立足数学文化 提升课堂品味
——“圆锥曲线之椭圆的定义”教学设计与反思

王瑞琦 (江苏省太仓市明德高级中学 215400)

1 基本情况分析

1.1 学情分析

本节课授课对象为太仓市明德高中高二理科普通班学生，学生具有一定的自主探究和合作能力．在日常生活中，学生对椭圆的大致形状从感性的角度有了一定的认识，但是不清楚椭圆上点满足的几何特征．本节课借助阿波罗尼奥斯压缩圆、旦德林双球模型从几何角度来研究椭圆上的点满足的几何特征．尽管学生已经学习了立体几何，但是旦德林双球模型构造巧妙、数量关系较多，所以学生不易从该模型中直接观察到椭圆上点所满足的几何特征．

1.2 内容解析

本节内容安排在选择性必修课“几何与代数”这一主题中，立足“圆锥曲线之椭圆定义”，如章引言中提到椭圆的起源，深入挖掘教材中的数学史材料，渗透数学文化，尤其是“探究与发现”中介绍的用旦德林双球证明椭圆上的点满足的几何性质．本节课从多角度探究椭圆的可操作性定义，目的是使学生对椭圆的定义形成全面的认识．

1.3 教学目标

(1)了解圆锥曲线来由，体验其中蕴含的数学文化，重点提升直观想象等核心素养；(2)经历对旦德林双球模型的探究以及动手画椭圆的过程，抽象出椭圆的定义，重点提升逻辑推理和数学抽象等核心素养．

教学重点 抽象椭圆的模型，掌握椭圆的定义．

教学难点 用旦德林双球发现椭圆的特性，形成椭圆的定义．

1.4 课前准备

沙漏、磁性圆锥曲线截面模型、软木板、白纸、工字钉、定长细线、直尺等．

2 教学过程

2.1 问题情境，抽象圆锥曲线模型

问题1(请几位学生上台操作)旋转锥形瓶，观察沙漏中沙子的水平面呈现什么样的图形？

(设计预想学生实验)

情形1 将沙漏放置在水平面上时，沙漏中的沙子呈现出的图形——圆形；

情形2 将沙漏稍微倾斜一定角度，沙漏中的沙子呈现出的图形——扁圆；

情形3 将沙漏的倾斜程度变大，沙漏中的沙子又会呈现出什么样的图形？

情形4 将沙漏水平放置，沙漏中的沙子呈现的图形又是怎样的？

教师引导：对于情形3和情形4两种情况，形成的曲线很难想象，我们可以从实物模型中抽象出数学模型，使其进一步优化，方便我们研究其结构．我们可以把沙漏看成圆锥，它是通过一条直线绕着某个轴旋转出来的旋转体．而旋转出来的几何体是圆锥，直线上的点留下的轨迹就形成了圆锥面．(此处用动态图来演示)

如果拿一个垂直于圆锥的轴(或者平行于沙漏底面的平面)截圆锥面，我们可以得到一个封闭的图形——圆．把截面稍微倾斜一点角度，沙漏中的沙子仍然呈现出封闭的图形——扁圆，即椭圆(“椭”字早在创作于公元前2世纪的中国古代哲学著作《淮南子》中就有记载)．将平面再倾斜，我们发现将得到不封闭的图形，很像我们之前学过的一个函数图形——抛物线．最后，我们将图形倾斜，与圆锥曲面的两边都相交，最后形成的也是一个不封闭的图形(得到两条曲线，同学们给这个曲线起个名字吧)——双曲线．(暂时命名，课后进一步研究)

师：通过模型展示，平面截圆锥面可以得到这些曲线．那么我们不妨统一起一个名字，同学们试试看？

生1：圆锥曲线．

师：圆锥曲线与科研、生产以及人类生活有着紧密的关系，开普勒就发现行星绕着太阳运行的轨迹是一个椭圆；探照灯反射镜面是抛物线绕着其对称轴旋转所成的抛物面；发电厂冷却塔的外形是双曲线．本节课我就和同学们来研究一下椭圆的定义．

2.2 数学发现，提出椭圆的直观性

师：我们来看看圆的定义：在平面内把线段OP绕着端点O旋转一周，端点P运动所形成的图形叫作圆，其中点O叫做圆心，线段OP叫做半径.(苏科版九年级上册第38页)

问题2我们能否给椭圆下一个定义呢？

师：直观来看，圆与椭圆之间是否存在某种关联？

生2：直观感觉把圆压扁了就是椭圆．

师：随便压就可以得到椭圆？一个圆圈，对上半圆的两个点给不同的压力，会变成椭圆吗？

生(众)：不会.

生3：对圆的每个点均匀施力．

师：均匀这个词在数学上如何体现？

生4：可以用等比例来刻画．

师：(用几何画板演示圆沿纵轴方向等比例压缩)是否可以把这个性质作为判断的依据呢？

生5：应该可以，只要比值不等于1．

师：从严谨的角度我们应该进行论证．早在公元前200年，古希腊数学家阿波罗尼奥斯就发现了椭圆的这一几何性质，他曾历经千辛万苦写出了《圆锥曲线论》，该书是古代世界光辉的科学成果，将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地，作者是非常了不起的一位数学家．

师：所以我们以后画椭圆，只要把每个点按照比例压缩就可以画出椭圆？

生6：太繁了！要找到很多点．

师：我们可以把这位同学说的理解为可操作性差，那么椭圆是否存在操作性强的定义？

2.3 探究与发现，给出椭圆定义

历史上，许多人从纯几何角度进行研究，下面我们再来介绍一位著名的德国数学家旦德林，他在吃冰激凌后突然领悟(图1)．下面我们看看旦德林是如何研究椭圆的定义的．

图1

首先介绍旦德林双球模型，熟悉模型特点．研究对象是：圆锥、大球、小球、截面；它们之间关系是大球、小球均与圆锥面以及截面相切．

问题3球与圆锥的侧面相切，切点构成的图形是什么？切点构成的图形与圆锥底面有什么位置关系？

生7：切点构成的图形是圆，与圆锥底面的位置关系是平行．

师：回答得非常到位．

问题4过曲线上任意一点M作圆锥的一条母线，使它与两个切点圆分别相交于点P，Q，请问PQ的长度会随着母线的不同而改变吗？

图2 图3

生8：不会．我们可以把大小球与圆锥曲面截得的图形看成一个圆台(图2)，直线PQ正好是圆台的母线，在立体几何里我们知道圆台的母线长相等．

师：回答得很好！我们知道一旦椭圆对应截面确定，那么该截面与大小球的相切的切点随之确定，记为F1,F2，那么椭圆上任意一点M与F1,F2两点之间又会存在怎样的关系(图3)？

图4

要回答上述问题，我们先观察图4，类比圆的一些性质来先思考下面几个问题：

问题5当球与平面相切时，在相切平面内过切点F任作一直线，它和球会有怎样的位置关系？(相切)

问题6那么过球外一点M作球的两条切线，可以作出几条？切线长是否相等？

生9：可以作无数条切线，根据全等三角形，这无数条切线均相等．

师：根据以上思考，椭圆上任意一点M与F1,F2两点之间又会存在怎样的关系？

图5

生10：因为MF1=MP,MF2=MQ，且MP+MQ=PQ，PQ为定长，所以MF1+MF2=PQ(图5)．

师：总结得非常好！那么你可以用文字语言来表述你所得到的结论吗？

生10：一个点到两个定点的距离之和为定值．

师：这个点在哪里？

生10：在椭圆上！

师：在图5中的椭圆上，只有点M满足这样的条件吗？

生：这个点可以是椭圆上的任意一点！

师：观察得非常仔细！所以我们可以得出结论：椭圆上任意一点到两个定点的距离之和为定值．那么请同学们思考这样一个问题：平面内到两个定点F1,F2的距离之和为定长的点所画出来的图形一定是椭圆吗？

师生协作，拿出事先准备好的软木板进行操作：①将细线固定在两个工字钉上；②将两个工字钉在软木板上；③用笔尖把绳子拉紧并移动.

师：画出的图形是什么？

生11：是椭圆！

生12：是线段！

师：为什么有的组画出的是椭圆，有的是线段呢？

生13：两定点的距离要比定长的距离短才能画出椭圆，否则画不出来！

师：这位同学不仅观察入微，反应也很快，回答得非常好！所以我们可以完善椭圆的定义了，哪位同学愿意来描述下？

生14：平面内到两个定点F1,F2的距离的和等于定值(大于F1,F2之间的距离)的点的轨迹叫做椭圆．

师：得到椭圆定义以后，我们为了在现实生活中更好地应用这样的图形，还要进一步去研究它，同学们可以在课后结合圆形的研究，思考下你可以从怎样的角度去研究这个图形．

2.4 课堂小结(略)

3 教学感悟

3.1 立足于基础，有序推进概念教学

数学概念在高中数学学习中有着基础性的作用，但实际教学中正是因为这种基础性，往往使得数学概念的教学被简化，这种急于求成的教学心理背后隐藏着对数学概念教学重要性的漠视．数学教师在教学中必须思考数学概念如何生成及其功能定位，必须加强数学概念的研究，渗透数学概念背后的数学文化．

3.2 立足于研究，多维度看待问题

高中数学教学需要突破以往的知识教学，重视学生思维能力与智力方面的培养，使其具备多维度看问题的能力，进而实现高中生综合素质的全面发展．本节课在探索椭圆概念时并未开门见山地使用旦德林双球模型，而是联系圆和椭圆的关系，从直观的几何特征入手和学生尝试得出椭圆概念．这样不仅有利于培养学生的数学思维，更有利于提高学生的综合素质，适应社会发展需求．

3.3 立足于学生，凸显课堂主体

尊重学生、了解学生、把握学情，一切教学开展都要从学生角度出发．处于青春期的高中生好奇心旺盛，对事物保持较高求知欲，因而课堂上教师应尽量结合教学内容使其自主探索事物发展规律．本节课通过环节设计，教师以启发为主，有效抓住了学生注意力，引发了学生的主观能动性．

3.4 立足于文化，提升课堂品味

数学史与数学教育之间的关系是数学教育的重要研究领域之一，其以喜闻乐见的形式呈现数学知识的来龙去脉，在科学严谨的数学逻辑体系中渗透丰富多彩的数学文化．本节课基于数学史、数学发展过程而开展数学教学．包括在数学概念产生的最初时期，数学家是如何一步步研究，从理论上升到实践，再从实践归结到规律、定理和公式的.关于概念的形成，有怎样振奋人心、精彩有趣的故事.在高中数学课堂中，教师要善于立足数学史、数学发展过程，讲授数学家精彩的研究史，激发学生的兴趣，引导学生投入到对概念、公式、原理的学习中．如果教师可以在教学中渗透数学文化，教学过程将变得生动有趣，教学效率也将大大提升．因此教师要善于挖掘“数学美”“数学史”等数学文化类型，更全面地实施文化教育．

3.5 立足于技术，形成有效融合

随着信息技术的发展，多媒体技术在教学中得到越来越广泛的使用，特别在探索几何问题中，适应运动变化思想给出由静到动的情境，课堂上学生通过观察、分析、推理和归纳，在其中理解问题本质.这种方式也体现了数形结合思想，并在变化的几何图形中开展灵活教学，丰富了教学内容，利于激发学生学习数学的兴趣．