核心素养视角下的高中数学教材比较分析
——以立体几何初步为例

向颖怡，叶明露

(西华师范大学 数学与信息学院，四川 南充 637000)

0 引言

在当前教育课程改革的时代背景下，核心素养一直是热潮中的话题.2020年新高考评价体系的颁布也进一步体现了国家从宏观政策的角度强调核心素养的重要性.其中一个很重要的原因是，党的十八大关于教育的论述中明确提出了立德树人的根本任务[1-2].为了落实这一根本任务，教育部对高中数学课程标准的修订提出了突出核心素养的具体要求，并强调了核心素养对新课标的统领.新课标在教材编写意见中也明确提出教材编写要贯穿发展学生数学核心素养的主线，凸显内容与数学学科核心素养的融合.以此使得数学学科核心素养成了引导当前高中数学教学的重要旗帜.因此，分析新教材在旧教材的基础上做出怎样的改进与完善，对于更好地实现这一教学目标有重要的教育价值和意义.

通过相关文献的查阅与阅读不难发现，现阶段在我国关于“立体几何”部分的教材比较研究中，主要包括新旧教材的比较研究和不同地区使用版本的比较研究.在新旧教材的比较方面，高维宗[3]通过对比《高级中学课本—立体几何》和《全日制普通高级中学教科书—数学第二册(下B)》中立体几何部分的内容要求和内容编排两方面，提出了新教材中一些需要商榷的地方.刘苑玉[4]通过对比《普通高中新课程标准(实验)》(以下简称《实验稿》)和《全日制普通高级中学数学教学大纲》(以下简称《大纲》)下两版教材的“立体几何”部分，得出了《实验稿》教材更符合学生认知规律，更重视几何直观的学习的结论.

在不同地区使用版本的比较方面，张瑞凤等[5]以新课改后的人教A版与苏教版为例，对“几何”部分进行了整体结构与具体内容的比较.杨颂[6]通过对《实验稿》下人教A版和苏教版中的“立体几何”部分进行表层与深层的比较，最后总结出两版教材各自的特点.宋波等[7]通过对人教版和北师大版的“立体几何”部分内容、知识呈现、教学效能等的比较研究提出了一地两本、分层教学的教学模式.

以上文章均对不同教材中的“立体几何”部分进行了多维度的分析，研究角度较全面.但几乎都集中于对《大纲》和《实验稿》下不同教材的比较和对《实验稿》下不同版本教材的比较.很少有对2019年版新教材的“立体几何”部分内容进行比较研究的.其中倪筱妤[8]对2019年湘教版和2005年湘教版教材中的立体几何初步一章进行了宏观内容和微观知识点的对比、结构体系细化的对比以及例题难度的对比，通过找寻其中的差异性与共性，总结出新教材在培养学生数学核心素养上的优势.张文远[9]对人教B版新旧教材中的“立体几何初步”进行了比较研究，首先分析了课标中的相关内容，其次对教材的内容与编排、两版教材的难度进行了比较，最后给出了一定的教学建议.

概括而得，目前已有对高中数学“立体几何”部分的研究均集中于2019年版新教材发行并投入使用之前.因此，关于2019年版新教材“立体几何”部分的教材比较研究还处于一个相对空白的位置，有较大的研究价值.

立体几何作为高中数学学习的重难点，在高考数学试卷中占据了比较高的分值.如何提高学生对立体几何知识的掌握程度也是众多教师与学生关注的话题.在核心素养背景下，由于新课标对学生的发展提出了不一样的要求，这也使得教学的侧重点有所转移.同时，几何的学习能帮助解决学生数学学习过程中的一个突出问题，即缺乏直观，使“直观想象”与“数学运算”较为自然的有机融合.因此，完善立体几何初步部分的教学，有助于更好地实现发展核心素养与促进学生知识掌握二者并重.

基于此，本文对新旧教材立体几何初步部分编排上的差异做了一些对比，从核心素养的视角来分析其差异性，以便教师在课堂教学过程中实现核心素养、教学内容、新高考评价体系的完美结合[10].

1 新旧教材立体几何初步部分体系结构的比较分析

1.1 新旧教材编排结构的比较分析

科学的认知规律是学生有效接受知识的前提，只有当知识体系的结构符合学生认知发展的阶段性、顺序性、差异性等特征时才能有效激发学生的感知、记忆、理解等.同时，考虑到教材结构的逻辑连贯性对学生形成和发展核心素养有一定影响，以下对新旧教材的编排结构进行了比较分析，具体表现如表1.

表1 两版教材立体几何初步部分体系结构比较

由表1可发现两版教材在立体几何部分的学习都是从观察空间几何体的整体结构入手；先观察其直观图；再学习简单空间几何体的表面积与体积计算.在此基础上，进一步研究其构成要素：点、直线、平面间的位置关系；最后用数学语言来刻画线与线、线与面、面与面的平行与垂直的性质定理与判定定理[11].

而章节构成上的差异主要为：新教材将旧教材中的“空间几何体”一章与“点、直线、平面间的位置关系”一章合二为一[12-13]，根据内容在结构上的联系，重新组合与优化为“立体几何初步”.新教材的做法使得各部分知识点平行，将两部分相互交织的主线合二为一，形成一个内部有机关联的完整过程，体现了知识与知识间的逻辑关联，符合学生的认知特征，有助于帮助学生建立空间观念.其中新课标强调数学核心素养具有整合性的特征，数学主线清晰才能深入内部，聚焦数学的本质.因此，新教材的编排结构变动更加符合新课标中对学生数学核心素养培养的要求.

除此之外，新教材对比旧教材还将“直线、平面平行的判定及其性质”“直线、平面垂直的判定及其性质”扩展为“空间直线、平面的平行”“空间直线、平面的垂直”[12-13].从整体内容的广度上来看并无较大差异，其微妙之处在于新教材将直线与直线的平行关系和垂直关系作为平行知识点单独呈现并加入到其所对应的各部分内容中.这一做法是因为几何研究归根到底是一种点线面及其关系的研究，线线关系是其中最重要的，是沟通几何关系中的桥梁.因此，这样的做法可以引导学生抓住“线线关系”这一关键，层层递进，优化学生的几何意识，有利于学生发展数学核心素养.

1.2 新旧教材内容增减变化的比较分析

培养学生思维的深刻性与灵活性是培养数学核心素养的一重要途径，初步观察两版教材立体几何部分的体系结构，可以发现新教材中知识点的含量少于旧教材，具体体现在新教材删去了“空间几何体的三视图”部分内容.仔细分析这部分内容可发现，立体图形的三视图部分早在初中的几何板块就已经学过了，甚至更早的在小学就已涉及.基于此，删去这部分内容能够有效避免知识点的重复，减轻学生负担，还体现新教材重视学生已形成的知识结构，强调知识的融会贯通，注重在新知识的生长过程中培养学生思维的灵活性，促进学生逻辑推理素养的养成.

2 新旧教材立体几何初步部分具体内容的比较分析

2.1 教材栏目内容变化的比较分析

栏目内容是教材的重要组成部分，其设计与选材不仅对教师的教学有一定辅助作用，使教学内容准确定位，而且还能为学生主动学习留出更大的空间，促进学生学会学习，提高自主学习能力.本文所出现的栏目是指在两版教材中有明确标题的.经统计，两版教材的栏目情况如表2所示.

表2 两版教材立体几何初步栏目使用情况统计

对新旧教材中的栏目内容进行统计对比，由表2可知，从栏目的种类来看，两者都有“观察”“思考”“探究”，其差异之处在于新教材增加了“归纳”栏目.“观察”“思考”“探究”三者对学生的要求是不同的.其中，数学中的观察不局限于简单的知觉活动，而是一种更丰富的思维活动.教材通过“观察”为学生预留更多的探索空间，为数学学习的抽象性提供更好的落脚点，期待学生在观察中发现，在发现中发展.“思考”是对学习内容的进一步加工，教材中的“思考”栏目可为学生提供思维探索的对象与素材，让学生找准思考的着力点.“探究”栏目则是一种涉及知识横向与纵向的扩展与延伸，用以弥补教材正文某些内容上的空缺.探究活动打破不同知识点间横向的界限，是一种伴随着逻辑推理、数据分析、直观想象等核心素养的综合应用.因此，适时的、有价值的探究活动可满足不同学生的学习需求，进一步促进学生知识的完善.

“观察”“思考”与“探究”穿插在教材中，对学生立体几何部分所需要掌握的知识和能力提出了不同层次的要求.通过对比新旧教材中栏目的种类和各自的占比，可发现其呈现的差异(见表2).

2.1.1 从栏目数量和占比来分析

其一，新教材削减了栏目的总数(旧教材栏目的总数约为新教材的1.75倍).但经统计可发现“思考”栏目的占比仍居于总量之首，且均以问题提出的形式出现，这足以说明数学思考对数学学习的重要性.教学中问题的解决都以基本知识、基本技能为支撑，而知识与技能的学习是离不开数学思考的，以思考产生探究，以探究促进反思才能深入把握数学本质，得出正确的结论，使数学学科核心素养得到协调发展.

其二，新教材在旧教材基础上较大比例的增加了“观察”栏目的数量与比例.这体现了新教材与旧教材对“观察”的重视程度存在相对差异.对比两版教材中的“观察”，可发现旧教材基本以简单数学图形的观察、分析为主，新教材则更重视情境的创设，通常从学生熟悉的实例，如桌面、墙面、书本等物体入手.例如新教材“8.2立体图形的直观图”一节，其“观察”素材是矩形窗户在阳光直射下在地面形成的影子与从远处眺望的稻田[12]，旧教材中“1.2.3空间几何体的直观图”一节则是直接用平实的语言进行描述.

前者更符合新课标中培养学生在日常生活与实践中思考问题的习惯的要求.通过实物感知，对基本图形的数量关系与空间结构进行抽象概括、符号表示来经历图形的研究过程，从而归纳相应的概念.从情境中抽象出数学知识，积累从具体到抽象的活动经验,这一过程体现了数学抽象的两个阶段[14]，有利于数学抽象核心素养目标的实现，同时，还有利于引导学生用数学的角度来观察和认知生活中的数学问题.

其三，相比于其他栏目，新教材在旧教材基础上较大程度地减少了“探究”栏目的数量与比例.学生学习数学的根本目的在于学习数学知识、应用数学知识解决数学或自然科学中的问题.而“探究”的引入能够在此基础上引导学生深入思考，挖掘知识的本质，促进学生进一步学习.基于此，在立体几何的学习中有必要引入探究的问题来引发学生的深入思考.但若“探究”的内容过于随意或简单(学生通过简单的思考便可掌握)，那就失去了“探究”的意义.例如在“简单几何体的表面积与体积”一节中，旧教材在呈现圆柱与圆锥的侧面展开图并给出相应计算公式后，紧接着出现了“探究”栏目，其内容之一表现为“联系圆柱和圆锥的展开图，你能想象圆台展开图的形状，并且画出它吗？”[13]而新教材则是简单直观的呈现圆柱、圆锥、圆台三者的展开图及其计算公式，使学生对此一目了然.

概括而得，教材内容不能只是为了呈现“探究”而探究，应在适于引导学生深入思考的位置引入“探究”栏目.由此可见，新教材所做的这些调整与优化，能够使“探究”在教材中更好地被落实，从而促进教学质量的有效提高.

2.1.2 从总栏目种类来分析

新教材增加了“归纳”一栏.其一，通过归纳整合碎片化的知识，将相关联的知识点进行优化，使其呈现更加密集、紧凑，有助于增强学生对数学知识的整体把握，更加符合新课标中丰富学生学习活动过程经验的要求.其二，新教材“8.3简单几何体表面积与体积”中将柱体、椎体、台体的体积公式进行归纳，让学生经历由特殊到一般的过程，把握结论间的逻辑关系，体现了新教材对学生逻辑推理素养培养的渗透.

教材中设置丰富的栏目内容，着力于为学生提供学习的指导性，提升课堂的系统性，促进学生在学习过程中养成观察、思考、探究的习惯.然而，中学生学习数学的最终目标在于丰富数学知识、落实关键能力.扎实的数学基础知识才能更好地支撑学生在学习过程中不断地发展与创新.基于此，合理的思考与探究是必然的，但中学生的数学学习还是应该强调增加知识学习，弥补知识空白，着重知识积累.使数学知识的掌握与相应的数学学科核心素养的培养有机结合、融为一体.

2.2 本册导引的比较分析

本册导引是指一本教材在正式内容开始前，从宏观角度对该教材的整体概括，包括教材的编写依据、主要构成内容、学习中包含的主要思想方法以及对学生的期望等，可帮助师生明确学习方向.

通过对比，新旧教材均在本册导引中详细介绍了本册的主要学习内容与过程，明确了立体几何的学习对象与较为详尽的一般过程和主要思想方法.其中新教材还以简洁的语言介绍了立体几何学习中所涉及的主要研究方法，体现了数学的严谨性与专业性.旧教材在上述基础上还介绍了教材中的拓展性栏目，以全局的角度分析了本册的方法与过程、目的与作用.

2.3 章引言章头图的比较分析

新旧教材的每章前都有一张情境图和一段简洁的文字，称为章头图和章引言.作为每章节知识的开端具有调动学生学习积极性，揭示本章所学内容的作用.在学习之初呈现生动的图片可增强学生的感性认识，而引言中简洁的语言介绍可以让学生对学习内容一目了然.从素材的选取上看，新教材中出现了城市生活中常见的高楼大厦等景象，不仅吸引学生兴趣，更体现了数学与社会生活的接轨，让学生知道数学并不是单一、独立的存在，数学来源于生活.

通过对比，可发现新教材在旧教材基础上删除了“本章结构”部分.因为在目录中每章节结构已清晰呈现，所以，新教材的这一做法不仅可有效避免教材内容的反复，还可避免人为割裂相关知识内容而导致各章节孤立呈现的现象，符合新课标中对知识整体性把握的要求.

2.4 本章小结的比较分析

通常情况下，一个章节的知识都要通过多个课时才能完成.在经历一系列不连贯的教学活动后，大部分学生很难找到不同知识间的连线，并将其进行整理归纳.因此，新旧教材均在章学习后设置“本章小结”对知识进行梳理，并且小结部分都由“本章知识结构”和“回顾与思考”两部分组成.其中“本章知识结构”部分采用逻辑框架图清晰、简洁、直观的展示，让学生对本章知识一目了然，进行知识点间的类比联想；“回顾与思考”部分则是在结束本章学习后引导学生对本章知识进行梳理、再现、思考.“回顾与思考”从其字面顺序来看，先回顾后思考，即回顾是思考的前提，思考是回顾的目的.

对比新旧教材小结中的“本章知识结构”，新教材增加了“现实世界中的物体”一部分，该部分将物体抽象成空间几何体，强调从实际出发，从客观世界到数学模型的过程.其中旧教材在空间平行关系相互转换图中将平行关系与垂直关系相孤立，新教材在平面与平面平行和平面与直线平行、直线与平面垂直和直线与直线平行间添加了单向箭头[12]，关注了同一主线内容上的逻辑性与不同主线内容间的逻辑性，体现了知识间的融会贯通，符合新课标中对加强内容之间有机衔接的要求.以利于更好地实现逻辑推理、直观想象等素养目标.

两者在“回顾与思考”部分也存在一定的差异.新教材的“回顾与思考”部分主要对本章学习的顺序进行了梳理，从全局的角度清晰呈现本章学习的总体过程：从空间几何体整体入手，认识基本立体图形的几何结构特征，学习它们在平面中的直观图及其表面积、体积的计算，最后研究空间点、直线、平面位置关系，总结相关性质定理，然后提示学生带着问题复习本章内容.这种呈现方式从言语上增加了亲和力，体现了具体到抽象的原则，有助于学生形成整体的知识框架.相比之下，旧教材的“回顾与思考”部分主要由单独呈现核心知识点与提出问题两种形式组成.这一做法显得更侧重强调学生知识与技能的习得，更重视知识的总结，与核心素养所突出强调的关注人的全面发展相背离.同时也容易误导教师在教学过程中过分关注具体知识点，忽视教学内容的本质以及对学生数学核心素养的培养.

3 新旧教材立体几何初步部分练习题、习题、复习题的比较分析

新旧教材在立体几何初步部分均设置了练习题、习题、复习题三个板块的习题.习题作为教材内容的巩固、提高与拓展，基本上都是教材编写者反复推敲筛选的内容，在教材中具有不可动摇的地位.鉴于教材编写的整体性，其作为正文内容的巩固与延伸也应当为发展学生的数学学科核心素养提供平台.由此，对两版教材中的练习题、习题、复习题等进行对比分析，对深入把握教材的异同具有理论与实践的意义.

3.1 编排形式的比较分析

新旧教材在习题编排形式上的差异主要体现在复习参考题中.复习参考题作为每章内容的结尾板块，具有检验学生综合运用知识能力和巩固复习的作用.旧教材将复习题按题目的难度分为A组和B组，从形式上来说，其侧重于通过不同难度的习题来甄别学生数学学习能力的强弱.在一定程度上，这会给学生造成心理负担，影响学生学习数学的兴趣.与旧教材相同的是，新教材复习题的编排也体现了分层设计、层层递进，其不同之处在于，新教材将该板块内容分成了“复习巩固”“综合运用”“拓广探索”[12]三个模块，每个模块难度由浅入深，循序渐进.从发展学生核心素养的角度，这样的编排使习题的功能定位准确，并且可以让学生在不同维度的问题解决中提升学科素养.“复习巩固”“综合运用”“拓广探索”[12]从三个不同的维度引导学生，做到既有阶段性又有连续性，既能顾及前后的衔接，又能兼顾各个模块间的递进关系.

3.2 内容设置的比较分析

对比旧教材，新教材在问题的设置中体现了对问题解决过程的重视和对寻求解题依据的考察，在习题中多次出现“请说说你的理由”“说出理由”等关键词，注重引导学生在问题解决过程中寻找证据作出解释.这样的做法改善了旧教材中常用封闭式提问的不足，体现了新教材对学生知识点掌握程度的考察，对学生寻求证据支持结论过程的重视.

两版教材在问题设置中都体现了数学与生活的巧妙结合，习题的选材中均存在一定量日常生活中常见的物品，如“石凳”“气球”“水槽”等.但相比之下，新教材所涉及的素材更加丰富多彩，数学问题生活化的特征表现得更为突出.比如在“基本立体图形”的节后习题中，新教材将旧教材中一道较为抽象的简答题改编为一道以轮胎为原型的选择题.这样的改变不仅降低了知识点的难度系数，还有助于学生理解抽象问题的直观特征，逐步体会抽象数学对象.由于立体几何部分抽象性的特征明显，不少学生在理解和运用上存在困难，因此，熟悉的生活素材可增强学生对几何知识直观的感性认识，可提高学生数学抽象的能力，发现和提出问题的能力.这样的设计既体现对知识本质的重视，也关注了数学核心素养.

3.3 题量的比较分析

习题的数量是习题设计时需考虑的重要问题.题量过多容易造成学生的学习负担，抑制学生自主探索的积极性，题量过少起不到巩固与深化的作用，不利于学生数学能力的培养.从新旧教材中练习题、习题、复习题数量的统计上看，在立体几何部分，新教材共设置了150道习题，旧教材共设置了116道习题，可以看出新教材的题量是大于旧教材的.其中最主要的差异体现在练习题中(练习题的增量占总题量增量的76%).

新教材在共6小节的内容中设置了61道练习题，改善了旧教材中平均每小节不足6道题的现象.适当增加题量可促进学生及时吸收、巩固新知识，满足多角度提升学生数学学科核心素养的要求.而由于点线面位置关系的难度系数较大，同时也是立体几何初步的主要研究内容，所以新教材在该部分的题量分布也明显增多(占练习题增量的52%).这样的题量设置与新课标对教材编写突出重难点知识和能力的要求相一致，也与新课标中强调重视习题编写针对性的要求一致.

3.4 题型的比较分析

两版教材都以证明题为主，计算题、作图题次之.在题型设置上的不同在于二者对证明题的重视程度存在差异.经统计，在证明题上，新教材占37%，旧教材占28%，由此可见新教材题量设置比例明显要大于旧教材.证明题的严格推理论证过程有助于引导学生直观的感知命题的含义和研究的思路，并对几何知识间的逻辑关系有更好地理解和掌握.这在一定程度上反映出新教材更注重学生有逻辑的思考，强调几何语言的表达，也突出了立体几何作为培养直观想象、逻辑推理等学科素养的重要载体.

4 总结

从宏观的角度对比新旧两版教材内容，可发现新教材充分体现了在新课标指导下对学生核心素养培养的优势.更加重视情境创设，更加重视利用丰富的生活元素密切联系实际，引导学生从实际背景出发理解教学过程中一些较为抽象的数学定理、概念，引导学生在熟悉的情境中找到现实模型，再抽象出数学模型，进而理解概念的形成[14].例如新教材在“8.2立体图形的直观图”一节中借助矩形窗户在阳光直射下所形成的影子形状与稻田的形状引入新课，在“8.6.2直线与平面垂直”一节中以旗杆与地面的位置关系带给学生直线与平面垂直的感性认识[12].教材中的丰富素材均充分体现新教材利用切合学生生活实际的情境，引导学生用数学的眼光观察生活，结合具体情境提出问题，引导学生用数学的思维思考世界，发现数学问题，解决问题[14].使学生在观察、理解、探索、解决的整个过程中，通过与问题情境的有效互动发现数学的本质，使数学学科核心素养得到真正的提高.

基于核心素养的视角对比新旧两版教材可发现，立体几何对于发展学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学核心素养具有重要作用.因此，教师在该部分的教学过程中要充分发挥新教材的内容优势，在教学中可从以下几方面来落实对学生数学核心素养的培养.

第一，充分利用现实情境.几何学习是基于图形的学习，数学图形往往来源于现实模型又高于现实模型.由此，在几何知识的学习中，要重视知识与现实生活的联系，充分挖掘生活中的素材组织学生学习，引导学生通过抽象思考将其转化为数学知识，在抽象的角度下建立现实与数学知识间的关联性，使其能在现实生活中应用数学，以此将数学的应用性发展落实在数学教育中.而一个情境是否恰当不仅取决于情景本身，更取决于该情境能否有效关联数学知识，能否引发学生的数学思考，能否为学生的进一步发展提供平台.数学学习本来就是一个由浅入深、由易到难、由具体到抽象再到具体的循序渐进的过程，在学习中学会数学的组织客观世界，能够促进学生对数学知识的深入.这是不断积累数学经验，经历数学活动的过程，也是学生不断融合数学应用素养与数学文化素养的过程.

第二，加强不同推理形式在教学中的应用.立体几何是培养学生逻辑思维能力的重要素材，在学习的不断探究过程，单谈归纳或演绎是不足以满足学生数学核心素养的发展需要的.因此，在教学过程中教师要充分利用几何知识“猜想-证明”的探索过程，发挥不同推理形式在学习探究过程中的作用，注重不同推理形式间功能的互补，让学生经历发现、猜想、推理、论证的完整过程，自觉地发展数学素养.引导学生学会有逻辑的思考，有逻辑的分析，有逻辑的陈述，实现归纳与演绎的平衡与统一，使学生逻辑推理素质得到协调发展.

第三，注重结合课程内容，在习题中落实数学核心素养的课程目标.教材中的习题、练习题等作为教材中重要的支撑性资源对于培养学生的数学能力，促进学生学会学习有举足轻重的作用.结合发展学生数学核心素养的培养目标，教师在教学过程中不能让学生仅仅为了“练习而做题”,为了“复习而做题”.要充分挖掘不同习题中的通性通法、数学思想方法，以满足培养学生核心素养的需求.比如在基础题中要注重知识结构的把握；在思考题中关注情境的创设；在复习题中强调知识的连贯性；在拓展题中引导思维的发散，使学生深刻理解、系统掌握学过的数学知识.

第四，注重信息技术与教学活动的融合.因为义务教育阶段的几何学习大都是基于平面的，而平面无法进行想象.所以，空间想象能力的欠缺可能使学生具有由平面几何顺利过渡到空间几何的问题.随着信息化时代的到来，知识的表征方式及传播途径的变化[15]，在教学过程中，教师可充分利用信息技术进行课堂演绎，使一些抽象的数学内容具像化来帮助学生理解.例如在“平面”知识的引入时，教师可利用几何画板为学生展示一个面从垂直于空间逐步放倒，直至平面与平面的过程，通过动态演示，帮助学生更容易在脑海中构建图形变化的动态特征，培养空间想象能力，发展直观想象的核心素养.