沥青混凝土路面电磁散射的FDTD研究

董子宇，任新成，赵 晔，杨鹏举，朱小敏

(延安大学 物理与电子信息学院，陕西 延安 716000)

近年来，粗糙面电磁散射研究在军事领域和民用领域的运用越来越广泛，逐渐成为该领域学者关注的热门课题[1-8]。自然界中的陆地面积虽然远小于海洋面积，但是陆地环境却非常复杂，并且很多地面下都是由多种介质组成的，比如植被及其下方的介质，煤层及其上方、下方的介质，雪覆盖的土壤，油层及其上方、下方的介质，还有常见的公路等诸多情形。因此，对于粗糙面下方有多种介质情形的电磁散射研究具有重要的意义。

粗糙面下方有多层介质情形的电磁散射研究中，大多数学者以研究植被、雪层覆盖的土壤为主[9，10]，对路面系统的研究较少。王蕊等人运用KA方法结合矩量法研究了两层高斯粗糙表面的双基地散射[11]；李娟等人用FDTD(时域有限差分)方法研究两层粗糙面的电磁散射问题[12]；晁雪等人利用矩量法研究了非高斯分层粗糙面的电磁散射问题[13]。事实上，对沥青混凝土路面的电磁散射的研究可以更好了解路面的粗糙程度，对于城镇道路交通和飞机跑道的铺设维护等方面具有重要的意义。

本文选用指数型分布表示由面层、基层、路基层构成的沥青混凝土路面的高度起伏，采用蒙特卡罗方法模拟沥青混凝土路面，选取土壤四成分模型表示路基层介电常数，运用FDTD方法研究了沥青混凝土路面的电磁散射特性。

1 基本理论

1.1 粗糙面的生成

在实际情况中，粗糙面一般都是二维的，但是在进行研究的时候为了方便，大多将其简化成一维的。对于一维的随机粗糙面可以使用蒙特卡罗方法进行模拟。将随机生成的粗糙面的长度定义为L，第n个离散点可以表示为xn=n△x(n=1，…，N)，其中△x表示为相邻两个离散点的距离，

(1)

f(xn)即模拟粗糙面的轮廓，其空间傅里叶变化为F(Kj)，定义为

F(Kj)=

(2)

Kj定义为离散波数Kj=2πj/L，W(Kj)表示粗糙面的功率谱密度，△k为波束差，N(0,1)为均值为0，方差为1的正态分布的随机数，当j<0时，为了减少谱重叠，有着F(Kj)=F(K-j)*的共轭对称关系[14]。指数分布粗糙面的功率谱密度为：

(3)

1.2 路面下方介质介电常数

通常我们常见的沥青路面可以分为三层：第一层为沥青混合物的面层，第二层为水泥碎石的基层，第三层为路基层，主要为土壤[15]。面层和基层的介电常数由文献[16]给出，面层的介电常数实部为6，虚部为0.35，基层的介电常数的实部为13，虚部为2.78。路基层的介电常数通过土壤的四成分模型[17]计算得到，土壤类型为粉沙壤土[18]，含沙量为17.2%，黏土含量为19%，土壤复介电常数可表示为ε=ε′-jε″，其中ε′为复介电常数实部，ε″为复介电常数虚部。路基层的介电常数ε=16.19-5.86i(mv=0.3 g/cm3)。

1.3 入射波的引入

在水平线上引入入射波，入射角为θi，角频率为ω，连接边上的点r′=xx′+yy′在入射波方向上的投影为

d=xsinθi-ycosθi。

(4)

距离d的入射波可以通过以线性插值的方法得到，(5)式和(6)式中floor代表向下取整，

Einc(d)=

[1-d+floor(d)]Einc[floor(d)]+

[d-floor(d)]Einc[floor(d)+1]，

(5)

Hinc(d)=

[1-d+floor(d)]Hinc[floor(d)]+

[d-floor(d)]Hinc[floor(d)+1]。

(6)

边界上入射波的场值表示为：

Ez(r′)=Einc(d)，

(7)

Hx(r′)=-Hinc(d)cosθi，

(8)

Hy(r′)=Hinc(d)sinθi。

(9)

为了解决人为发生的反射问题，通常会在入射波上附加高斯窗函数，

G(x,y)=

exp{-[(x-x0)2+(y-y0)2]·(cosθ/g)2}。

(10)

当x0=y0=0，要使窗函数在总场边缘处下降为中心的10-3，应使

(11)

其中ρm为中心到边缘的最小距离。

2 FDTD计算

2.1 二维FDTD差分公式

对于二维的麦克斯韦方程情况，其物理量与z坐标无关。通常电磁波可分为TM波和TE波两种，本文以TM波为例。TM波的二维FDTD差分公式可以写为

(12)

(13)

(14)

式中的系数CA(m)，CB(m)，CP(m)，CQ(m)分别表示为

(15)

(16)

(17)

(18)

2.2 吸收边界的选取

因为FDTD只能在有限区域内进行，所以要对计算区域进行截断处理，也就是需要引入吸收边界条件使其等效为无限区域，而近年来比较常见的吸收边界方法有Mur吸收边界，CPML层，UPML层等。本文运用UPML吸收边界来解决边界问题。对于二维TM波，UPML的FDTD的推进步骤为Hx,Hy→Pz′→Pz→Ez和Ez→Bx,By→Hx,Hy。其具体的时域形式以及PML层的设置可参照文献[19]。

2.3 近—远场外推

因为FDTD只能计算有限区域内的电磁散射，所以若要计算远区的散射场时，就要通过外推边界上的等效电磁流得到。波阻抗为Z，φ为散射波与水平轴的夹角，k为入射波数，当FDTD计算达到稳态时，时谐场可外推得到远区散射场

(19)

远区场的雷达散射截面[20]为

(20)

远区场的散射系数为

σ=10lg(σRCS)。

(21)

3 计算结果与数值分析

本文采用FDTD方法计算三层沥青混凝土路面的散射系数，选取30个粗糙面进行计算，UPML层厚度选取10个网格，入射波波长λ=0.05 m，入射角大小θi=30°，各层随机粗糙面的长度均为L=140λ，粗糙面网格大小dx=0.05λ，高度起伏均方根δ1=δ2=δ3=0.15λ，相关长度为l1=l2=l3=4λ，面层厚度h1=4λ，基层厚度h2=8λ，路基层厚度为无限大。

3.1 FDTD方法的验证

首先得验证FDTD算法计算单层随机粗糙面电磁散射的有效性，λ=0.1 m，粗糙面长度L=100λ，入射角θi=20°，粗糙面参数δ=0.2λ，l=1.5λ，介质相对介电常数ε=2.5-0.85i，粗糙面网格大小dx=0.05λ，选取了80个随机粗糙面。如图1所示。可以看出，由FDTD方法计算的双站散射系数在整个散射角范围内和MoM计算结果吻合得很好，说明采用FDTD进行有关计算是正确的。

图1 FDTD与矩量法数值结果的比较

3.2 高度起伏均方根对散射系数的影响

图2计算了粗糙面高度起伏均方根对散射系数的影响，计算时，三个粗糙面的高度起伏均方根相同，计算时分别取0.1λ，0.2λ，0.3λ。由图2可以看出，在镜反射方向处，散射系数取得最大值，有镜向增强效应，且在镜反射方向临近，散射系数随高度起伏均方根的增大而减小，而镜像处临近以外的其它方向，散射系数随高度起伏均方根的增大而增大。

图2 高度起伏均方根对散射系数的影响

随着高度起伏均方根的增大，粗糙面的高度起伏就越明显，粗糙面就越粗糙，从而导致散射在非相干散射方向上增大，在相干散射方向上减小。

3.3 相关长度对散射系数的影响

图3表示了相关长度对散射系数影响的计算结果，计算时，三个粗糙面的相关长度相同，计算时分别取1λ，4λ，7λ。从图3可以看出，在镜反射方向处，散射系数取得最大值，有镜向增强效应(下同)，在镜反射方向临近，散射系数随相关长度的增大而增大，而在镜像处临近以外的其它方向，散射系数随相关长度的增大而减小，但变化不是太大。

图3 相关长度对散射系数的影响

随着相关长度的增大，粗糙面的高度起伏就越不明显，粗糙面就越不粗糙，从而导致散射在非相干散射方向上减小，在相干散射方向上增大。

3.4 面层厚度对散射系数的影响

图4计算了面层厚度对散射系数的影响，计算时，面层厚度h1分别取0.5λ、4λ和6λ。由图4能够看出，当-80°<θS<-10°时，散射系数随面层厚度的增大而减小，并且变化较为明显；在-10°<θS<40°时，散射系数随面层厚度的增大而减小，但是变化不太明显；在40°<θS<90°时，散射系数随面层厚度的变化不明显，而且无固定的规律可循。

图4 面层厚度对散射系数的影响

3.5 基层厚度对散射系数的影响

图5为基层厚度对散射系数的影响的计算结果，计算时，基层厚度h2分别取为5λ，8λ，11λ。从图5可以看出，散射系数随基层厚度的变化并无明显规律可言，这说明基层厚度对散射系数的影响很小。

图5 基层厚度对散射系数的影响

3.6 路基层湿度对散射系数的影响

图6计算了路基层湿度对散射系数的影响，计算时，用土壤的四成分模型计算路基层的介电常数，考察路基层介电常数对散射系数的影响实际上就归结为考虑路基层湿度对散射系数的影响，路基层湿度mv分别取0.3 g/cm3，0.35 g/cm3，0.4 g/cm3。由图6能够看出，散射系数随路基层湿度的变化并无明显的规律变化，说明路基层的湿度对散射系数无明显影响。

图6 土壤湿度对散射系数的影响

3.7 入射波频率对散射系数的影响

图7为当入射波频率f分别为1 GHz，2 GHz，6 GHz时对散射系数影响的计算结果。由图7不难看出，除了θS<-40°范围内散射系数随入射波频率的变化没有明显的变化外，在散射角变化的其它范围，散射系数随入射波频率的变化有明显的变化，在镜像处，散射系数随入射波频率的增大而增大，其它部分散射系数都随入射波频率的增大而减小，总体看来，入射波频率对散射系数的影响较大。这是因为入射波频率的变化，即入射波波长的变化，导致了粗糙面高度起伏均方根和相关长度相对值的改变，即粗糙程度的改变，再加上路基层土壤的介电常数同时也发生了变化，因此入射波频率对散射系数的影响较大。

图7 不同入射波频率对散射系数的影响

4 结论

本文运用FDTD方法研究了沥青混凝土路面的电磁散射问题，计算结果可用于研究多层均匀介质粗糙面的电磁散射问题，同时对于地面平整度的检测具有重要的意义。本文使用的FDTD方法相较于其它数值计算方法更具有应用性，并且还可以节约运算和存储空间，还具有较高的准确性，同时在建立粗糙面模型时运用四成分模型计算路基层的介电常数，因此，本文理论上在沥青混凝土路面的电磁散射问题上更加贴近于实际情况。当然，本文研究的沥青混凝土路面为一维的，还未涉及到二维的路面系统电磁散射问题和沥青混凝土路面与目标的复合散射问题，而这些问题还需要今后更进一步的研究。