从高考看高中不等式的性质证明及其解法

张东琪

摘    要：不等式的性质证明在不等式学习中至关重要。在高考中证明不等式问题，常常是与数列、三角函数、二次曲线、随机变量分布列及其分布等问题相结合。不等式是高中教学的重要组成部分，利用好不等式是高中解决问题的工具，是数学思想得以解答的关键，不等式也是进行数学计算和推理的重要手段。

关键词：不等式的概念;不等式的基本性质;证明不等式的基本方法;不等式中的数学思想

在中学基础教育阶段，不等式是一个十分重要的内容，而到了大学，有关不等式的很多知识与高等数学仍然密不可分，高中数学教材4-5关于不等式知识内容是对初中简单不等式的基础知识的完善和提升，高中不等式的知识也是打开高等数学的钥匙，因此高中数学的不等式知识就显得格外重要。通过历年高考真题，不难看出不等式已经成为高考必考的热点内容，不等式的综合运用可以检验学生的基础知识，解题技巧，还能考查学生对数学方法运用，数学思想的掌握，数学运算的方法。

一、不等式的基本性质

1.如果a>b，那么bb。

2.如果a>b，且b>c，那么a>c。

3.如果a>b，那么a+c>b+c。如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d。

4.如果a>b，且c>0，那么ac>bc;如果a>b，且c<0，那么ac

如果a>b>0，且c>d>0，那么ac>bd。

如果a>b>0，那么an>bn（n？缀N且n>1）。

不等式的基本性质是不等式证明的理论基础，只要能合理掌握并运用好不等式的性质，才能更加合理地解决不等式的难点证明。

二、证明不等式的基本方法

1.比较法

比较法分作差比较与作商比较。作差比较为A>B？圳A-B>0，作商比较为A>B？>1（B>0）

作差比较的关键是判断差的符号，操作步骤为作差、变形、判断差的符号;而作商比较的关键是判断商是否大于1，操作步骤为作商、变形、判断商与1的大小关系。

（1）作差法：a>b？圳a-b>0

2.三角换元法

三角换元法是解决不等式问题的常用方法，主要在于换元，将某些复杂的不等式证明简单直观化，多数可将原不等式转化成简单不等式，使得问题变得直观化、简单化。

若x2+y2=a2（a为常数）我们可设x=acosα，y=asinα.

例3：设x2+y2=r2（r为常数）

3.综合分析法

综合分析法是已知条件和恒成立的不等式出发，充分利用不等式的理论知识进行整理化简，从而能够得出欲求证的不等式，用好综合法的关键在于熟练掌握解题常用的不等式，如：

例 已知a，b，c是不全等的正数，求证

a（a2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）>6abc

证明：∵   b2+c2≥2bc， a>0，

∴  a（b2+c2）≥2abc    ①

同理        b（c2+a2）≥2abc    ②

c（a2+b2）≥2abc      ③

因為a，b，c不全相等，所以b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，a2+b2≥2ab三式不能取“=”号，从而①，②，③三式也不能取“=”号。

∴a（a2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）>6abc

4.分析法

分析法的关键思想是确立因果关系，主要方法是：先从预证明的不等式作为出发点，通过数学知识的分析和推导得出使结论成立的充分条件，也就是说要想证明一个已知不等式成立，转而去判断使这个不等式成立的另一个命题，最后，如能找到一个成立的命题，就能判定原命题成立。它和综合法恰好是互逆的过程。

这种证法，常与综合法一起运用，即先用分析法找出证题思路，再用综合法加以叙述。在书写时常用“？坩”，表示“只需”。不能用符号“？圳”，“？圯”。

例 证明：当周长相等时，圆的面积比正方形的面积大。

通过上述证明就成功利用分析法证明出：在周长相等的条件下，圆的面积会比正方形的面积大。

5.反证法

反证法是一种间接证法，当直接证法不易得不等式时，常常采用反证法。具体操作步骤是：首先假设结论不成立，然后根据题设条件和某些公理、定理进行推理，导出矛盾，从而肯定结论成立。

此式与②矛盾，这就说明假设不成立，故原命题成立。

6.放缩法

放缩法就是将不等式一端放大（或缩小），从而得到不等式另一端的证明方法。具体为欲证A>B需证A>C且C>B这就是放大;或C>B且C

这个同向不等式相乘得

7.几何图形法

如果已知不等式中的复杂代数关系能用数学图形表示，就可以利用集合图形法来证明不等式。

分析过程：从求证不等号左边的多项式可以看出，它们是四个两点之间的距离公式。因此我们可以设点坐标为：A（0，1），B（1，1），C（0，1），D（0，0）

而已知为正方形，设点的坐标为，所以：

不等式中含有丰富的数学思想，对这些思想的掌握，能够有力的帮助我们解决高中不等式  的难题。

通过上述不等式的研究反映出，不等式是各个阶段都不可或缺的一部分，是解开众多数学问题的钥匙，所以要想在中考和高考中取得佳绩就必须研究好不等式的知识点，做到熟练地掌握不等式的基础知识。把握所有不等式的有关题型，尤其是不等式与其他数学思想综合在一起的数学问题，对学生的思维开拓和解题能力的提高有很大帮助。

 ■ 编辑/魏继军