开启抽象，思辨推理，构建模型
——以“一元二次方程的根与系数的关系”为例

江苏省太仓市实验中学 朱 鸣

一、生长数学下的价值判断

1.授课对象

本节课的授课对象为某实验初中九年级平行班学生。

2.教材分析

所用教材为苏科版《义务教育教科书·数学 》（九年级上册）。教学内容为经历了“从问题到方程”和“解方程”的七课时教学后，教材安排了一节“一元二次方程的根与系数的关系”。对照《数学课程标准（2011年版）》，发现这一节为选学内容。虽为打星号内容，但是数学科任老师都不会忽略它，因为“学习这一内容可以进一步加深学生对一元二次方程及其根的认识，也为今后的学习做准备”。

3.学情分析

学生已具备有关一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程等知识，也应该有能力通过自主探索和合作交流列出一元二次方程，然后通过“未知”转化为“已知”，“降次”等方式，注重几种解法之间的相互联系和差别，领会不同方法的特点和本质，快速求解一元二次方程。而本节内容形式比较抽象，书本的推理过程中涉及了含参的根号运算，学生倍感吃力。基于上述教材观、学生观、教学观，可以确定以下教学目标及教学重难点。

4.教学目标

（1）了解一元二次方程的根与系数的关系；

（2）经历一元二次方程的根与系数的关系的探究过程，加深学生对一元二次方程及其根的认识；

（3）培养学生分析解决问题的能力，更好地体会数学的应用价值。

5.教学重点

掌握一元二次方程的根与系数的关系。

6.教学难点

归纳抽象出一元二次方程的根与系数的关系。

二、价值判断下的活动设计

基于这样的价值判断，教学中可以建构下列教学活动，实现教学价值：

1.建构知识网络

教师：到目前为止，同学们学过哪些方程？

学生1：有一元一次方程、二元一次方程组、三元一次方程组、分式方程和一元二次方程。

教师：你们会解这样的方程吗？（板书：x+1=0）

学生2：简单的一元一次方程，小学就会解了。

教师：那这样的方程你们会解吗？（板书：（x+1）（x-2）=0）学生3：x=-1或x=2 。

教师：我想问一下这个方程的“式结构”是什么？

学生3：应该是“A×B型”吧，你介绍过的。

教师：对！事实上，所有的一元二次方程都可以经历从“A=0型”到“A×B=0型”的生长过程，解方程都利用这样的式结构来进行，也不必去细分到底是哪种具体的方法。

教师：今天我们的主要任务不是解方程，而是反其道而行。

问题1：请你们分别以x=1，x=2 为方程的两根构造一个关于x的一元二次方程。

学生很快就写完了，展示两种不同的书写形式：（x-1）（x-2）=0，x2-3x+2=0。

问题2：请你们分别以x=-1，x=-2 为方程的两根构造一个关于x的一元二次方程。

问题3：请你们分别以x=-1，x=2 为方程的两根构造一个关于x的一元二次方程。

教师：这样的例子永远都举不完。请你通过类比，分别以x1、x2为方程的两根构造一个关于x的一元二次方程。

学生顺着惯性思维，很容易将含参的一元二次方程的双根式写出来，但是在书写成一般式的时候，部分同学遇到困难而停滞。此时小组的帮助可以彰显力量，绝大部分学生能正确书写出两种不同的形式。

教师：以问题3的结果为例：（x+1）（x-2）=0，x2-x-2=0，每个等式的左侧能乘个“2”吗？

学生4：可以。

教师：乘“-3”呢？

学生4：可以。

教师：乘“a”呢？

学生4：可以。

学生5：好像不可以吧，“a”若等于0，这就不是一元二次方程了。

教师：这位同学很细致，他对一元二次方程的概念的认识蛮深刻。那我们能否将刚才对照的式子也添上“a”呢？

学生6：我写成了ax2-a（x1+x2）x+ax1x2=0（a≠0）的形式。

教师：如果我将更一般的ax2+bx+c=0（a≠0）上下对照着写，你有什么发现？

纯字母的对照比较还是有难度的，学生分别讨论。有的学生陷入沉默，实则没有将上半节课的内容展开对比和联想；有的基础较好的学生观察力比较敏锐，目光中暗示已经找到答案了。

教师：谁给大家提示一下？

学生7上黑板，在 -a(x1+x2)和b，ax1x2和c的下方划了曲线。

众生：喔（恍然大悟）！

教师：谁来求一下方程的两根的和与两根的积呢？

教师：通过这两个等式，你们有什么想法？

学生9：原来两根和与两根积就可以用系数来表示，深藏功与名啊！

教师：你们很牛气，竟然和法国数学家韦达在16世纪时的发现是一致的。

……

2.典型问题拓展

……

三、活动设计下的教学思考

上述的活动流程彰显了教学设计的意图，在学生递进式思考问题的过程中，不断把握问题的本质和数学的本质。学生经历了数学抽象，发展了数学推理，构建了数学模型，他们的思维不断升华，这或许正是建构主义者的一种理想吧！

1.前后一致谈抽象

建构主义学生观认为：学习者并不是空着脑袋进入学习情境中的。在解决一元二次方程的根与系数的关系之前，学生是从最基本的一元一次方程起步的，逐渐生长到一元二次方程的阶段。其实对于方程而言，它的本质是一种假设的思想，是一种尝试的想法。学生在解决问题时往往秉承着一种试错的态度。既然无法一眼洞穿，那就用不同的假设去验证它，在种种备选方案中选优选简，进而决策。那么如何将一元一次方程“x+1=0 ”生长成一元二次方程“a（x-x1）（x-x2）=0 (a≠0) ”的 “双根式”呢？这中间就蕴含着数学的抽象思维，按照四个数学抽象之一的弱抽象定义来看：从原型中选取某一特征（侧面）加以抽象，使原型内涵减小，结构变弱，外延扩张，获得比原结构更广的结构，使原结构成为后者的特例。对照这样的定义，我们不难发现，原结构是一个一元一次方程，借用它的概念，可以抽象出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当然，也可以用“双根式”a(x-x1)(x-x2)=0 (a≠0)来表示。如果从一元二次方程回看一元一次方程，无非是“A×B=0”中包含了“A=0”这样的形式，它的“式结构”中涉及了一个“升次”或是“降次”的问题。

2.逻辑一致话推理

皮亚杰给出了“同化”和“顺应”的概念。同化是指认知结构的量变，顺应是指认知结构的质变。对于a(x-x1)(x-x2)=0 (a≠0)这样的方程，建立在学生可以有效避开“雷区”—a≠0的基础上。

3.一以贯之建模型

建构主义学者认为，同化和顺应过程的交替，实际上对应着学生认知结构的“平衡——不平衡——平衡”的过程，用鲍建生教授的观点来看，可以对照成“模型——模式”“模式——模式”“模式——模型”的过程。在“模型——模式”阶段，这是涵盖数学的概念、关系和结构的阶段。学生理解一次方程的概念和一般式的结构，进而可以生长到二次方程的概念和几种结构形式。在调节参数的过程中，学生其乐融融，认知没有突破，仍处于“平衡”的状态。当课堂进行到“模式—模式”的拐点时，数字和字母的特殊化和一般化互相印证时，一旦“-a(x1+x2)=b，ax1x2=c”直击灵魂，学生固有的认知“平衡”被打破，大巧如拙的数学推理的“不平衡”就展现得淋漓尽致。至于“模式——模型”的过程，可以认为是具体的应用，在一般的方程和函数中较为多见。本课中，通过例1、例2、例3三个简单例题来穿针引线，将学生的认知水平在经历刚刚的突破后维持在一个较高的平台，使学生认知进入更高一个层次的“平衡”中。

本课例中，学生畅所欲言，不断地把这节课的探索活动、思维过程，提升内化为理性经验。这样的经验是基于学生已有的知识经验，并把原有的知识经验作为新知识的生长点，借助数学课堂中的抽象、推理和模型实现知识的处理和转化，从而形成知识结构。知识结构化了，往往就能同中析异、异中求同了。