压力容器疲劳加载下埋藏裂纹扩展规律的研究

谢 阳, 龙 伟, 赵 波, 刘华国

(1. 四川大学机械工程学院, 成都 610065; 2. 先进制造技术四川省重点实验室, 成都 610065)

1 引 言

大型压力容器在使用过程中由于受到温度、载荷等时变因素的影响，常常在其内部形成各种类型的裂纹缺陷.随着交变载荷的作用，裂纹逐渐扩展，当达到其临界尺寸时发生疲劳断裂，由此导致严重的事故，造成重大的财产损失.在各种类型的裂纹中，埋藏裂纹是金属压力容器裂纹缺陷失效破坏的常见形式之一，由于具有隐秘性和不确定性，相对于其他类型的缺陷而言，其危害程度更大.尽管埋藏裂纹能够通过探伤技术进行检测，但由于设备灵敏度和精度等原因，往往无法精确检测到压力容器埋藏裂纹在使用过程中的演变过程，使得压力容器埋藏裂纹难以获得准确的安全程度评估值. 因此建立埋藏裂纹扩展过程中的几何尺寸关联模型是解决计算其安全程度的关键.

目前，裂纹扩展的研究主要集中在表面裂纹，Newman和Raju[1-3]在对大量表面裂纹进行有限元分析研究以及实验验证的基础上，提出了表面裂纹在扩展过程中一直保持半圆形或半椭圆形的扩展理论模型. Isida等[4]研究了具有半椭圆形表面裂纹有限厚度板的拉伸和弯曲，通过改进施力方法，推算表面裂纹形状和应力强度因子的实际准确值. Lin等[5]讨论了适用于预测在拉伸和弯曲载荷作用下薄板表面裂纹扩展的多自由度数值分析方法.冯西桥等[6]以核反应堆中压力容器和管道的破前漏(LBB)分析为背景，从连续损伤力学的角度研究了压力容器和管道中环向和轴向半椭圆表面裂纹在循环载荷作用下的疲劳扩展问题.针对埋藏裂纹主要是关于超声无损测定的研究，而对于裂纹扩展中的几何形貌的演变规律研究较少.本文基于断裂力学理论，通过对不同材料施加周期性的拉伸载荷，运用数值求积原理对埋藏裂纹扩展进行分析研究，获得埋藏裂纹长度与深度之间的关系，为压力容器安全裕度和剩余寿命的研究[7]提供基础.

2 裂纹的扩展规律

2.1 裂纹扩展准则

裂纹扩展主要是描述裂纹在疲劳载荷作用下的形状变化.Paris提出基于断裂力学理论及实验的疲劳裂纹扩展式[8-10]，即Paris公式:

(1)

式中:ΔK为应力强度因子变化范围;C和m是与材料有关的参数.

基于Newman等人提出的表面裂纹扩展过程中一直保持半椭圆形的扩展理论模型，针对埋藏裂纹扩展特性以及规则化表征处理原则，假设埋藏裂纹的形态一直呈现出椭圆形，利用Paris公式分别计算埋藏裂纹长度值c和深度值a与疲劳应力循环次数的积分关系. 如图1，在计算中只考虑前端的中心裂纹A和边界裂纹B. 其数学表达式为：

(2)

(3)

图1 埋藏裂纹初始形状: (a) a/c≤1; (b) a/c>1 Fig.1 Initial shapes of embedded crack: (a) a/c≤1; (b) a/c>1

式中ΔKA，ΔKB分别为中心裂纹A，边界裂纹B的应力强度因子变化范围；CA，CB分别为中心裂纹A，边界裂纹B的Paris公式常数.将式(2)、(3)进行迭代，将会获得关于裂纹缺陷的长度值与深度值得关联关系：

(4)

由式(4)可知，裂纹在长度和深度方向的关联关系与裂纹的尖端处应力强度因子K和材料常数相关.由于表面裂纹在裂纹长度方向上存在较大的塑性区，受表面的延展性阻碍作用[11]，在一定程度上将影响长度c的扩展，这里取CA=0.9mCB，针对埋藏裂纹而言CA=CB.因此，对于埋藏裂纹通过以下方式扩展：

(5)

式中Δa为裂纹中心点A的扩展量；Δc为裂纹边界点B的裂纹扩展量.

2.2 应力强度因子的计算

以压力容器为例，将埋藏裂纹所在部分假设成如图2所示的平板，分析位于平板的横截面区域所对称表面缺陷相关的裂纹路径，该缺陷受疲劳I型载荷下的均匀张力.

由Newman和Raju[1-3]提供的应力强度因子K的计算被广泛应用.并且使用多种方法[1,12-14]从实验和数值的角度进行了验证.本文运用该方法中埋藏裂纹应力强度因子K的计算，通过对裂纹几何形状的分析来计算应力强度应子.因只给出了拉

图2 含埋藏裂纹的平板Fig.2 Embedded crack in a plate

应力作用下应力强度因子的计算公式，则本文只对拉应力作用下的情况进行讨论.另外，Newman和Raju提供的方程在拉应力作用下对于0≤a/c≤，c/b<0.5且-π≤φ≤π有效，如果0≤a/c≤0.2，则a/t<1.25(a/c+0.6);如果0.2≤a/c≤，则a/t<1，但对于a/t>0.8作者尚未给出确定的精度，其中a是裂纹深度(mm)；b是裂纹所在材料长度的一半(mm)；c是埋藏裂纹长度的一半(mm)；t是裂纹所在材料厚度(mm).应力强度因子K表达式[3]如下:

(6)

式中St为外部施加拉伸应力，Fe、Q为求解应力强度因子的过程变量与裂纹形状有关，(a/c)深长比，(a/t)是相对裂纹深度，(c/b)是相对裂纹长度；φ为裂纹前端点的角度.

其中St：

(7)

式中F为拉力.通过以下公式获得Fe:

(8)

式中M1,M2,M3为过程变量，fφ为角度修正因子，fw为有限宽板校正因子.

(9)

求解Fe所需参数

M1=1

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

求解Fe所需参数

(17)

(18)

其中计算M2,M3,g和fw的公式分别与式(11)(12)(13)和(15) 相同.通过以上给出的埋藏裂纹应力强度因子计算公式来求解K，用于分析裂纹前沿的扩展.

3 裂纹扩展的数值分析

3.1 埋藏裂纹扩展的数值分析

首先假设裂纹呈椭圆形，裂纹前端疲劳裂纹点的扩展都垂直于裂纹前端方向(深度a方向)，如图1，其中主要在深度a和长度c上扩展，即椭圆的长短半轴不断增大.

将椭圆裂纹的前沿离散化分成长度相同的z段并运用Simpson公式.另外，每个裂纹点n都在垂直于裂纹前端方向上扩展并且遵循Paris公式，这样使得椭圆形裂纹在扩展过程中最大裂纹扩展量Δamax保持恒定，且Δamax所在点与椭圆形裂纹线上所有点都相关，该点存在最大的应力强度因子范围ΔKmax.由此，可以根据Paris迭代公式(5)，得到如下公式，来求解椭圆形裂纹线上任何一点n的裂纹扩展量Δan.

(19)

式中Δan第n点的裂纹扩展量，Δamax迭代计算中最大裂纹扩展量，ΔKn第n点的应力强度因子变化范围，ΔKmax最大应力强度因子变化范围.考虑Newman和Raju方程(式(6)～(22))，得到以下公式：

(20)

则可通过最小二乘法拟合在不同时刻形成的新的椭圆形裂纹，从而得到裂纹扩展的不同时刻的变化规律.

若只考虑扩展中A、B两点的情况下，如图1，在扩展过程中心裂纹点A和边界裂纹点B在不同扩展方式下都有可能产生最大扩展量Δamax，若A点扩展Δamax，则B点裂纹扩展量通过等式(5)计算.同理，知道B点最大扩展量，能求出A点扩展量.

3.2 裂纹迭代流程

为了更好地分析理论计算中裂纹的变化规律，运用Python计算机语言将上述数值计算方法进行编程，分析受拉力作用下埋藏裂纹相关的裂纹路径，通过循环的迭代计算得出深度和长度的变化情况.因为裂纹形状可以通过裂纹的深长比a/c和裂纹深度尺寸a来表示，根据以上变化情况绘制了裂纹深长比随裂纹深度的函数变化情况.裂纹主要迭代流程，如图3.图3中,Δai为A点第i次的裂纹扩展量；Δci为B点第i次的裂纹扩展量.

图3 埋藏裂纹迭代计算流程

4 裂纹变化分析

利用Python语言对数值计算方法进行编程计算.确定每个椭圆裂纹离散化后分成长度相同的48段，且迭代过程中最大裂纹深度Δamax=0.000 01t.通过改变Paris公式系数m来表示不同的材料取m=2，3，4.如图4，绘制了初始裂纹形状为a0={0.4,2.0,4.0,6.0,8.0}mm和(a/c)0={0.2,0.5,1.0,1.5,2.0}，一共25个不同初始裂纹的裂纹深长比a/c随裂纹深度a的函数变化情况.图5绘制了m取不同值即不同材料情况下，初始裂纹形状为(a/c)0={0.2,1.0,2.0}和a0={0.4,4.0,8.0}mm，一共9个不同初始裂纹的裂纹形状曲线扩展变化.

图4 不同材料各个初始点的裂纹深长比a/c随裂纹深度a变化

从图4可以看出：(1)对于(a/c)0<1的埋藏裂纹，裂纹深长比a/c随着裂纹深度a的增加而增大，接近于1后趋于稳定；对于(a/c)0>1的埋藏裂纹，裂纹深长比a/c随着裂纹深度a的增加而减小，接近于1时趋于稳定，说明埋藏裂纹受拉伸应力作用的扩展情况，最后的形状趋近圆形.将图中所有曲线迅速收敛的路径定义为 “最优扩展路径”.(2)初始裂纹相同的a0， (a/c)0的值越高，表现出更快收敛于最优扩展路径的趋势，同时，a0≥2.0 mm的初始裂纹受到拉伸应力时，表现出更慢收敛于最优扩展路径.(3) Paris公式指数m值越大，表现出更快的收敛于最优扩展路径.

从图5可以看出：(1)裂纹受拉应力作用下，随着m的增加，裂纹更趋向于a=c的方向发展.(2)初始裂纹为(a/c)0=0.2时，裂纹椭圆曲线的排列随着Paris指数m的变化而变化，其主要取决于初始裂纹深度a0.(3)在(a/c)0=1.0的初始圆形裂纹，较大的Paris系数m产生较低的裂纹深宽比.对于极深的裂缝(a/c)0= 2.0，也会出现较大的Paris系数m产生较低的裂纹深宽比的情况.

5 结 论

本文基于断裂力学以及一对Paris公式，通过由Newman和Raju推导的应力强度因子分析了埋藏裂纹长度与深度的扩展.讨论了在不同初始裂纹尺寸下裂纹深长比的变化情况，考虑了不同材料对于受拉时裂纹扩展的影响.计算得到了裂纹深长比随相对尺寸变化的曲线、裂纹扩展中裂纹形状变化.得出以下结论：(1)在拉力作用下，埋藏裂纹的疲劳扩展总是趋向于最优扩展路径方向扩展; (2)初始裂纹深长比和指数m越大，则收敛于最优扩展路径的速度越快，即形成近似圆形的趋势更快; (3)初始裂纹a0越大, 受到拉伸应力时，收敛于最优扩展路径更慢.