浅谈中学生数学思维能力的培养

陈亮

“使学生受到必要的数学教育，具有一定的数学素养，对于提高全民族素质，为培养社会主义建设人才是十分必要的。”这是现代教育提出最基本的要求。数学素养的提高最为重要的一点就是对学生数学思维的培养。本文结合笔者的教学经验，就如何“对中学生数学思维的培养”进行阐述。

一、注重数学模型的构建

数学学习离不开解题，而解题的过程就是构建数学模型的过程。数学教学就是让学生在灵活运用数学知识的基础上，逐步提高数学建模能力。通过构建数学模型，可以培养学生的直觉思维能力，分析问题和发现事物本质的能力，提高学生运用模型解决问题的能力，从而有效发展学生的思维能力。

【例1】三位先生A、B、C带着他们的妻子a、b、c到超市购物，至于谁是谁的妻子现在只能从下列条件来推测：他们6人，每人花在买商品的钱数（单位：元）正好等于商品数量的平方，而且每位先生都比自己的妻子多花48元钱，又知先生A比b多买9件商品，先生B比a多买7件商品.求先生C购买的商品数量。

改问题乍一看毫无头绪，引导学生经过分析、比较，从多方面思考问题，进行思维变通，根据题意，设未知数，建立方程模型。

设一对夫妻，丈夫买了x件商品，妻子买了y件商品，则有x2-y2=48，即（x+y）（x-y）=48.∵x、y都是正整数，且x+y与x-y有相同的奇偶性，又∵x+y>x-y，48=24×2=12×4=8×6，∴ 或 或 解得x=13，y=11或x=8，y=4或x=7，y=1.符合x-y=9的只有一种，可见A买了13件商品，b买了4件.同时符合x-y=7的也只有一种，可知B买了8件，a买了1件.∴C买了7件，c买了11件.

二、引导学生运用辨证法观点认识数学知识结构

1.要让学生注意数学概念发展过程中矛盾的普遍性。以中学阶段数集的发展为例：解方程x2-3=0与有理数发生矛盾，引出无理数的概念，从而使数集扩充到实数集;又x2+1=0在实数范围内无解，从而引入虚数，使数的概念扩大到复数集。象这样解决一个旧的矛盾后又产生一个新的矛盾，对数学的研究不断发展和深入，使学生的思维越来越深刻，越来越开阔。

2.引导学生用运动及矛盾转化的观点来分析知识的功能及层次，亦可使静止的数学“动”起来。例如公式sin2x+cos2x=1，粗看起来是一个“死”式，但通过仔细分析其功能，即可发现其运动性：公式从左到右，是变量化常量（降次）;从右到左，则是常量化变量（升次）。它在三角变换中具有常变互化作用，如：求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最大值的几种做法，稍作变换sin2x=1-cos2x是正余弦互变，在两边加上2sinxcosx便有（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx，则成为正余弦和与积的互换关系（如：求y=sinx+cosx+sinxcosx最大值）。由此使学生认识到事物的运动是绝对的，静止则是相对的。

3.质量互变规律，充分理解知识的内在联系，形成知识块和知识链。在讲立体几何中的旋转体時，从带有普遍性的圆台侧面积π（R+r）l与体积 出发，当R→r、l→h达到极限状态R=r、l=h时，圆台则变成圆柱，其侧面积与体积变成 、πR2h;而当r→0达到极限r=0时，则圆台变成圆锥，其侧面积和体积变成πRl与 。众多的数学现象说明，当某种因素运动到一定程度时将引起质变。象这样去引导学生去认识和分析问题，把数学知识串通起来，使知识更系统化，解题思路更清晰，思维更全面。

三、注意创新意识的培养

创新意识的培养是对数学思维培养的一个重要内容。在数学教学中要有意识地激发学生的主体意识，让学生主动参与教学的全过程，培养他们勇于探索、敢于求异、大胆创新的精神。

（1）引导学生学会质疑，勤于发问。质疑是创新的基础。疑问是思维的深化、探索的动力，因此教学中注意引导学生质疑。比如：为什么由 得出函数y的最小值为4是错误的。从而强调用基本不等式求最值时“正、定、等”的三个缺一不可。通过这样不断发问，对问题理解更透彻，思维更严密。

（2）引导学生换角度思考问题。在解决问题时，我们通常凭借已有的知识和方法选择思路和入手的方向。当思维受阻时，就应当调整思维方向，变换角度思考问题。

【例2】函数Y=2cosx（0≤x≤2π）的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，求封闭的平面图形的面积。

分析：若用常规的面积公式无法解决。换种思路，用割补法化为等积的矩形OABC或矩形AEFM或矩形BGMA的一半（如图）。易求得S=4π。

（3）引导学生自己发现问题，自己解决问题。课堂教学中通常是教师提出问题，学生回答。学生学习的最好方法是自己发现问题，自己去解决问题，比如在学习抛物线及其标准方程的内容时，可以采用如下方法：首先让学生看课本，然后讨论如下问题：①有无其它建立坐标系的方法？为何建立课本的坐标系？②参数p的几何意义是什么？③能否总结出抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程及图形的记忆规律？④抛物线是双曲线的一支吗？然后老师补充，引导学生解决所提出的问题。

四、注重非智力因素的培养

大多数学生智力并无明显差异，导致学生两极分化的一个重要因素是非智力因素的发展存在差异，影响了数学思维的发展。

（1）培养学习兴趣。“兴趣是最好的老师。”问题是数学的心脏。美国数学教育家波利亚指出：“引入问题要活泼新鲜，有时可诙谐或说些似是而非、自相矛盾的见解，让学生去猜，因为一旦表示出某种猜想就会追求猜想的正确与否，从而热心起来。”同时，要善于利用无处不在的数学美，比如数学式的和谐、图形的对称、方法的独特、技巧的奇妙等，数学美的教学会给学生带来无穷乐趣，使其思维能力在乐趣中得到培养。

（2）激发学习动机。学习动机直接影响学习效率，从而影响学生思维能力的提高。在教学中，要有意识地突出教材与其它学科的联系。如讲正弦函数可引导学生研究无线电波、弹性物体振动和交流电等形成过程的曲线。还可结合教材进行爱国教育，如把有关我国科学技术发展成就引入到教学，介绍日益发展的现实世界对数学迫切需求的情况，以促使学生把学数学的近期目标与远大理想紧密联系起来，形成最佳的学习动机。

（3）建立情感态度。所谓“亲其师才能信其道”，作为中学教师，教学应注意尊重个性，因材施教;爱生如子，言传身教，使学生尊重你并喜欢你的课。

总之，新时期的中学数学教育要求我们突破传统教学的局限性，把传授知识、渗透方法、培养能力组成一个整体，使数学教学的价值超越数学领域，使数学精神、思想和方法铭刻在每一位学生的头脑中，切实提升数学学科核心素养，为其终身发展打下良好基础。