授人以渔重思考 循循诱之兴味长
——以“函数y=Asin(ωx+φ)的图象”教学为例

姚 婷 (江苏省南京市第三高级中学 210000江苏省南京市高中数学渠东剑名师工作室 210000)

1 背景描述

近日，笔者参加了一次赛课活动，课题是“函数y=Asin(ωx+φ)的图象”.这一课题曾多次出现在教研活动中，笔者也曾多次执教该课题，大多是按照“引入→作图→比较→归纳”的思路设计，但在此次备课和上课的过程中，笔者对几个问题有了一些新的认识，愿与读者分享．

学生已经学过了正弦函数、余弦函数的图象与性质，以及三角函数周期性等相关知识，这些是学习函数y=Asin(ωx+φ)的图象的主要认知起点．学习本节内容，将有助于学生构建较为完整的三角知识体系，深化对函数的认识，有助于进一步学习相关的三角知识．授课对象来自四星级高中普通班，基础一般．所用教材为《普通高中课程标准实验教科书数学(必修4)》(苏教版)，教学内容为“1.3.3函数y=Asin(ωx+φ)的图象”．

2 教学片段摘录

片断1 创设情境，引出课题

师：三角函数是研究周期现象的数学模型，生活中摩天轮的运动就是一种周期现象．我们先来研究下面的问题．

问题1如图1，摩天轮的半径为Am，逆时针做匀速运动，角速度为ωrad/min．如果从摩天轮上的点P位于图中的点P0处开始计时，请在如图1所示的坐标系中确定时刻为xmin时点P的纵坐标y．

图1

生：y=Asin(ωx+φ)．

师：形如y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的函数在生活中经常可见．从天体运动到车轮转动，再到物理领域中的振动、波动等，这些现象的数学模型都是y=Asin(ωx+φ)．那么出现了新的函数，接下来我们要研究它的哪些方面？

生：研究函数的图象和性质．

师：今天这节课我们就来研究函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象．(板书课题：函数y=Asin(ωx+φ)的图象)

片断2 制定方案，共同探究

问题2你们准备如何研究函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象呢？

生：用“五点作图法”作出它的简图．

师：“五点法”作简图应该是在已知了函数大致形状之后才有的！还有其他方法吗？

生：(思考)

师：寻求新问题和旧知识的联系是我们研究问题的常用方法，体现的是转化思想．函数y=Asin(ωx+φ)的图象可能和前面学习的哪个函数图象有关联呢？

生：y=sinx．

师：为什么？

生：因为当A=1，ω=1，φ=0时，函数y=Asin(ωx+φ)就是y=sinx．

师：非常好！这显然是特殊与一般的关系．对于函数y=Asin(ωx+φ)，由三个参数A,ω,φ控制，在它们取不同的值时我们能得到不同的函数，函数y=Asin(ωx+φ)是y=sinx的推广，它的图象也就最有可能和y=sinx的图象有关．

问题3函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象与y=sinx的图象间有怎样的关系呢？同学们，你们觉得应该如何来研究？

师：函数y=Asin(ωx+φ)中有三个参数A，ω，φ，如何研究A,ω,φ对函数图象的影响？请大家想想看．(如果学生回答不出来，可再引导.)

生：控制变量法．

师：如何控制？

生：先固定其中的两个参数，研究剩下的一个．比如，可以令A=1，ω=1，研究y=sin(x+φ)与y=sinx之间的关系．

师：非常好，这里涉及三个参数，我们可以“分而治之”，将复杂问题分解，这是化繁为简的思想．

师：你准备先研究哪一个参数对函数图象的影响呢？(学生讨论)

师：你对哪个情形更熟悉一些呢？

生：φ．

问题4y=sin(x+1)与y=sinx的图象有怎样的关系？

生：y=sin(x+1)的图象可以看作是y= sinx的图象上所有的点向左平移1个单位．

师：同学们利用以往的经验，得出的这个结论究竟对不对呢？我们可以利用电脑作出函数的图象来检验一下．(多媒体验证)

师：通过作图说明同学们给出的结论是正确的．但是从图形观察得到结论，不够严谨，能不能用函数的图象和函数解析式的关系来证明？

师(提示)：函数的图象是由什么构成的？

生：图象是由点构成的．

师：函数图象的平移如何反映在点上？(这个环节最好要体现从特殊到一般的研究过程．从研究几个特殊的点开始，再逐步推广到图象上任意一点．而且研究几个特殊点的时候，最好有列表出现在黑板上，这既可以让学生有一个更加清晰的理解，还可以为后面五点法作简图打下基础．)

生：图象上所有的点作平移．

师：怎么说明所有的点在平移呢？

生：在图象上任取一点P，通过点P的变化来说明图象的变化．

师：很好．设点P(x0，y0)是y=sinx图象上任意一点，将P(x0,y0)沿着x轴方向向左平移φ个单位(φ>0)，得到点Q(x0+φ，y0)．因为点Q(x0+φ，y0)的坐标满足y=sin(x+φ)，所以它在y=sin(x+φ)的图象上；反之也成立．我们可以类似地说明当φ<0时结论也正确．

问题5刚才我们采用了怎样的研究方法？又有了怎样的结论？

生：作图、观察、猜想、验证．y=sin(x+φ)的图象可以看作是y=sinx的图象上所有的点向左或向右平移|φ|个单位．

师：有了刚才的研究经验，接下来我们分别研究A，ω对函数图象的影响．请各组同学取不同的值，作图观察，然后再相互交流，看看你们的研究结论是不是一致的．

(后略)

3 教学反思

3.1 整体设计，全局意识

函数y=Asin(ωx+φ)具有丰富的现实背景，是描述现实生活周期现象的重要的数学模型，在解决实际问题中有着重要的作用．而摩天轮是生活中常见的事物，学生非常熟悉并且大多都曾体验过，以摩天轮为背景引入函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)有现实意义，是一个非常典型的函数建模过程．本节课通过实例引入，有利于学生感受学习新知识的必要性，体会y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)是刻画周期现象的重要数学模型.

此外，笔者认为，摩天轮问题可以贯穿这一章的始末，它不仅仅可以作为本节课的问题情境，也可作为“1.1.1任意角”、“1.1.2弧度制”、“1.2.1任意角的三角函数”的问题情境，同时摩天轮也是反映三角函数的周期性的典型例子．选择本节课的实例应当关联前后章节的内容，应有整体意识．摩天轮这一模型背景简单，重点突出，相较于筒车、水轮、钟摆等例子，更能突出本节课的教学重点．数学与生活存在紧密联系，教学中适当创设情境能够激发学生的学习热情，但是情境创设只是手段不是目的，情境创设过多会分散学生的注意力，情境创设不合适也会冲淡整节课的主题，因而问题情境的选择要精、巧、准．

3.2 固定变量，化繁为简

本节课的难点是认识y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象与y=sinx的图象的关系.参数A，ω，φ对函数图象都将产生影响，往往使学生感到抽象和难以解决．为了突破此难点，教学中要引导学生制定探讨思路，并在此基础上确定探讨思路，即相对固定其中2个变量，只探讨1个变量的作用，体会探讨多变量问题的一般方法．函数的图象是由点构成的，因此函数图象的变换本质上是点的变换，这是化繁为简思想的体现．让学生在问题的引导下自主探究研究策略，有利于培养其认知策略．因此，教学中要充分开展探究活动，使学生在探究过程中理解变换本质，促进理性思维；在探究过程中培养探究能力，形成探究习惯；在探究过程中完善知识结构，发展认知策略．

3.3 大胆猜想，小心求证

笔者在备课过程中，发现有不少课例都是先让学生用“五点(画图)法”画图，然后找寻函数图象之间的关联．关于五点作图法，教材在“1.3.2三角函数的图象与性质”一节中，通过Excel软件绘制出正弦函数图象后，找到图象上起着关键作用的五个点，这样介绍到：“在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，就得到函数的简图．今后，我们将经常使用这种‘五点(画图)法’．”故而，五点作图法应当是在已知函数的大致图象后使用的．而就本节课而言，学生还不知道函数y=Asin(ωx+φ)的大致图象，就让学生用五点作图法去作图，笔者认为不妥．因此，笔者采用了另一种设计思路：先让学生有一个感性认识，函数y=Asin(ωx+φ)的图象可能与y=sinx的图象有关，让学生尝试探究从特殊的三角函数变换到一般的三角函数的过程．问题4给了学生一个台阶，鼓励学生利用现有知识思考新问题，先大胆猜想，再小心求证，然后借助于计算机作图获得直观的认识，最后进行代数验证.这样的环环相扣是探究数学问题的一般策略．

3.4 授人以鱼，不如授人以渔

无论是课题引入还是问题解决，教师在授课过程中扮演的角色始终是引导者，学生才是学习的主体．“同学们，你们觉得应该如何来研究？”“如何控制？”“你准备先研究哪一个参数对函数图象的影响呢？”“你对哪个情形更熟悉一些呢？”等教师言语对学生的思维往往会起到“推波助澜”的作用.在教学的过程中，教师不仅仅要让学生解决问题，更要让学生掌握解决问题的一般方法．

问题情境的创设往往可以激发学习兴趣，但这只是教学的第一环节，如何保持兴趣，更是教师需要思考的.引起并始终保持学生的注意力，才是培养学生兴趣的要义所在．每节课大体可分为三个阶段：问题引入、问题探究、问题解决.在这三个阶段，教师可引导学生产生三种趣味．在问题引入阶段，重在激起学生的兴趣，让学生对问题产生好奇的心理；在问题探究阶段，运用问题和悬念，让学生保持兴趣，并通过自己的思考或是行动，对问题解决产生期待；在问题解决阶段，让学生感到好奇和期待是值得的，并在这一阶段产生满足感．好奇、期待、满足，这不就是学生在课堂中感受到的三种趣味吗？激起、保持、升华，这正是教师的教学智慧．授人以鱼，不如授人以渔，更要授人以欲．