探究解析几何求解离心率的问题
——以2020年全国卷Ⅰ理科第15题为例

广东 古君文

2020年高考已落下帷幕,从对2020年高考解析几何的考查内容来看,此类题型相对稳定,分布合理,其中有一道题要求较高、难度较大、综合性强,考查考生的综合能力.纵观历年高考,求解离心率的题目出现频率较高,是考查热点和难点;如2019年全国卷Ⅰ理科第16题,作为压轴题进行考查;2020年全国卷Ⅰ理科第15题,作为中高档题进行考查.因此,求解离心率的问题值得深入探讨和思考.

离心率是平面解析几何的一个重要性质,它刻画几何图形的形状规律,针对求离心率的题型,通常采用代数法或几何法.根据离心率的定义,需借助图形利用数形结合,挖掘已知条件,先求出a,c,再代入公式求出e,此类题属较简单的题型;但大部分题目因所给的条件限制,a,b,c是未知的,或不易求出a,c的值.因此,需把条件转换成相应数学关系,巧妙地利用平面几何内容、向量内容、三角形的边角关系等,列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),消去b,转化为含有e的方程(或不等式)求解,这就是解题的突破口.

这类题型是经常考的,解题要遵循三个规律.一个关系:找寻a,b,c的关系;两手抓:“数”与“形”都得抓;三个素养:数学运算、数字抽象、数学建模.下面通过对2020年全国卷Ⅰ理科第15题进行分析、探讨、变式、方法总结，获得教学思考,并延展解决近几年此类高考题.

1.试题呈现

本题是求双曲线的离心率,且不能直接求出a,c,因此挖掘题目条件,通过数形结合,我们容易发现题目条件“AB的斜率为3”是解题的关键,也是找寻等量关系的突破口.结合相关知识,完善所需条件,从而列出等量关系,剩下的就是运算问题了.因此,找到解题突破口后,就可以大展拳脚.

2.解法探究

3.探究变式

3.1利用已知条件,构建a,b,c的关系式

3.2利用数列性质,构建a,b,c的关系式

分析:本变式题删去斜率的条件,改为与数列结合,题型较综合,根据上述高考题的方法探究,只要找出a,b,c的关系,就可以解答此题.本题可以通过数列的中项性质列出a,b,c的关系式,由等差数列中项性质可列出2a+2c=4b,消去b易得双曲线C的离心率.

3.3利用平面解析几何性质,构建a,b,c的关系式

3.4通过三角形性质结论找寻三角关系,构建a,b,c的关系式

分析：本变式通过适当改变条件,考查更深入、更综合,但万变不离其宗,本题中点B位置发生变化,BF2不垂直于x轴,点B满足OB=OF2,可知△BF1F2为直角三角形,因此只是把点A位置变为BF1与双曲线C的交点,且∠F1AF2=150°,根据所给已知条件,由双曲线定义把BF1,BF2,AF1,AF2,AB各边用a,b,c表示,利用Rt△BF1F2三角形的边角关系,通过解三角形,列出方程求出离心率.因此,对此类题型只要找寻a,b,c的等量关系,列出方程,问题就迎刃而解了.

4.考题重现

有关离心率问题一直以来都是高考的热点,如何熟练掌握求离心率问题的解题思路和方法是至关重要的.解析几何重点考查逻辑推理、数形结合、运算求解等综合能力.部分考生对此类问题有一种惧怕感,无从下手.求解此类题型只要掌握分析方法、运算技能和解题技巧,求解就有法可循,就能做到得心应手.下面再通过近几年的高考题进一步对求此类问题的解法进行探究.

( )