法，利用根轨迹法设计比例和微分参数[7]。

图5 直线倒立摆位置角度双闭环控制系统

3.2 角度环PD控制器设计

对于图5中双环控制系统，首先利用根轨迹法对角度环控制器Gc1(s)进行 PD参数设计。角度环被控对象传递函数G1(s)为：

对应双实数极点+5.1、-5.1。

现对式（13）进行校正，角度环控制器Gc1(s)为：

其中，Kp1为角度环控制器比例参数，Kd1为角度环控制器微分参数。

为达到系统稳定性，即系统闭环极点位于S坐标系左半平面，在设计 PD控制器时，将控制器零点设计在左实数极点-5.1位置处，即

将式（15）代入式（14）得到校正后角度开环传递函数：

校正后系统闭环特征方程为：

系统闭环极点为-5.1和5.1-1.626 8Kp1，为满足极点位于左半平面，要求：

对于 0型系统，单位阶跃输入下稳态输出c(t)，由式（15）可得：

按照校正后系统稳态误差<5%的要求，计算得到Kp1＜ 4 .18。

选取Kp1=4.15

最终得到角度环控制器Gc1(s)为：

校正后角度环闭环传递函数Gb1(s)为：

在MATLAB命令窗口调用相应的指令函数[8]，得到对应校正后角度环闭环极点根轨迹如图6所示。

图6 校正后角度环根轨迹

校正后角度的单位阶跃响应曲线如图7所示。

图7 校正后角度环阶跃响应曲线

从图6、7可知，校正后角度环闭环极点满足稳定性条件且阶跃响应稳态误差很小，说明角度环 PD控制器设计具有可行性，可以实现直立控制。

3.3 位置环PD控制器设计

将角度环Gb1(s)等效为二阶惯性环节，可以将图5简化为图8。

图8 简化后直线倒立摆控制系统

图8中校正前开环传递函数为：

从式（21）可知，位置环校正前存在4个开环极点和2个开环零点，极点为2个原点、-5.1和-1.626 5，零点为+4.77和-4.77。其中一条根轨迹起于原点，终于零点+4.77，可知在这条根轨迹上的闭环极点位于坐标系右半平面，因此系统是不稳定的。

现对式（21）进行校正，位置环控制器Gc2(s)为：

式中Kp2为位置环控制器比例参数，Kd2为位置环控制器微分参数。

考虑到控制对象的复杂性，引入 MATLAB图形化单输入单输出设计工具 SISO进行控制器波特图和根轨迹设计，SISO可手动设置控制器零点和极点位置，并实时显示单位阶跃响应曲线和根轨迹等。

在 MATLAB命令窗口输入式（21）被控对象传递函数，然后启动 SISO图形化设计窗口，设置上升时间为2 s，调节时间为5 s，超调量为10%，在根轨迹图形中选择加入零点，并将零点位置放置在-0.05处，保证闭环极点处于左半平面。最后拖动波特图中波形上下移动，调整增益以满足参数要求。

设计完成后，位置环控制器Gc2(s)为：

位置环控制器设计完成后，对应校正后位置环闭环极点如图9所示。

图9 校正后位置环根轨迹

校正后位置阶跃响应曲线如图10所示。

图10 校正后位置环阶跃响应曲线

从图9、10可知，校正后位置环闭环极点满足稳定性条件且能快速稳定，说明位置环PD控制器设计具有可行性，可以实现位置控制。

基于以上根轨迹法和 SISO工具设计完成位置环和角度环PD控制器，在Simulink搭建系统闭环控制仿真模型如图 11所示。图 11中角度环 PD控制器Gc1(s)和位置环PD控制器Gc2(s)参数如前所述，控制对象传递函数如式（11）、（12）所示，位置给定为单位阶跃信号，角度给定为0。

图11 校正后系统闭环控制仿真模型

对图11闭环控制系统进行仿真，得到对应角度和位置仿真结果如图12所示。可以看到，位置和角度均能快速稳定，并且位置稳态误差满足指标要求，角度跟踪效果较好。说明位置环和角度环控制器设计具有可行性，控制系统能实现位置和角度控制。

图12 校正后位置和角度仿真波形

4 系统软硬件平台

4.1 最小系统设计

主控芯片采用意法半导体公司生产的 32位微处理器STM32F103，工作频率为72 MHz，工作电压为3.3 V，自带两路12位的ADC转换器，支持SPI、I2C、CAN，具有多达7个定时器模块，每个定时器模块都可产生PWM控制信号。

4.2 位置检测电路设计

摆杆位置通过阻值为5 kΩ（误差±15%）、独立线性度为0.1%的可调电位器检测，由主控板ADC接口采样分压电阻电压，从而获得摆杆位置。

电机位置由带A、B相的光电编码器检测，线数为 500。主控板正交编码器接口通过边沿计数的方式对A、B两路脉冲进行计数，通过程序读取计数器的数值获得电机位置[9-10]。

4.3 电机驱动电路设计

电机驱动电路采用英飞凌生产的BTN7960芯片，单个芯片内部包含一个P沟道高端MOS管和一个N沟道低端 MOS管组成的半桥结构，此外还集成有驱动电路，可直接通过主控板输出PWM信号控制开关管的通断。采用两片BTN7960组成一个全桥结构，外接负载为直流电机，通过控制PWM占空比和电平实现电机正反转运行，进而控制滑块位置。

4.4 程序设计

采用keil5进行STM32程序开发，主要使用的外设包括：ADC、高级定时器TIM1、通用定时器TIM2正交编码器接口、TIM3定时中断、SPI、USART等。主程序主要完成外设初始化和工作模式设定，之后进入死循环，其中TIM3设定为每5 ms产生一次中断并执行中断服务程序，TIM2设置为边沿计数读取编码器信号，TIM1计数器设置为增计数，PWM开关频率为 10 kHz。

TIM3中断服务程序如图13所示。

图13 倒立摆中断服务程序

中断服务程序每5 ms执行一次，角度环执行周期为5 ms，位置环执行周期为25 ms，角度和位置环输出相减后赋值给定时器的比较器，从而控制PWM占空比输出。

5 实验测试与结果分析

5.1 直立控制实验

在倒立摆实验平台上，对摆杆进行直立控制实验，先保持摆杆处于垂直向下的状态，开机后通过手动起摆的方式将摆杆拉至向上直立的状态，松开手后控制器通过位置环和角度环控制电机旋转，进而控制摆杆处于直立状态。

实验过程中通过上位机每50 ms采集一次摆杆角度和滑块的位置信号，并对数据处理后绘制成相应波形，最终得到滑块位置和摆杆角度波形分别如图 14和15所示。

图14 稳态时滑块位置波形

图15 稳态时摆杆角度波形

当滑块处于中心位置，脉冲为 0。滑块其他位置的脉冲数通过编码器获取，然后拖动系统进行确定。可以看到，系统能快速到达给定位置和角度，并且滑块和摆杆均能稳定在系统期望值附近，且稳态误差较小。以上实验说明所采用的控制系统能保证控制对象稳定运行，且满足设计要求。

5.2 抗扰动实验

在实验平台上进行抗扰动实验，在系统处于稳定状态后，通过手动拨动摆杆的方式加入2次较小的扰动，上位机每50 ms采集一次信号并对数据处理后绘制成相应波形，最终得到扰动过程下的滑块位置和摆杆角度波形分别如图16和17所示。

图16 扰动过程下滑块位置波形

通过图16和17可知，摆杆和滑块初始处于稳定状态，在1.5和7.5 s突加扰动后摆杆和滑块在控制器作用下进行调整，经过2 s后又能恢复到初始状态，并最终稳定在期望值。说明控制系统具有一定的抗干扰能力，所设计的控制器满足实验要求。

图17 扰动过程下摆杆角度波形

6 结语

本文设计了一种基于微处理器的直线倒立摆控制系统，可实现摆杆直立控制和滑块的位置控制，能满足综合性实验教学要求，有助于提高学生设计与工程应用能力。