2020年山东卷导数题的探究教学与教学建议*

陈香君 赵思林 (四川省内江师范学院数学与信息科学学院 641100)

陈 琼 (四川省资中二中 641200)

1 教学背景

2020年12月4日，内江市数学学会在资中二中组织了两堂高三数学复习观摩课．其中一堂的课题为“2020年一道高考数学压轴题的探究”，此课实际上是对2020年全国新高考数学试卷(即山东卷)第21题第(2)题的探究教学．

2020年全国新高考数学试卷(山东卷)第21题：已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna．(1)略；(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．

该题题干简明，问题设计新颖．第(1)小题比较常规，考生容易解决，着重考查数学“双基”(即导数的几何意义、直线方程、三角形的面积等)．第(2)小题虽是考生熟悉的不等式恒成立问题，但有很高的难度，考生会遇到两个全新的问题：一是函数中含有两个超越函数即ex-1和 lnx，这会让考生感到陌生甚至无从下手；二是函数中的参数a分散在两处(即aex-1, lna)，且不能直接把参数a从不等式aex-1-lnx+lna≥1中分离出来，这与平常学习的“套路”很不相同，显然又增加了解决问题的难度．因此，第(2)题主要是考查数学思想方法、数学核心素养和创新意识．

2 课堂简录与教学特色

2.1 课堂简录：解题思路探索

第(1)题相对容易，第(2)题难度高，故该教师只针对第(2)小题实施了探究教学．课前，其已安排学生分组讨论了此题的解法．课堂上，先以课标中对导数的要求来引入本节课的内容；接着让各小组展示不同的思路与解法，并辅以课件予以展示；每个小组的学生代表展示后，教师作简要总结及点评．在40分钟的课堂上教师引导各组分别从以下几种角度，对本题第(2)题的解题思路进行了探讨，最后教师对解题方法作了总结．

思路1 将函数不等式恒成立问题转化为求解函数的最小值问题．

思路2 找关键点或利用极端原则等方法．

注意到两个超越函数即ex-1和lnx均较麻烦，一个自然的想法是对x赋一个特殊值，让它们消失或取值就变得很简单．事实上，取x=1，就能实现这个想法．若取x=1，则f(1)=a+lna．“f(x)≥1恒成立”的必要条件是f(1)=a+lna≥1．再注意到a+lna在定义域上单调递增，则有a≥1．因此，“f(x)≥1恒成立”的必要条件是“a≥1”．至此，剩下的工作是证明“f(x)≥1恒成立”的充分条件是“a≥1”(以下略)．

思路3 对参数进行分类讨论．

受思路2的启发，对参数a进行分类讨论：a≥1，0

思路4 变更主元．

评注到了这一步，教师既没有展示新的步骤，也没有作补充说明．易见，思路4存在逻辑差错(详见后面对思路4的反思)．

思路5 构造同构式．

评注构造同构式的困难在于，学生对于对数的运算和不等式的同解变形不够熟练．

思路6 利用“隐零点”和“设而不求”．

评注思路6的妙处在于“等价转换”和“设而不求”．“隐零点”法和“设而不求”对于学生思维创新性要求较高，需要运用分类讨论、函数单调性与函数零点等知识对问题作综合考虑，才能判断函数在区间内是否有零点、有几个零点等问题．

2.2 教学特色

课后，上课教师对教学设计进行了说课，多位教师和专家对本节课作了点评．大家认为，这堂课很成功，有诸多教学启示．

·组织团队教研，教研成果助教学

组织教学研究团队或建立教研共同体，可以克服“单打独斗”搞教研的精力不足、成果不足、普及不足等问题．上课教师所在的教研团队拥有多位骨干教师，他们以研促教，每周规定固定的时间研究高考题解法、课堂教学等问题．高考刚结束，此团队就立刻开展试题研究，短时间内研究出了本题的几种解法，且他们发现某学校的测试题经过一些变形后与此高考题结构相同．选定课题之后，团队内的教师一起对本堂课的内容、学情、教学目标、教学重点、教学难点等进行分析，设置了比较详细的解题思路和探究的教学环节，设计好的各种解法．通过本节课的学习使学生对于高考压轴的导数题不再“恐惧”，能用已学方法进行一些探索．

·感悟思想方法，落实核心素养

数学核心素养是个体拥有“数学头脑”的自组织的数学经验系统[1]．本题教学较好体现了小组合作学习的自组织和学生自主探索的自组织，但对于中等水平及以下的学生来说，要想完全实现“自组织”学习和探索是有难度的．培养学生数学核心素养的基础是学生已建立起了良好的数学经验系统，本题教学对丰富学生的思路探索与发现的经验是成功的．数学经验系统是数学核心素养的内核，而数学思想方法又是数学经验系统的内核．因此，数学思想方法是数学核心素养的内核，感悟数学思想方法就是在落实数学核心素养．就本题而言，思路1运用了化归与转化思想；思路2运用了观察法和特殊化思想；思路3运用了分类讨论思想；思路4运用了函数思想和主元思想；思路5借助对数的运算对不等式进行了多次的同解变形，使问题解答过程显得自然、连贯、简洁与巧妙；思路6借助于“隐零点”运用了“设而不求”的思想方法，体现了多想少算的解题策略．扎实的基础知识和基本技能仅是顺利完成此题第(2)题的必要条件但不是充分条件，顺利完成此题第(2)题的解答还需要学生具有较强的分析问题能力、探究问题能力、转化和简化问题的能力以及一定的数学创新意识，这里的数学创新意识主要指解题思路的探索、发现与创新，这些能力和创新意识正是重要的数学核心素养．因此，本题的教学能够比较好地将培养数学核心素养的思想感悟策略和数学发现策略融入到探究过程之中[2]．

3 教学建议

3.1 调整课堂容量，降低教学起点

本课教学内容较多，让学生探索的时间不够充足，因此建议安排2课时．将课前小组讨论解题思路的活动移到课堂上，这样教师就能看到学生真实的学习状态和出现的各种问题，再依据学情来精准施教．

3.2 反思解题经验，培养创新素养

教师引导学生反思解题经验是培养学生创新素养的重要方法．

(1)对思路2的反思：“找关键点”方法是根据“充要条件”来证明：f(x)≥1⟺a≥1．

首先，证明f(x)≥1⟹a≥1(略)．其次，证明必要性：a≥1⟹f(x)≥1．当a≥1时，可知f(x)≥ex-1-lnx．接着，通过构造两个函数g(x)=ex-1-x，h(x)=lnx-x+1，最后可以得到ex-1-lnx≥x-(x-1)=1，得证．整个证明过程需要两次求导．实际上，必要性的证明可以简化(优化)为直接比较ex-1与lnx的大小：令φ(x)=ex-1-lnx，通过求导可得φ′(x)=0的解为x=1，于是其最小值为φ(1)=1，所以f(x)≥φ(x)≥1．这里，把原本多次求导化为了一次求导，这种直接比较的方法更贴近学生的思维过程．

(2)对思路4的反思：批判性思维是培养学生创新素养的重要路径．

思路4出现了逻辑差错．因为还需要验证0

(3)对思路5的反思：发散思维是培养学生创新素养的重要路径．

思路5另解1：aex-1-lnx+lna≥1⟺ex-1+ln a≥lnx-lna+1．令t=ex-1+ln a，取对数，得lnt=x-1+lna①．又eln t≥lnx-lna+1，即t≥lnx-lna+1 ②．

①+②，得lnt+t≥lnx+x．显然m(x)= lnx+x在(0,+∞)上单调递增，因此t≥x．即ex-1+ln a≥x，则lna≥lnx-x+1．(以下从略．)

3.3 洞察问题本质，编拟新颖题目

在上面“对思路2的反思”基础上，对于不等式ex-1-lnx≥1的证明若用教材上的习题结论ex≥1+x(当x=0时取等号)，则可简洁明快地获得．事实上，用教材上的习题结论ex≥1+x可得ex-1≥x(当x=1时取等号)；再对ex-1≥x取自然对数，可得lnx≤x-1(x>0)(当x=1时取等号)．从而，利用ex-1≥x(当x=1时取等号)和lnx≤x-1(当x=1时取等号)直接放缩，可得ex-1-lnx≥x-lnx≥x-(x-1)=1．

不难看出，利用教材上习题结论及推论，即直接用ex-1≥x和lnx≤x-1(x>0)便可解决问题，真可谓直击问题本质，并欣赏到数学解题的简单美．由此笔者猜测，本题的设计背景很可能就是依据ex-1≥x和lnx≤x-1(x>0)进行反向构造出来的．事实上，由这两个不等式相减，即有ex-1-lnx≥1； 然后两次穿上参数a的“马甲”，令a≥1，则得到aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx≥1．

编拟练习题是数学教师的基本功．在洞察问题本质后，就不难编拟一些新颖题目，例如：

(1)已知apex-1-lnx+qlna≥1恒成立，p,q均为正整数，求实数a的取值范围．

(2)已知aex-1-lnx+lna+a3≥2恒成立，求实数a的取值范围．