时变的Lévy噪声驱动的平均场BSDE

任 丽,吕 文

(烟台大学数学与信息科学学院,山东 烟台 264005)

自PARDOUX和PENG[1]首次引入非线性倒向随机微分方程(简称BSDE)后,BSDE理论方面得到迅猛发展[2-3]。受LASRY和LIONS[4]的启发,BUCKDAHN等[5]引入了平均场BSDE理论并成功应用于金融经济、随机博弈以及控制等各个领域, 参见文献[6-8]。

2009年, PENG和YANG[9]引入一种超前BSDE, 其中将混合测度与BSDE 结合,建立了BSDEs 与超前BSDEs之间的对偶关系,为以后研究随机微分方程最优控制的最大值原理提供了基础。在此基础上, LIU和 REN[10]研究了具有以下形式的由时间变化的Lévy噪声驱动的BSDE:

dYt=-f(t,λt,Yt,Zt,Yt+ut,Yt+utdt+

Zt(x)μ(dt,dx),t∈[0,T],

(1)

其中:μ是由在[0,T]×{0}上的条件布朗测度B和在[0,T]×0上的中心双随机泊松测度混合测度,系数f不仅包含解的当前值, 而且包含解的未来值。

此外, LU和REN[11]研究了如下形式的马尔科夫链驱动的平均场BSDE,证明了在Lipschitz 条件下平均场BSDE解的存在唯一性。

(2)

其中:(Y′,Z′)是(Y,Z)的复制。

受以上工作启发, 本文研究具有以下形式的时变的 Lévy噪声驱动的BSDE:

(3)

本文讨论方程(3)解的存在唯一性定理和比较定理。

首先,给出本文中用到的符号和基本假设。第2小节将给出时变的 Lévy 噪声驱动的平均场BSDE方程解的存在唯一性定理, 最后给出方程解的一个比较定理。

1 预备知识和基本假设

设(Ω,F,P)是一个完备概率空间, 对给定的T>0, 记X=([0,T]×{0})∪([0,T]×0),其中0={0}。设λ=(λB,λH)是一个二维随机过程, 分量λi,i=B,H满足:

在X上定义随机测度Λ：

ΛB(Δ∩[0,T]×{0})+

ΛH(Δ∩[0,T]×R0),

(4)

其中q是确定的0上Borel集的σ-有限测度,满足

定义1B是在[0,T]×{0} Borel集上的符号测度, 满足

(b2)B(Δ1)和B(Δ2)关于FΛ条件独立, 其中Δ1和Δ2是互斥集合,H是[0,T]×{0}中Borel集上的符号随机测度。

(b4)H(Δ1)和H(Δ2)关于FΛ条件独立, 其中Δ1和Δ2是互斥集合。我们假设:

(b5)B和H关于FΛ条件独立。

定义2 对X的Borel集Δ,定义符号随机测度μ为

μ(Δ)：=B(Δ∩[0,T]×{0})+

E[μ(Δ)|FΛ]=0,

E[B(Δ)2|FΛ]=ΛB(Δ),

E[μ(Δ)2|FΛ]=Λ(Δ)

以及

E[μ(Δ1)μ(Δ2)|FΛ]=

E[μ(Δ1)|FΛ]E[μ(Δ2)|FΛ]=0，

Ft=σ{Xt, 0≤t≤T}∨NP,

其中NP是所有的P-Null子集的集合。

记

·Lp(Ω, F,P):={ξ: 实值 FT可测随机变量E|ξ|p<+∞,p≥1};

·L0(Ω, F,P;n):={ξ:n值 F 可测随机变量};

注意

E′[θ]=E′[θ(·,ω)]∈L1(Ω,F,P),

并且

E[E′[θ]]。

本文考虑如下形式的时变的 Lévy 噪声驱动的平均场BSDE：

(5)

|f(w′,w,t,y1′,z1′,y1,z1)-

f(w′,w,t,y2′,z2′,y2,z2)|≤

注对方程中的符号做出解释, 方程(5)的驱动系数按如下方式运算：

E′[f(s,Ys′,Zs′,Ys,Zs)](ω)=

E′[f(s,Ys′,Zs′,Ys(ω),Zs(ω))]=

1)对任意的t∈[t0,T],(Y,Z)是连续的;

2)(Y,Z)是 Ft-适应的;

3)对任意t0≤t≤T, 有

(6)

2 解的存在唯一性

本节将讨论时变的 Lévy噪声驱动的平均场BSDE解的存在唯一性,首先给出平均场BSDE(5)解的唯一性定理。

引理1[10]考虑如下形式的由时变 Lévy 过程驱动的BSDE,

(7)

引理2 设ξ∈L2(Ω,Ft,P)且系数满足假设(H1)和(H2),则平均场BSDE(5)的解是唯一的。

(8)

其中:

上式两边积分得

(9)

对式(9)两端在t=T处计算得

取期望, 化简得

(10)

对任意的ρ>0, 由(H1)和 Young 不等式得

令ρ=4C, 则

由Gronwall不等式得

接下来, 考虑平均场BSDE(5)的一个简化形式

(11)

证明设Yt0=0,t∈[0,T], 考虑下面的平均场BSDE:

(12)

等式两边积分得

对等式的两边取期望并且在t=T处计算得

对任意的ρ>0, 由(H2)和 Young 不等式得

从而

两边积分, 得

迭代上面的不等式, 得

是BSDE(11)的解。唯一性是引理2的直接结果,证毕。

下面给出平均场BSDE(5)解的存在唯一性定理。

(13)

由(H1)和Young不等式得

从而

对式(12)两边取极限立得(Y,Z)是平均场BSDE(5)的唯一解。

3 比较定理

本节给出时变的Lévy噪声驱动的平均场BSDE解的一个比较定理。

设(Y1,Z1)和(Y2,Z2)分别是下列2个平均场BSDE 的解,

(14)

其中:i=1, 2。

定理2 假设f1,f2满足(H1)和(H2),ξ1,ξ2∈L2(Ω,FT,P), 且

(i)ξ1≥ξ2,a.s.;

(ii)对任意的t∈[0,T],

则在[0,T]上, 我们有Y1≥Y2,a.s.。

证明为简洁起见, 省略系数f中的ω′,ω和s, 由假设(i),(ξ2-ξ1)+=0,a.s.。

由于对任意的t∈[0,T], 有

对任意的t∈[0,T],ρ>0, 由假设(ii),(H1)和 Young 不等式, 得

从而在[0,T]上,Y1≥Y2,a.s.,证毕。