基于微分方程的高渗性高血糖状态诊断模型

李 星 罗振国 范建华 黄 琼 李石生 黄 丽

（衡阳师范学院南岳学院，湖南 衡阳 421008）

0 引言

作为糖尿病严重急性并发症之一，高渗性高血糖综合征的患者经常会出现严重高血糖，甚至昏迷。当前，高血糖高渗状态的病人最主要临床表现是血浆胰岛素水平比糖尿病酮症酸中毒者还要高很多，针对这一类糖尿病患者，在临床上还没有找到有效的治愈方法。

2019年10月，东莞台心医院通过26例实际研究对象进行临床诊断和生化检查，进行静脉输液补充钾、钠和胰岛素，通过观察患者的渗透压、失水量以及血糖水平，从而得出糖尿病高渗昏迷患者应及时进行静脉输液。2020年6月，山东省阳谷县人民医院内分泌科通过对照组与观察组，分别进行常规治疗与优化治疗，通过比较患者的各数据指标，得出了高血糖高渗状态患者应采用优化治疗来改善心肌功能、缓解炎症反应。现有文献都是通过实际患者入手，通过实际的案例与所得结果为实验结果，但是都只是探讨其治疗原理和患病原因，并未建立血糖与胰岛素之间关系的数学模型。因此，建立血糖与胰岛素之间关系的数学模型是十分必要的，及时检测了血糖含量的变化来量化血糖与胰岛素之间的作用。

1 模型的建立

1.1 问题的提出

糖尿病属于新陈代谢类疾病，明显的临床表现是尿和血液中含有很多的糖分。糖尿病发生的机理是患者体内胰岛素缺乏，糖不能被身体组织充分消耗利用而滞留于血液中，导致血糖过高。葡萄糖耐量试验是一种常见诊断糖尿病的方法，该试验要求测试者在试验前3 d维持正常饮食，保证摄入足量的碳水化合物；在测试前1 d晚餐后禁食；试验一般在早晨进行，先抽血化验血糖量，然后让测试者服用剂量约100 g的葡萄糖，服糖后的0.5～5 h内对受试者血液中的葡萄糖质量分数做几次测量分析，根据受试者的血糖质量分数能否恢复到摄入葡萄糖之前的质量分数和需要的时间来推断受试者是否患有糖尿病。简要流程归纳为3个步骤：第一，前3d正常饮食；第二，前1d晚餐后禁食；第三，实验的当天早晨先抽血化验化验血糖量。

但是使用葡萄糖耐量试验的主要困难在于对实验结果如何进行正确的解释没有一个公认的标准。为此建立了一个简单的数学模型，用来估计和解释葡萄糖耐量试验的结果。

1.2 模型的分析

（1）由于葡萄糖是动物组织和器官的能源，在新陈代谢过程中起着重要的作用，因此，假设每种动物都有一个最佳血糖质量分数，与最佳质量分数的过度偏差会引起严重的病情，甚至死亡。

（2）在自我调节过程中，血糖质量分数受到胰岛素、肾上腺素、甲状腺素生长腺素等激素的影响和控制。

（3）在糖代谢过程中，体内分泌胰岛素、胰高血糖素、糖皮质激、甲状腺素、生长激素等激素来保持血糖正常水平。

由此可见，糖代谢的自我调节是十分复杂的，要建立一个反映各种激素的调节机理的数学模型是十分困难的，必须增加一些假设和进行适当地简化。对血糖质量分数的调节主要取决于各种激素和内分泌物的综合作用，胰岛素在糖代谢中起着降低血糖质量分数的作用，而其他激素和内分泌物主要起着增加血糖的质量分数的作用。因此，这个数学模型主要涉及2个质量分数，血液中葡萄糖质量分数（用G表示）和激素的净质量分数（用H表示），降低血糖质量分数的激素被认为将增加H，增加血糖质量分数的激素被认为将减少H。

1.3 模型的建立

问题一：假设对血糖质量分数起调节作用可用一个综合参数H描述：

综合参数最佳值（正常值）：H0

问题二：G和H相互制约和相互影响，自动由正常水平G0和H0调节。

问题三：由于g=G-G0，h=H-H0（其中，g为葡萄糖浓度之差，h激素浓度之差）相对较小，所以可得：

其中F1（G，H），F2（G，H）分别表示血糖浓度的变化和激素浓度的变化与G，H的函数关系式，J（t）是引起血糖质量分数增加的外部速率，且满足。

作变换：g=G-G0，h=H-H0，经过分析整理后可到微分模型：其中=-m4，mi＞0，i=1，2，3，4。

1.4 参数的估计

（1）G0很容易取得，而H0无法得到。

（2）在进行葡萄糖耐量试验时，接受葡萄糖的时间很短，而接受葡萄糖0.5 h后才进行检测，因此，取接受葡萄糖后某个时刻为零时刻，不妨设J（t）≡0，可推出：其中：

（3）特征方程：λ2+2αλ+=0不妨设：，取，则可求得模型的解为：

可得血糖质量分数的表达式：G（t）=G0+Ae-αtcos（ωt-δ），有4个参数：，α，ω0，δ=arctan

（4）确定参数方法：首先，进行4次测试，得到一个由4个方程组成的方程组，再最优化方法——最小二乘法确定4个参数，具体如下：minf（A，α，ω0，δ）=[Gi-G（ti）]2式中，Gi为时间ti时的测量值，i=1，2，…，4。

1.5 模型的检测

由于参数α对G的测量误差很敏感，任何含有参数α的诊断糖尿病的标准都是不可靠的。而参数ω0对G的测量误差不敏感，可以将ω0可作为定量分析的基本值，从而将相应的自然周期作为诊断糖尿病的指标。对大量正常人和病人做葡萄糖耐量试验，将试验的结果拟合出相应的t0，由统计分析可得结论：（1）正常人t0的范围为每千克体重摄入葡萄糖1.75 g，则t0＜4 h；（2）糖尿病患者t0的范围为每千克体重摄入葡萄糖1.75 g，则明显t0＞4 h。

2 模型的应用

取上海华山医院对466位正常人做葡萄糖耐量试验，测量一组数据如表1所示。

表1 葡萄糖耐量试验

代入血糖质量分数的表达式，解四元方程组，可以得出4个参数的值：A=610.5794，α=1.5926，ω=0.8645，δ=1.7990由t0=，可得t0=3.4674 h＜4 h，从而诊断出试验人员不是糖尿病患者。

3 结语

用数字公式和图表来处理一些医学实际问题，经过大量数学的推导得到一些医学问题的定量结果，从而使得疾病的诊断和治疗有了较好的理论依据，可以避免误诊。本文为提高糖尿病临床诊断的准确率提供一些有效参考价值。