让学生经历数学概念的生成
——以人教A版“函数的概念”教学为例

刘桑慧 管利民 (江苏省南菁高级中学 214437)

1 基本情况

1.1 授课对象

学生为重点中学高一强化班学生，基础比较扎实，有一定的抽象能力、逻辑思考能力和数学建模能力.

1.2 教材分析

所用教材为人教A版必修1，内容为第3章“函数的概念与性质”第1节“函数的概念及其表示”第一课时.这一内容是学生在学习了“集合与常用逻辑用语”“一元二次函数、方程与不等式”的基础上，进一步用集合的语言来描述函数，从具体的函数抽象出一般的函数概念.它是章概念起始课，是学生体会从特殊到一般、从形象到抽象的很好的思维载体，其中对数学建模、数学抽象等核心素养的培养，为进一步研究函数的性质奠定良好的思维基础.基于以上理解，本节课的学习目标确定为：(1)通过丰富实例，体会函数是描述现实世界事物变化规律的重要数学模型；(2) 经历“对应关系说”观点下用集合语言表述函数概念的过程；(3)理解y=f(x)的含义，能用函数的概念刻画简单具体的函数；(4)通过从实例中抽象概括数学概念的活动，培养学生的抽象概括能力.

教学重点 经历“对应关系说”观点下用集合语言表述函数概念的过程，在此过程中培养学生数学抽象素养.

教学难点 从不同的问题情境中提炼函数的要素，并由此抽象出函数概念；理解函数对应关系f.

2 教学过程

2.1 类比：温故而知新

类比是学生学习新知识、建构新概念的一个很重要也很常见的方法.通过学生熟悉的情境，让学生自然地回忆起已有的概念，为进一步建模和抽象埋下伏笔.这样的设计，由浅入深，为新概念的建立铺好舒适的台阶.

图1

师：我们身边有着各种各样的运动变化现象，唯一不变的就是变化本身.观察图1中两组图，你能说说图中蕴含的运动变化现象吗？

生：路程随着时间的变化而变化，速度随着时间的变化而变化，气温随着时间的变化而变化.

师：所有这些都表现为变量间的对应关系，这种关系常常可用函数模型来描述，我们可以通过研究函数模型把握相应的运动变化规律.

师：初中时我们已经学习过函数. (投影出初中函数概念)一般地，在一个变化过程中的两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应.那么我们称y是关于x的函数，x是自变量.

师：依据初中函数概念，你认为函数由哪几部分构成？

生：两个变量和一个对应关系，对应关系满足的条件是对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应.

师：能举几个具体的函数例子吗？

师：回忆一次函数概念的归纳过程，我们从具体的y=x,y=2x+1抽象出一次函数模型y=ax+b(a≠0).能不能像用y=ax+b(a≠0)表示所有一次函数一样，用一个抽象的符号去表示任意函数呢？

设计意图从学生熟知的初中函数概念出发，引出具体的、熟悉的函数的例子，不仅为了生成一般的函数概念，也是在教给学生研究新的数学概念的方法.

2.2 建模：经历方知味

问题1某“复兴号”高速列车加速到350 km/h后保持匀速运行半小时.这段时间内，列车行进的路程S(单位：km)与运行时间t(单位：h)的关系可以表示为：S=350t吗？

师：依据初中函数概念，路程是关于时间的函数吗？

生：是，对于每一个时间t，都有唯一的路程与之对应.

师：很好，根据路程和时间的关系，当列车加速到350 km/h后，经过半个小时，列车行进了多少？

师：那么经过1小时后呢？

生：350 km.

师：“这段时间内” 的含义是什么？

生：列车保持匀速运行了半小时.

师：也就是列车运行半小时后的状态我们不能判断.能根据现有条件回答1小时对应的距离吗？

生：不能.

师：S=350t,能准确反映问题情境中路程和时间的关系吗？

社会信息化水平的提升，使得企业对人才素质的要求逐渐提高。企业传统的会计核算方式，以人工核算为主。在互联网背景下，人工核算已经逐渐被“电算化”所取代。在此环境下，会计专业教学，必须适应时代以及企业的需求，对自身的教学模式进行改革。通过提高会计电算化课程教学效率及质量的方式，提高人才的综合技能。

生：不能，要加上0≤t≤0.5.

师：看来有必要在对应关系的基础上，加入自变量的取值范围. 基于这个问题，再回到初中函数的概念，概念中有没有体现自变量有取值范围呢？

生：在变化过程中的每一个x.

师：非常好！初中的函数概念是通过描述的方式，在变化过程中，体现了自变量的取值范围，但是还不够精确.今天我们就在初中函数概念的基础上，利用现有的知识，用更加严谨的语言来表述函数的概念.

师：我们有什么工具来刻画取值范围呢？

生：集合.

师：好.回到这个问题情境中，自变量的取值范围构成的集合是？

生：[0，0.5].

师: 那么问题情境中的路程和时间的关系就可以这样描述——对于数集[0，0.5]内的每一个值t，根据对应关系：(乘以350)，都有唯一的路程S与之对应. 当t取遍[0，0.5]时，S的取值也会产生一个数集，那是怎样的数集？

师：好，我们再理一下．对于数集[0，0.5]内的任意一个时刻t，根据对应关系把它乘以350，在数集[0，175]中都有唯一确定的值S与之对应.

师：把S和t的物理背景都拿掉，两个变量之间的变化关系就可以抽象成数集A1和数集B1之间的对应关系. 对于数集A1=[0，0.5]中的任一实数t，按照对应关系S=350t，在数集B1=[0，175]中都有唯一确定的实数S和它对应.

设计意图在用“变量说”分析问题1的基础上提出问题，让学生发现说法不正确的原因是“没有关注到t的变化范围”，然后自然而然地用已学的工具——集合来表示t的变化范围，并给出实数集合之间对应关系的表述.这样，既能使学生体会到用集合语言和对应关系重新定义函数的必要性，又给出了用更高层次的数学语言抽象具体问题中对应关系的示范.

问题2某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元，每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资ω(单位：元)是关于他工作天数d的函数吗？

师：你能写出工资ω和工作天数d的对应关系吗？

生1：ω=350d(1≤d≤6).

生2：ω=350d(1≤d≤6,d∈N*).

师：为什么你会加上正整数集的限制？

生2：问题中有“每人每天”这个限制条件.

师：很好，大家都有意识地去关注自变量的取值范围了.

师：你能模仿问题1，利用数集之间的对应关系来描述这个函数吗？

师：自变量的取值集合是？

生：{1，2，3，4，5，6}.

师：它是一个离散的数集.对应关系又是什么？ω的取值集合呢？

生：在数集A2={1,2,3,4,5,6}中的任意一个天数d，根据对应关系：(乘以350)，在数集B2={350,700,…,2 100}中都有唯一的工资ω与之对应.

师：它与问题1中的函数是不是同一个函数？

生1：不是，因为自变量的取值范围不同.

生2：是的，因为对应关系相同.

师：两位同学都给出了自己的理由，那么判断两个函数是不是同一个函数的标准在哪里？依据初中函数概念，能加以判断吗？我们先把这个问题放在这里.

师：解决好了问题1和问题2，大家对于这种能够用解析式表示的对应关系已经比较熟悉了．实际上，表达对应关系还有其他的方式.

问题3如图2是北京市2016年11月23日的空气质量指数(简称AQI)变化图.如何根据该图确定这一天内任一时刻th的空气质量指数(AQI)的值I？你认为这里的I是t的函数吗？

图2

师：问题3中有几个变量？自变量是什么？对照这张图，你能找出这一天上午12点时所对应的AQI值吗？你是怎么找的？

生：有两个变量，自变量是t，在横轴上找到12点时所对应的点N，然后过点N作横轴的垂线，与图象的交点为Q，度量出交点Q的纵坐标.

师：你能找到这一天内任意一个时刻的AQI值吗？I是t的函数吗？

生：是的，因为对于t的每一个值，都有唯一的I值与之对应.

师：这是一个函数，你能找到解析式吗？

(学生们摇头)

师：你能用集合和对应的语言刻画这个函数吗？

生：对于数集A3=[0,24]中的任意时刻t，根据图象给出的对应关系，在数集B3中有唯一的值与之对应.

师:B3是怎样的数集？这里I的变化范围虽然是确定的，但是不清楚具体的数值．不过可以断言肯定在(0，150)内．将B3改为(0，150)能不能描述这个问题情境？试着说一说.

生：对于数集A3=[0，24]中的任一时刻t，按照图中曲线所给定的对应关系，在数集B3=(0，150)中都有唯一确定的AQI的值I与之对应.

师：如果B3=(0，160)，还能构成一个函数吗？

生：可以.

师(追问)：如果B3=[50，100]呢？

生：不行.如果变成[50，100]，4点时就没有值与之对应，不满足对任意一个t，有I与之对应.

表1

设计意图函数类型各种各样，数学追求具有一般化的、简洁的表达形式，但这种表达应该在学生有充分的体验下再给出，因此教科书在具体实例的选择上，涵盖了最常见的表示类型，包括解析式、图象和表格，连续的、离散的，值域C包含于数集B的类型等.让学生经历概念的生成过程，为得到一般的函数概念铺垫温和的台阶，培养学生数学抽象的能力.

2.3 抽象：引水自入渠

师：观察我们从问题1至问题4得到的函数，它们有哪些共同特征？

生：都有一个对应关系，都有两个数集.

师：这些对应关系有什么共同点？

生：对于每一个值，都有唯一确定的值与之对应.

师：与我们初中的函数有哪些异同？

生：相同点都有两个变量、一个对应关系，不同之处是增加了两个数集.

师：初中函数的概念从运动变化的角度出发，描述性地给出了自变量的取值范围，现在我们进一步地明确了两个数集，利用数集之间的对应更清楚地揭示了函数的本质.大家能利用集合和对应的语言，尝试概括出函数的概念吗？

生：两个数集A和B在确定的对应关系f下，集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的数y与之对应.

师：我们称数集A，B和这个对应关系f，这个整体f:A→B为从数集A到数集B之间的一个函数，记作y=f(x)，x∈A，其中自变量的取值集合A叫做函数的定义域；y是这个对应产生的结果，是x经过f对应过来的值，叫做函数值；函数值的取值集合称为值域.

我们引入抽象符号f表示对应关系，它可以是一个解析式，也可以是图象，还可以是表格．从图和表中我们可以比较直观地看出x和y的关系，随着学习的深入，f的表现形式还可以更多.

练习：数集A，B与对应关系f如图3所示．判断f是否为数集A到数集B的函数，如果是，那么定义域、值域与对应关系各是什么？如果不是，请说明理由.(PPT展示，请学生说一说)

图3

师：根据今天得到的函数的概念，你认为确定一个函数，需要有哪些要素？

生：定义域、对应关系和值域.

师：值域就是数集B吗？跟数集B之间是什么关系？

生: 值域是数集B的子集.

师：现在能不能解决问题2中留下来的疑惑了，它们是不是同一函数？

生：不是.因为定义域不同.

师：两个函数是同一函数的充要条件是——

生：定义域、对应关系和值域相同.

师：对！定义域、对应关系和值域就是函数的三个要素.

设计意图通过精心设计的具体例子，让学生感受到函数表示的丰富性，让学生自然而然地感悟到“除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法.为了表示方便，我们引入符号f统一表示对应关系”[1]，这与其他教科书对函数概念的处理有较大的不同.

2.4 应用：回到实际去

请学生用对应说概念重新阐述二次函数和反比例函数，填写表2.

表2

师：如果不加任何限制条件，只给出函数解析式，那么它的定义域就是使得解析式有意义的x的取值集合.

师：函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的是两个量之间的对应关系，可以广泛用于刻画一类事物中的变量关系和规律.刚刚我们在抽象得到函数概念时，都是从实际问题得到对应关系．反之，给定一个函数解析式，如y=kx(k≠0)，它能刻画很多问题，比如匀速运动中路程和时间的关系S=v0t．你还能举出其他例子吗？

生：匀加速运动中速度和时间的关系v=a0t，一定密度的物体质量与体积的关系m=ρV，圆的周长和半径的关系l=2πr，采购单价一定的物品费用和数量的关系ω=ax……

师：我们把上述的变量S,v,t,m,V,l,r,ω,x各自的物理意义和实际意义一般化，用x,y分别代表自变量和函数值，那么他们的对应关系都具有y=kx(k≠0)的形式，因此正比例函数模型是有着广泛应用的数学模型.

例1你能构建一个问题情境使其中的变量关系可以用解析式y=x(10-x)来表示吗？

这是一个二次函数，定义域为R，值域是(-∞,25], 对应关系是f(x)=x(10-x).

(学生小组讨论交流)

设计意图数学概念不是冷冰冰的数字和式子，通过一个函数模型，让学生找到适合它的情境，回归实际应用.同时让学生对函数概念进行辨析，使所学的概念得到及时巩固，展示学生多姿多彩的想法，让学生学会用数学的语言表达世界，也可留给学生课外拓展，激发他们探索数学的兴趣.

3 回顾与反思

3.1 教学设计的立意

在函数概念的教学过程中，首先让学生从初中函数概念出发，结合具体问题情境，经历寻找、归纳它们共性的过程，再经过对比探究、抽象概括出函数概念，最后回到实际生活中去应用概念.教学中，对概念的辨析，普遍的做法是以“提示注意”的方式，对“任意”“唯一”“值域C包含于B”等进行强调，然后很快地进入解题训练，实际上这样做的效果不好．人教A版教材中通过具体的函数解析式y=x(10-x)为导向构建问题情境，让学生在应用中巩固函数概念的方式值得我们品味、学习.

3.2 教学中的反思

初中阶段函数的定义至少存在两个不确切：一是很难摆脱表达形式的束缚，因此很难一般地认识函数，甚至很难把握函数的本质特征，比如狄利克雷函数，很难给出具体的表达式；二是根据变量说的叙述，很难建立函数的定义域和值域，从而很难研究函数的性质.为了解决这个问题，有必要重新定义函数，而且可以进一步摆脱物理背景的束缚，实现更高层次的抽象.然而正是这个抽象，阻碍了高中学生的理解[2].因此，在教学设计中我们必须回顾初中阶段、甚至小学阶段关于函数的那些直观内容，抓住对应关系的本质，创设出合适的教学情境，提出恰当的数学问题，引发学生思考和交流，让学生知道数学概念逐渐抽象的必要性，感悟抽象的思维和表达过程，帮助学生积累数学抽象的经验．

章建跃博士也听了这节课，他对这一节课的评价是：把编写者的意图讲出来了.新课程改革中，我们要深入钻研教材，深刻领会编写者的意图，比较新教材与老教材在处理知识点上的异同，让学生在抽象概念的过程中做到水到渠成，更好地发展学生的数学核心素养.