巧借导数法 妙解三角题

江苏 韩文美

导数法一直是研究与解决函数相关问题的一种“神技妙法”，在破解函数相关问题中都有导数法的影子.在很多三角函数问题中，看似与导数毫无关联，没有交集，但结合条件特征，巧妙利用导数法，借助导数的应用，巧妙转化，经常可以优化过程，快捷处理，提高效益.

1.三角函数的奇偶性问题

利用导数法，结合可导偶函数(或奇函数)的导函数为奇函数(或偶函数)这一特征，可以有效确定三角函数的奇偶性.利用这一性质可以判断三角函数的奇偶性等相关应用问题.

点评：原来三角函数的奇偶性问题中没有涉及导数应用问题，看似与导数法没有联系，但通过对三角函数进行相应的求导处理，结合三角函数的性质可以有效改变原三角函数的奇偶性，进而可以更加直接有效地利用相关三角函数的奇偶性来分析与处理问题，直接有效.

2.三角函数的单调性问题

利用导数法，结合可导函数在给定区间上的函数值的非负(或非正)这一特征，可以有效确定三角函数在给定区间上的单调性问题.利用这一性质可以解决三角函数的单调性等相关应用问题.

例2.(2018·全国卷Ⅱ理·10)若f(x)=cosx-sinx在[-a，a]是减函数，则a的最大值是

( )

分析：破解此类问题经常借助三角恒等变换把原三角函数转化为余弦型函数，利用三角函数的图象与性质建立相应的不等式组，从而确定a的最大值.通过对三角函数求导，结合三角函数中辅助角公式的应用，利用题目条件确定三角不等式恒成立的条件，再利用正弦型函数的图象与性质来分析与处理，直观形象，快捷有效.

点评：原来三角函数的单调性问题中根本就没有涉及导数应用问题，看似与导数法没有联系.但通过对三角函数的求导处理，结合导函数进行相应的三角恒等变换，利用三角函数的单调性来建立相应的不等式(组)，从而破解与三角函数的单调性相关的问题诸如参数的取值范围、最值等.利用导数法可以有效破解有关三角函数在某个区间上的单调性问题，为三角函数问题的破解提供新的方法.

3.三角函数的最值问题

利用导数法，结合可导函数在极值或最值点处的导函数值为零这一特征，可以有效确定三角函数的最值.利用这一性质可以解决三角函数的最值等相关应用问题.

例3.(2020·北京卷·14)若函数f(x)=sin(x+φ)+cosx的最大值为2，则常数φ的一个取值为________.

分析：破解此类问题经常借助三角函数的有界性、三角恒等变换等方法来处理，结合三角函数的性质、公式等来转化与应用.而根据题目中给出的三角函数的最大值条件，利用导数的性质确定函数取得最大值时所满足的导数式，并结合最大值的关系式，通过两个三角关系式的平方和处理，借助三角恒等变换公式来确定涉及参数的三角关系式，进而得到常数所满足的关系式，圆满解决问题.

解析：对于函数f(x)=sin(x+φ)+cosx，求导可得f′(x)=cos(x+φ)-sinx，

设当x=α时，函数f(x)取到最大值2，则有f′(α)=0，且f(α)=2，

可得cos(α+φ)-sinα=0，且sin(α+φ)+cosα=2，

由以上两式的平方和可得2+2[sin(α+φ)cosα-cos(α+φ)sinα]=4，

点评：原来三角函数的最值问题中没有涉及导数应用问题，看似与导数法没有联系.但通过对三角函数进行相应的求导处理，结合三角函数的性质可以有效确定三角函数的最值点也是对应导函数的零点，进而可以建立相应的三角函数关系式来转化，完整处理，巧妙求解.通过导数法来处理，也是破解最值问题中常用的一种基本思维方法.

4.三角函数的对称性问题

利用导数法，结合可导函数在极值点处的导函数值为零这一特征，而正弦型函数(或余弦型函数)在对称点处为极值点，可以有效确定三角函数的对称性.利用这一性质可以解决三角函数的对称性等相关应用问题.

例4.若三角函数f(x)=sin(πx+φ)-2cos(πx+φ)(0<φ<π)的图象关于直线x=1对称，则cos2φ的值为________.

分析：破解此类问题经常借助三角恒等变换把原三角函数转化为正弦型函数，结合图象的对称性质确定参数φ的表达式，再利用三角恒等变换公式来转化与求解.通过对三角函数求导，结合导函数的极值点就是三角函数的对称点加以转化，有效确定参数φ的正切值，进而利用三角恒等变换公式来处理即可.

解析：对于函数f(x)=sin(πx+φ)-2cos(πx+φ)，求导可得f′(x)=πcos(πx+φ)+2πsin(πx+φ)，

点评：原来三角函数的对称性问题中没有涉及相应的导数应用问题，看似与导数法没有联系.但通过对三角函数进行求导处理，结合三角函数的对称性条件，有效建立起三角函数的对称性与原函数的极值点之间的密切关系，加以合理转化，快速变形，可以有效快捷地处理相关三角函数的对称性问题.

5.三角函数的综合性质问题

综合利用导函数与原函数的奇偶性、单调性、最值或对称性等基本性质之间的关系，可以用来解决涉及三角函数的一些综合性问题.

例5.已知函数f(x)=xsinx，若A，B是锐角三角形的两个内角，则有

( )

A.f(-sinA)>f(-sinB)

B.f(cosA)>f(cosB)

C.f(cosA)>f(sinB)

D.f(-sinA)>f(-cosB)

分析：破解此类问题经常借助函数性质以及解三角形的相关知识来分析与处理.通过求导，结合题目条件中自变量的限定取值范围来确定函数在对应区间上的单调性，并结合三角形的性质确定三角函数值之间的关系，进而综合函数的单调性与奇偶性来分析与判断，从而正确判断三角函数值之间的大小关系.

解析：对于函数f(x)=xsinx，

结合函数的单调性有f(sinA)>f(cosB)，

又函数f(x)=xsinx满足f(x)=f(-x)，即函数f(x)为偶函数，

则有f(-sinA)>f(-cosB)，故选D.

点评：原来三角函数的综合性质问题中没有涉及导数应用问题，看似与导数法没有联系.但合理借助导数法，可以有效解决与三角函数有关的综合问题，有效确定相关函数的单调性、奇偶性、对称性或最值等基本性质，合理转化，巧妙破解.特别地，利用导数法可以有效破解有关三角函数、解三角形以及三角函数值的大小关系等交汇的综合问题.