构建模型变换研究N阶环形网络的等效电阻

黄依欣 谭志中

(南通大学物理系 江苏 南通 226019)

社会的发展和科学的进步推动了电路网络的研究与发展[1]. 电阻网络模型的研究能够促进学生思维创新能力的发展, 因为电路结构是一种拓扑结构, 可以任意改变电路的结构形状, 从而能够激发学生的发散思维, 尤其是简单的电路网络可以通过实验验证与仿真. 在不少中学物理竞赛题中也会出现一些电阻网络的问题. 最近10年, 电阻网络研究获得了比较丰富的研究成果[1～17], 例如, 2001-2003年关于N阶梯形网络研究取得了新的突破[2～5], 2011年文献[1]建立了研究电路网络模型的创新理论, 使得许多复杂的电阻网络问题得到解决[6～13]. 最近, 文献[14～17]利用文献[1]建立的新方法解决了4类复杂的N阶电阻网络难题, 为相关的科学研究建立了新的理论基础.

电阻网络的等效电阻研究虽然获得了比较丰富的研究成果, 但综观以上文献的研究发现关于N阶环形电阻网络的等效电阻问题尚缺乏深入研究, 尽管多边形电阻网络模型也是一类周期的网络模型[8～9], 但是多边形电阻网络模型含有一个特殊的汇聚点,因此N阶环形电阻网络的等效电阻问题是一类有待研究的问题. 如文献[2～7,10～17]关于电路网络的研究都不是周期网络.

为了研究图1所示的环形电阻网络的等效电阻, 本文创造了一种新的方法, 该方法不同于文献[1～17]中的任何一种方法. 本文采用模型压缩的策略获得了新的灵感, 创造了新的研究技术, 巧妙地将N阶环形电阻网络压缩成为n阶平面矩形电阻网络. 这种模型变换与转化的思想对相关学科的科学研究具有方法论意义, 对培养学生的创新思维能力具有积极意义.

1 网络模型的结构变换

考虑图1所示的环形网络, 其电阻参数电路如图2所示. 环形网络属于三维空间网络, 本文拟采用巧妙的方法研究A1与B1两点间的等效电阻. 研究发现环形网络可以等效地压缩成为矩形电阻网络. 这是一个重要的发现, 是一次思想与方法上的创新.

图1 任意N阶环形电阻网络模型

图2 含有电阻参数的环形网络部分电路图

研究发现, 边界上含有N个节点的环形网络可以压缩成为矩形电阻网络. 分别考虑节点为奇数和偶数的情形, 最终结果是：对于N=2n条边和N=2n+1条边的环形网络都可以转化成为1×n阶矩形网络.

(1)当环形边界上的节点数为偶数的情形

对于节点数为N=2n的环形网络, 其俯视图如图3所示的结构. 如果在A1，B1节点间接入恒定电压, 根据对称性, 则电位必然有

图3 2n环形网络的拉压俯视图

U(Ak+2)=U(A2n-k)

U(Bk+2)=U(B2n-k)

其中k=0,1,2,…,2n．

因此, 图3可以进一步等效成为图4结构的电阻网络. 设环形网络上下边上的单元电阻分别为r1和r2, 连接上下边的轴线上的电阻为r0, 则在图4中有

图4 边数为2n环形网络压缩后的电阻参数图

根据图4结构可以计算出节点间的等效电阻.

(2)首先考虑环形网络的节点数为奇数的情形, 即节点数为N=2n+1的情形

将环形网络拉压成图5所示的结构.如果在A1，B1节点间接入恒定电压, 则电位必然有

图5 2n+1阶环形网络的拉压情形

U(Ak+3)=U(A2n-k)

U(Bk+3)=U(B2n-k)

其中k=0,1,2,…,(2n+1),并且有

U(An+2)=U(An+1)

那么, 图5可以进一步等效成为图6结构的网络, 其中

图6 边数为2n+1环形网络压缩后的电阻参数图

根据图6结构的模型可以计算出A1，B1(n)节点间的等效电阻. 请注意, 图4与图6存在差别, 主要是右边界的电阻不同.

2 等效模型的统一建构

研究上述两种情形的等效电阻RA1B1(N)时, 需要先计算不包含两端边界的等效电阻Rn的通用公式, 可以采用如下模型进行统一建构.

图7 等效二端口模型

为了研究方便, 简记

r1+r2=2r

则

r′1+r′2=r

根据等效模型图7可以得到其等效电阻的递推公式

(1)

下面采用变量代换技术给出递推式(1)的解.

假设存在数列{xn}, 并且采用下列变换关系

(2)

可以规定初始项x0=1, 利用式(2)得到初始条件

(3)

将式(2)及其递推式Rn-1代入式(1)化简得到

(4)

根据文献[1]建立的理论可知差分式(4)的特征方程为

(5)

设α和β分别为式(5)的2个特征根, 解此特征方程得到

(6)

其中

因此式(4)能够变换成为一个简单的方程

xn+1=(α+β)xn-αβxn-1

(7)

根据文献[1]中建立的方法解差分方程式(7)得到

(8)

将初始条件式(3)代入式(8), 得到(利用α+β=r0+r)

(9)

将获得的结论式(9)及其递推式代入关系式(2)得到

(10)

其中R0的值(图4与图6右边界的电阻值)由环形网络边界上节点数的奇数和偶数决定.

3 两个电阻公式

(11)

所以, 节点数为2n+1情形时A1,B1两节点间的等效电阻

RA1B1(2n+1)=r0∥(r+Rn-1)

则应用式(11)得到

(12)

(2)当节点数为N=2n时,依据图4有R0=r0, 则由式(10)得到

Rn-1=

(13)

所以, 节点数为2n的情形时A1,B1两节点间的等效电阻

RA1B1(2n)=r0∥(r+Rn-1)

则应用式(13)得到

(14)

其中记

为此, 这里采用压缩变换的方法得到了N阶环形网络的等效电阻公式.

4 特殊情形与讨论

情形1:当N=1时, 其电路模型如图8所示, 此时N为奇数, 等效电阻公式适用于式(12), 在式(12)中设n=0, 得到

图8 N=1的环形网络

(15)

显然得到RA1B1(1)=r0, 此结论与实际电路计算的结果完全相同. 此即验证了N=1时所得结论的正确性.

情形2:当N=2时, 其电路模型如图9所示, 此时N为偶数, 等效电阻公式适用于式(14), 在式(14)中设n=1, 得到

图9 N=2的环形网络

(16)

其中利用了α+β=r0+r.实际电路的计算

显然得到的等效电阻式(16)与实际电路计算的结果完全相同.此即验证了N=2时所得结论的正确性.

情形3:当N=3时, 其电路模型如图10所示, 此时N为奇数, 等效电阻公式使用式(12)计算,在式(12)中设n=1, 得到

(17)

其中利用了α+β=r0+r.通过对实际电路图10计算时所得结果与式(17)完全相同, 此即验证了N=3时所得结论的正确性.

图10 N=3的环形网络

以上利用实际电路验证了文章所得结论的正确性. 当然, 由于本文所有计算都是严格的理论推导, 所有的方程与结果都是自洽的, 因而所得结论必然是正确的. 本文采用灵活转化的方法进行研究,为研究复杂网络模型提供了一种新思路, 为广大物理教育工作者开展科学探究提供了新的实践案例.