解析几何中的数学思想

甘肃 彭长军

一、函数思想

解析几何中有不少问题，其中的某些点、线处在运动变化之中，这就引出了一些相互制约的量，它们之间可能构成函数关系，此时用函数的思想和方法去处理非常有效.

例1.已知抛物线y2=2x，设A(a，0)(a>0)，P是抛物线上的一点，且|PA|=d,试求d的最小值.

∴d=|PA|

二、方程思想

解决直线与二次曲线的位置关系问题，最常用的方法是将直线方程与二次曲线方程联立，消去一个未知数，变为关于x(或y)的一元二次方程，然后设直线与二次曲线的交点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，再由韦达定理，得x1+x2，x1x2(或y1+y2，y1y2).此法最大的特点就是利用韦达定理，避免了求交点坐标，它对解决与“距离”或“中点”有关的问题特别有效.

(1)求双曲线C的方程；

将①②代入，得k2=4，k=±2,∴所求Q点的坐标为(±2，0).

三、分类讨论思想

分类讨论思想是中学数学解题的重要思想，圆锥曲线中的许多问题都涉及分类讨论.分类问题的解题步骤一般为：①确定分类的对象和标准；②进行合理的分类;③逐类逐级讨论；④归纳各类结果.

例3.已知x2cosθ+y2sinθ=1,θ∈[0,2π),就θ的取值讨论方程是何种曲线及曲线的位置特征.

解：(1)当θ=0时，方程变为x2=1，即x=±1,此时方程的曲线是平行于y轴且距y轴为1的两条平行直线；

(7)当θ=π时，方程变为x2=-1，无实数解，此时方程的曲线不存在；

四、等价转化思想

1.对于直线与二次曲线的位置关系问题，可转化为直线方程与曲线方程的公共解的个数问题，于是可利用一元二次方程在给定区间上有无实数解的充要条件求解.

例4.已知直线l:y=kx-1与双曲线C:x2-y2=4，在下列各种情况下求实数k的取值范围.

(1)直线l与双曲线C没有公共点；

(2)直线l与双曲线C有两个公共点;

(3)直线l与双曲线C只有一个公共点;

(4)直线l与双曲线C的右支有两个公共点；

(5)直线l与双曲线C的左支有两个公共点；

(6)直线l与双曲线C的两支各有一个交点.

解：将y=kx-1代入双曲线x2-y2=4，得(1-k2)x2+2kx-5=0,

(3)直线l与双曲线C只有一个公共点⟺方程(1-k2)x2+2kx-5=0只有一个实数根,

2.对于与圆锥曲线的焦半径有关的一类最值问题，可通过圆锥曲线的定义将其转化为平面几何问题，从而利用平几知识使问题得到快速解决.

( )

3.对于“圆锥曲线上的点到与其相离的直线的距离的最大值或最小值问题”，可通过将直线平移使其与圆锥曲线相切，从而将最大(小)值转化为(切)点到已知直线的距离或平移前后两直线间的距离.

解：设与直线x+2y+18=0平行的直线l的方程为x+2y+m=0,即x=-(2y+m)，将其代入椭圆方程，得25y2+16my+4m2-36=0.当直线l与椭圆相切时，有Δ=0，即m=±5.

4.对于“在直线上求一点使其到直线外两定点距离之和最小(两定点在直线同一侧)或距离之差最大(两定点在直线两侧)”的一类问题，可通过对称性将其转化为三点共线问题，从而快速求解.

例7.求满足下列条件的点及最大值、最小值：

(1)已知点A(-3,5),B(2，15)，试在直线l:3x-4y+4=0上找一点P，使|PA|+|PB|最小，并求出最小值;

(2)已知点A(-3,5),B(0,4)，试在直线l:3x-y-1=0上找一点Q，使||QA|-|QB||最大，并求出最大值.

解：(1)由[3×(-3)-4×5+4]×(3×2-4×15+4)>0知A，B两点在直线l的同侧.

(2)易知A,B两点在直线l的两侧，点B(0,4)关于l的对称点为B′(3，3)，∴直线AB′的方程为2x+y-9=0.

五、数形结合思想

例8.已知直线l:y=kx-1与双曲线C:x2-y2=4，在下列各种情况下求实数k的取值范围.

(1)直线l与双曲线C没有公共点；

(2)直线l与双曲线C只有一个公共点;

(3)直线l与双曲线C的右支有两个公共点；

(4)直线l与双曲线C的左支有两个公共点；

(5)直线l与双曲线C的两支各有一个交点;

(6)直线l与双曲线C有两个公共点.

图1

图2

图3

图4

(5)如图4，当直线l从l1绕点P(0,-1)顺时针旋转到l2时，直线l与双曲线C的两支各有一个交点，∴-1

以上就是解析几何中的五种常见的数学思想，若能灵活运用，则会大大提高学习效率！

1.对于能建立函数关系的问题，首先考虑函数思想，若不能求解，则转换思路，另辟蹊径.

2.对于涉及直线与圆锥曲线相交所产生的求中点弦所在直线的方程或弦的中点的轨迹方程的问题时，常常采用“点差法”求解，此时只需设出交点的坐标而无需求出，就可巧妙地表达出直线的斜率，通过将直线的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，这样既减少了运算量又能快速解决问题.

3.对于某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标、用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系.后者往往计算量小，解题过程简洁.

4.对于等价转化，要求转化过程中前因后果是充分必要的，才能保证转化后的结果仍为原问题的结果.否则(非等价转化)，就要对结论进行必要的修正.