一类带小参数的双调和方程边值问题的可解性

陈浩然，钟金标

（安庆师范大学数理学院，安徽安庆246133）

在讨论没有载荷且在边缘上固定的薄钣振动问题时，若有外力作用在这个钣上，且该外力按密度f(x,y)分布，则这固定边缘的钣的静力挠曲将由方程给出。类似地，一些流体力学和固体力学等物理问题可通过建立双调和方程边值问题来研究，例如文献[1]利用不动点定理、确界原理讨论了一类双调和方程边值问题的正径向解，文献[2]研究了一类带有双临界指数的双调和方程边值问题的非平凡解，文献[3]讨论了一类双调和方程边值问题的可解性，文献[4]研究了一类半线性椭圆方程组正解的存在唯一性。这类问题中非线性项不同，相应定理的证明所采用的方法也不同。

本文拟考察带小参数λ的双调和方程边值问题：

这里Ω⊂ℝn是一个有界洞型光滑区域，Γ1为外边界，Γ2为内边界，∂Ω=Γ1⋃Γ2，b为正常数，λ为正参数。在式（1）中令-Δu=v，则式（1）转换为

1 解的存在性

定理1在（H1）成立的条件下，且问题（2）有解，则必是非负解。

证明由（H1）知λf(x,u,v)≥0，推出-Δv≥0,x∈Ω，由调和函数极值原理[5]知v≥0,x∈Ω，-Δu=v≥0，进而u≥0,x∈Ω，所以若（2）有解，则解非负。

定理2若（H1）、（H2）成立，且λ充分小，则问题（1）必存在正解。

证明因为f(x,s,t)=1+s2+t2关于s、t连续单增，从而满足条件（H1）和（H2），由定理2知问题（9）存在正解。

2 解的唯一性

定理3在（H3）成立的条件下，问题（2）至多只有一个解。

证明在（2）中取两组解(u1,v1),(u2,v2)，则有

综合式（16）和式（17）可得u1=u2,v1=v2，所以问题（2）至多只有一个解。

3 结束语

综上所述，上、下解方法在帮助我们确定非线性椭圆型方程组解的时候起到了重要的作用，我们在给定的上、下解范围之间通过不动点定理找出了边值问题的精确解，从而证明了解的存在性，实例证明了定理的有效性。在讨论边值问题可解性时，Green恒等式和Poincare不等式是有力的工具。