迈克尔孙干涉仪测量He-Ne激光波长的不确定度计算*

韩玉龙 吴 佩 朱小宝 孙金芳

(安徽信息工程学院通识教育与外国语学院 安徽 芜湖 241003)

迈克尔孙干涉仪是现代光学仪器的重要组成部分,可以用来精密测量光波长、折射率和微小长度等[1,2],能够直观地反映光波的干涉现象,在当今的引力波探测中,其原理获得了相当广泛的应用.文献[3,4]提出“误差概念的多义性容易在学生和初级技术人员中引起混淆”以及“不确定度的引入是想避免这种混淆,用不确定度来涵盖标准差(或其倍数)或置信区间的半宽度”.考虑到物理实验教学和理论教学有着不同的要求和规律,物理实验有关误差分析和数据处理的教学环节,很难实现所有的原理、方法、公式都如同理论具有的严密性、自洽性.因此在实验教学中，特别对于非物理专业的误差理论和数据处理,应根据基础课程的特点,可采用简化处理体系.迈克尔孙干涉仪测光波长属于间接测量的方法测量光源波长,需要计算间接测量的合成不确定度,如此来说，计算过程繁琐,针对初学者有一定的难度.

本文简化计算了数据关联情况下的不确定度,便于学生理解和掌握.

1 基本原理

光的干涉是重要的光学现象之一,是光的波动性的重要实验依据.两列频率相同、振动方向相同和位相差恒定的相干光在空间相交区域将会发生相互加强或减弱现象,即光的干涉现象.迈克尔孙干涉仪的原理是用分振幅法获得两束相干光实现干涉.He-Ne激光器可产生一个线度非常小、强度足够大的单色光,经过扩束镜可形成发散的激光束,光源经过分束板G1后分成一束反射光和一束透射光.其中反射光被移动镜M2反射,透射光经过补偿板G2后被固定镜M1反射,图1中M′1为固定镜M1的虚像,相当于是由两个虚光源S1和S2发出的相干光,虚光源S1和S2的间距为M′1和移动镜M2的间距d的2倍,即为2d.如图1所示,虚光源S1和S2发出的球面波在空间相遇的位置处处相干,所以在空间中,光场叠加的区域中放置观察屏均可以观察到干涉现象,这种现象即为非定域干涉.

图1 非定域干涉原理图

当固定镜M′1与移动镜M2两表面平行时,也就是固定镜M1和移动镜M2互相垂直时,可以在毛玻璃屏上观察到明暗相间的圆形条纹,即为等倾干涉现象,如图2所示.

图2 He-Ne激光光源的等倾干涉条纹

移动镜M2的移动会导致视场中心的干涉环纹出现吞/吐的变化,当涌出一个环纹或者吞进一个环纹的时候移动镜M2的移动距离为光源波长的一半,移动镜M2的移动距离为Δd,吞/吐环纹的次数为N,光源波长为λ,其满足的关系式为

(1)

式中Δd=lm-ln,lm和ln分别为移动镜的始末位置.实验中通过测量移动镜的始末位置和环纹吞/吐变化的次数N计算He-Ne激光波长,波长值为间接测量的物理量.

根据国家计量技术规范规定[5],实验标准偏差可以表征一个多次测量物理量的结果分散性,譬如n次测量xk的实验标准偏差可按贝塞尔公式计算

(2)

(3)

(4)

式中a表示被测量可能值区间的半宽度,k称为置信因子.实验中,被测量λ是由移动镜始末位置(lm,ln)和环纹吞/吐变化的次数N通过函数式(1)确定,其估计值λ的合成标准不确定度的传播规律uc(λ)按式(5)计算

(5)

波长λ的不确定度与移动镜始末位置(lm,ln)和吞/吐环纹的次数N有关.为了便于学生理解,也为了简化计算,忽略m,n,的不确定度,只考虑lm,ln和N的不确定度.考虑各个变量之间的独立与否,以及移动镜始末位置lm和ln相互关联的情况下计算波长λ的合成标准不确定度,并进行分析.

2 测量数据相互关联的不确定度计算

移动镜的位置lm和ln相互关联,即认为Δd=lm-ln为直接测量量,由式(1)和合成标准不确定度的传播规律可知

(6)

根据波长计算公式,分别对Δd和N求偏导数,可得

式(6)第一项为移动镜始末位置lm和ln的测量偏差引入的标准不确定度,其中u(Δd)为间接测得量Δd的合成不确定度,取决于移动镜的始末位置lm和ln,可表示为式(7)

(7)

由A类标准不确定度的计算公式可知

(8)

由于仪器测量过程中存在回程误差,所以移动镜各个位置只测量1次,因此uA(li)=0,故有

其中i表示m或者n,代入式(7),整理后可得

(9)

(10)

将式(9)和式(10)代入式(6)整理可得计算波长的合成标准不确定度,式中单位均为mm.

(11)

测量移动镜的始末位置,根据理论公式,N的取值越大,相对误差应该越小,实际实验中读取环纹的变化次数全靠人的眼睛,次数越多会导致过大的疲劳误差,一旦数错条纹数据,反而会引起更大的误差.文献[6]研究了“吞”或“吐”条纹数量对测量结果准确度的影响,实验结果表明当N=40时,获得的结果较为准确.原始数据记录处理如表1所示.

表1 迈克尔孙干涉仪实验原始数据记录和处理

续表1

根据表1的数据,其中Δd取最大值0.013 42 mm,代入式(11)进行计算.He-Ne激光波长的不确定度计算结果为uc(λ)≈5.3 nm.根据计算结果可知式(11)中第二项的贡献要大于第一项的贡献,主要原因是学生根据视觉和记忆进行判断中心干涉环纹始末状态大小,因此实验中随机误差的影响要大于系统误差.

3 结论

选干涉条纹“吞”或“吐”数量为40次测得实验数据,实验中求得实验结果的平均值为635.0 nm,He-Ne激光波长公认值为632.8 nm,其相对误差为0.34%.考虑数据相互关联的情况下,给出了一种简化的不确定度计算方法,波长的计算结果可表示为(635.0±5.3)nm,便于学生理解和掌握.实际实验中产生误差的原因很多,譬如残留螺纹空程误差、光路调节误差等,可通过校准后沿原方向转微调手轮来消除空程误差,以及对条纹中心偏移产生的误差进行修正等，尽可能地将系统误差降低到相对于随机误差可忽略的程度.在实验教学中,可根据教学需要引入一些未被考虑的测量误差分量的分析,提倡多角度、多方法探索影响实验结果的因素，突出物理实验方法的学习.