聚焦思维痛点 实施精准教学
——以《坐标系与参数方程》为例

广东 潘敬贞 云南 唐明超

坐标系与参数方程试题在近年高考中一直备受关注,它不仅是命题专家智慧的结晶,而且在每道试题里都蕴藏着重要的数学思想以及典型的数学模型;而且试题重点考查基础知识与基本技能,在体现基础性的同时突出对考生综合运用所学知识解决实际问题的关键能力.试题整体上具有较好的区分度,低起点、有梯度,使得试题不落俗套,一方面检测学生的认知发展水平,体现高考的选拔功能;另一方面也是在为数学教学活动指明方向,说明教学活动要重点突出问题本质,引导学生经历数学概念的生成过程,讲究深度学习,重视数学思维的培育,既要将学生从题海中解救出来,更要在解决实际问题的过程中帮助学生实现知识与能力的双重提升,发展学生的核心素养.正因如此,命题专家在试题里埋藏的解题智慧点也变成了很多考生的解题思维痛点,导致解题思路堵塞.

一、分类讨论中的解题思维痛点

分类讨论是高中数学重要的思想方法之一,主要体现思维的全面性和严谨性,问题情境的差异导致分类的依据不尽相同,要做到分类不重不漏,关键要全面理解和整体把握问题本质.分类讨论的过程对学生的逻辑推理、数学抽象等核心素养水平具有较高要求.因此分类讨论一直是学生解题的思维痛点,同时也是教学的难点.

(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;

综上,a=8或a=-16.

评注:本题的第(1)问较常规,是基础题,在直线的参数方程中正确识别定点坐标和直线的倾斜角是解题的关键;第(2)问是本题的亮点,由于-a-4的范围不确定导致距离的最值不确定,不少学生由于没有对-a-4进行恰当地分类讨论导致无法正确解答,所以如何讨论-a-4的范围就是本题的思维痛点.

(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;

评注:第(2)问由于a的符号不确定,因此需要对a进行讨论,不少学生由于考虑不周全,忽略对a的讨论,或者在讨论过程中不能正确理解绝对值的含义,导致失分,是不少学生解答该题的思维痛点.

备考建议:要突破分类讨论的思维痛点,首先要弄清楚什么情况下要分类讨论,为什么要分类讨论,怎样分类讨论这三个问题.这就需要在平时的学习过程中注重问题解决的经验积累,掌握处理不确定性问题的一般方法并逐步形成分类讨论的意识,关键还在于学生逻辑推理素养的培育.比如从认识绝对值的几何意义出发,遵循由浅入深,由易到难的认知发展规律，尝试对绝对值符号中的代数式进行讨论去解决一些简单的方程或不等式问题;再比如基于基本初等函数图象性质，通过分类讨论去解决一些含参数的方程或不等式的存在性或者恒成立问题等.总之,注重过程性教学,培养学生发现并提出问题,分析并解决问题的能力,有意识地渗透数形结合思想,在解决实际问题的过程中不断形成合理分类讨论的意识和能力,形成严谨的逻辑思维.

二、合理转化过程中的思维痛点

化归与转化是沟通数学知识与数学问题的重要桥梁,然而不少学生在解答数学问题的过程中由于没有合理转化问题而无法打通知识与问题的脉络,导致解题过程受阻.

(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;

(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.

评注:第(2)问并不是要求点到直线的距离的最值,但是通过恰当的转化实现了代数关系与几何关系的衔接,在构造直角三角形的基础上，间接找到线段|PA|取最值的情况与点到直线的距离有直接联系,进而聚焦到点到直线的距离问题上来.不少学生在解此题时想不到转化,只是一味地按部就班,陷入命题者的“圈套”出不来,将简单的问题复杂化,最后只能遗憾收场.

(1)写出曲线C1和C2的直角坐标方程;

(2)已知P为曲线C2上的动点,过点P作曲线C1的切线,切点为A，夹角为θ,求|PA|的最大值.

评注:第(2)问同样需要通过合理转化后，基于几何关系找到线段取最大值，其前提是动点到定圆圆心的距离取最大值,实现了化动为静,避开讨论两个动点之间的距离的最值问题,体现了代数问题几何化,复杂问题简单化的求解策略.

备考建议:要做到将问题进行合理转化并有效降低问题的难度,首先要准确掌握数学概念,其次要学会挖掘问题的本质,在问题解决过程中勤于思考、勤于实践、积累解题经验,养成对具体问题有意识地去思考本质是什么、怎么解决、哪种方法更好等良好习惯.

三、数学抽象中的解题思维痛点

例3(2017·全国卷Ⅱ·22)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4.

(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;

评注:有关动点的轨迹问题往往较为抽象,不仅需要具备扎实的分析及解决问题的能力,而且需要熟练掌握极径的几何意义与参数的几何意义.学生因为没有用好图象特征找到数量关系,导致不能列出恰当的方程,所以此类问题是不少学生的解题思维痛点.

备考建议:解决此类问题的关键在于将抽象的问题直观化,如何才能实现将抽象的问题直观化呢？首先要养成根据题干信息构造几何模型的习惯,即将数量关系体现在曲线的图象上,通过作出简图找到变与不变的关系,进而合理地设出未知数,根据已知条件计算得出最终结果.其次,要深化对极径与参数几何意义的理解,掌握其本质联系,确保在问题解决过程中能够灵活选择并运用.

四、消参过程中的思维痛点

备考建议:参数方程与直角坐标方程的转化一般都需要经历消去参数的过程,对于不同情况下的消参方法应及时作出归纳总结.在代入消元与加减消元的基础上适当加以拓展,如本题中，先分别平方再相加,但关键的问题还是要学会观察式子的结构特点,从整体到部分又能从部分到整体去寻找变与不变的关系.