学习有路“折”为径 思维无涯“探”作舟
——以八年级矩形折叠问题为例

张跃飞 (浙江省平湖市南市学校 314200)

折叠问题是数学中的一类重要问题，其本质是轴对称变换.由于此类问题涉及到丰富的数学知识，蕴含着重要的数学思想，对学生的思维发展具有独特作用，因此折叠问题往往得到数学教育者的青睐.在八年级学习特殊的四边形之后，可以安排一个折叠问题的专题探究，有助于学生的思维发展与探究能力提升.文章选取的矩形折叠案例立足于整体视角，采用系统化设计方式，从一个基本图形出发，通过系列变化由易到难逐步加深，渗透着特殊到一般以及一般到特殊的数学思想.折叠问题“折”的是图形，“探”的却是蕴含着的思维与一般思想方法.

1 以“折”引思，探寻研究方法

学生学习是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，教学中教师应设计好活动，并留给学生充分的时间和空间，让学生经历观察、实验、操作、猜想、计算、推理等过程，在“做”与“思”的经历中促进思维发展.矩形的折叠问题中“折”并不是目的，“折”只是手段，以“折”引思，探寻一般的研究方法才是真谛.因此，教学中教师从“矩形有哪些基本要素？”出发进行复习回顾，并以下面的活动1作为引子开启数学探究之旅.

活动1给你一张白纸，你能折出一个面积最大的正方形吗？

图1

学生利用手中的白纸很快就折出了图1中的四边形CDEF.这时，教师适时提出问题：你能说明折得的这个四边形CDEF一定是正方形吗？这个问题旨在让学生明白,对“折得”的结果需要进行理性思辨，把学生的操作行为引导到数学思维层面，以此促进思维发展.这个说理的过程并不难，大多数学生能够掌握.当学生解决了说理这个问题后，教师进行追问：仔细观察折痕DF和顶点C的位置，它们有何特殊性？这个追问是点睛之笔，一下子把学生杂乱无序的思维逐步引向正轨.学生从图形中可以发现折痕DF经过了矩形的一个顶点，且恰好平分了矩形的一个内角，而顶点C的对应点落在矩形的一条边上.这时教师引导学生进行归纳小结，让学生知道“研究特例”是数学研究的一般方法.教师趁热打铁提出如下问题：

从矩形的基本要素出发，还可以怎样折叠这个矩形，使得折痕或顶点所落的位置具有特殊性？请试一试.

经过学生的自主探究与小组交流，得到了许多图形，图2～图5是一些比较有代表性的图形.

图2 图3 图4 图5

面对那么多的图形，这时候就需要进行梳理归类，引导学生进行有序思考.先围绕“折痕”进行梳理，发现折痕“经过顶点、经过对称中心、在对角线上、在对称轴上”是最常见的特例；再从折叠后顶点所在的位置进行思考，发现顶点的对应点“落在边上、落在其他顶点、落在对角线上”是最重要的三种特例(图6).

图6

通过归纳让学生学会思考问题的一般方法，养成有序思考问题的习惯.同时对考察特例是数学研究的一种重要方法也有了新的理解与感悟.

2 用“折”助析，积累学习经验

经过前面的探究与思考，学生对于矩形折叠问题的研究方向有了初步了解，接下来选择“折痕”与“顶点”都具有特殊性的例子开展具体研究.于是教师提出了如下问题：

图7

活动2如图7，将矩形ABCD沿BE翻折，使顶点C落在边AD上的点F，若AB=6，BC=10.求DE的长.

这幅图来源于前面的操作，因此学生对此感觉很熟悉，现在重新拿出来，需要教师先引导学生对图形中“折痕”与“顶点”的特殊性进行观察.由于八年级是实验几何向论证几何过渡的关键时期，因此把“折”这个具体操作行为适当弱化，取而代之的是抽象、观察与思考，通过再次理性审视整幅图的特征，既为后面的问题解决与经验积累做准备，同时又能发展学生的抽象能力，提升学生的思维水平.

为了帮助学生加深对问题解决经验及数学思想的理解与感悟，教学中设计了一个巩固练习：

图8

如图8，将矩形ABCD沿折痕EF翻折，记点D的对应点为D′，点C恰好落在A处.若AB=6，BC=10.求DE的长.

设计这个巩固练习可以让学生再次完整地经历整个解题过程，同时提升学生的运算能力，通过举一反三达到触类旁通、多解归一的目的，也为九年级学习相似三角形、三角函数等知识后解决此类问题积累一定的学习经验.

3 借“折”拓展，提升思维层级

从特殊到一般、从具体到抽象是数学研究的一般方法.在前面特例研究的基础上适度拓展，可以提升思维层级、引发数学思考，激起学生对数学学习的兴趣.同时，也能让学生了解研究问题的一般性方法，促进学生的思维成长与素养提升.为此在探究活动1和2的基础上设计了如下活动：

图9

活动3如图9，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，点E,F分别是线段CD,BC上的动点，将△CEF沿EF翻折，使点C的对应点C′在线段AD上，当折痕EF移动时，点C′在线段AD上也随之移动.求AC′的取值范围.

对于八年级学生来说，在没有铺垫与经验积累的基础上直接解决此类动点问题还是有困难的.尤其是八年级学生的空间想象能力还比较弱，如果没有具体的操作，仅凭“想”，大多数学生还找不到问题解决的路径.这时候教师引导学生进行实际操作很有必要，“折”在这里体现为一种策略，是问题解决的重要辅助手段，通过“折”让学生感悟图形的变化规律，探寻出问题解决的路径，最终顺利解决问题.

在实际教学中教师先让学生在操作中直观感知图形变化并进行独立思考，然后再组织学生开展小组活动，让每个学生交流自己的发现与想法.接着教师再以问题串的方式启发点拨，从而让思维逐步走向深刻.教师的问题串如下：

(1)折痕与顶点所落位置是折叠问题中的关键要素，那么在折痕中的端点F从C到B的变化过程中，你发现AC′的大小如何变化？

(2)折痕中的端点E从C到D的变化过程中，AC′的大小又是如何变化的？

(3)折痕变化过程中有没有特殊的位置？请尝试画出这个图形.结合“折”与“画”的过程尝试解决这个问题.

(4)从活动1到活动3，这其中蕴含着怎样的数学思想，以后碰到此类问题你将如何思考？

四个问题层层递进、直指要害，注重思维内涵，在“折”的助力下找到解题路径，最终突破困境、提升思维.第(4)个问题更是把学生的思维提升到思想方法的高度，让学生感受到从特殊到一般的研究思路，再从一般到特殊的解决策略.

4 顺“折”提问，培养问题意识

好的问题能激活学生的思维，在课堂教学中教师不仅要善于提出好的问题，而且还应引导学生去发现问题、提出问题，分析并解决问题.而高水平的课堂提问应具有可模仿性，实现从“问题引导学习，激发学生思维”到“学生自主提问，开展创新学习”的过渡.[2]经过前面的矩形翻折操作以及活动探究，学生对此类问题已经有了初步的了解.为了让学生进一步加深对矩形翻折问题的本质理解，提升发现问题、提出问题的能力，促进问题意识的发展，教师适时给学生创造提问的机会，让学生在提问中得到思维的生长.

比如，在探究活动3完成后,教师先让学生模仿着自主提问，然后师生进行共同梳理，得到了如下一些问题：

(1)用一张白纸能不能折出一个菱形.

(2)求图形8中折痕EF的长.

(3)如图5，如果把矩形的一个顶点折到对角线上，其他数据不变，那么折痕长为多少？

这几个问题是在模仿的基础上提出来的，是前面探究的自然延续，虽然在难度以及创新方面还不够，但对学生问题意识的培养却是很有价值的.在此基础上教师可以引导学生从不同的角度来提出问题，比如可以从角、周长、面积等方面进行提问，也可以从更一般的翻折情况来考虑.由于学生个人的力量还比较小，此时开展小组合作是最恰当的，经过小组成员的共同努力,又得到许多问题，现选取其中的三个问题呈现如下：

①如图8，求重叠部分的周长和面积.

②如图8，求证:△AEF是等腰三角形.

图10

③如图10，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，将△BCE沿着BE进行翻折，点C落在点F处，若要使折叠后顶点C一直落在矩形内部，那么折痕BE长的取值范围是多少？

通过提问使学生加深了对知识的理解，提升了学生的问题意识，长此以往必将促进学生数学素养的发展.

5 观“折”点拨，感悟数学思想

数学思想的提升是一个渐进的过程，需要在具体的活动过程中予以渗透，而数学思想方法的渗透却离不开教师的适时点拨与引导，因此教学中教师应善于把握机会，结合具体的问题引导学生感悟数学思想.本节课教学中有许多的机会渗透数学思想.比如从活动1到活动3,这个设计旨在让学生体会特殊到一般的思想.但这里的活动是连续的，每个活动又是一个相对独立的过程，因此学生的思维很容易淹没在具体的问题解决中，不容易感受到特殊到一般的数学思想.所以三个探究活动完成后,教师应及时引导学生从整体的角度予以思考，让学生感悟蕴含其中的数学思想.同时，活动3中问题解决的思路恰恰体现了从一般到特殊的思想方法.经过这个点拨与启发的过程，学生对“特殊到一般”“一般到特殊”有了更深的理解.

再如，利用勾股定理列方程来解决活动2中的线段长问题，学生要感悟蕴含的方程思想同样需要教师的点拨.也许学生一次两次还不能深切地体会到方程思想的价值，但一定能积累起方程思想的经验，萌发出对方程思想更深理解的种芽.等到九年级学习相似三角形、三角函数后，还可以利用这些知识来列方程解决问题，从而进一步加深对方程思想的感悟.