命题反思：警惕“喜好偏向”，摆正教学导向

周红娟

摘要：从一份八年级的校级期末数学试卷中的一道考查配方法的阅读理解题的解答与评分情况说起，反思其命题的教学导向及暴露出的“喜好偏向”，指出：命题需要警惕网络流行试题和自身教研兴趣成为“喜好偏向”，可以通过重视教材“经典问题”摆正教学导向。

关键词：试题命制;教学导向;“喜好偏向”;配方法

最近，受学校教导处信任，笔者被安排命制一份八年级的校级期末数学试卷，测试范围包括整式乘法与因式分解。由于多年任教九年级，笔者觉得，八年级这部分内容的教学要重视完全平方公式以及配方法，因为配方法在九年级一元二次方程、二次函数问题的解决中有着非常广泛的应用。所以，命题组卷时，笔者选用了一道考查配方法的阅读理解题。本文从该题的解答与评分情况说起，反思其命题的教学导向及暴露出的“喜好偏向”，提供研讨。

一、一道配方法阅读理解试题及其解答与评分

（一）试题

我们知道，利用完全平方公式可以将二次三项式a2±2ab+b2分解成（a±b）2。而对a2+2a-3这样的二次三项式，则不能直接利用完全平方公式分解，但可以先用配方法配出一个完全平方式，再用平方差公式分解，过程如下：

a2+2a-3=a2+2a+1-1-3=（a+1）2-4=（a+1+2）（a+1-2）=（a+3）（a-1）。

请用配方法解决下列问题：

（1）分解因式：a2-6a+5;

（2）已知ab=34，a+2b=3，求a2-2ab+4b2的值;

（3）若4x2+12x+m分解因式所得结果中有一个因式为x+2，试求常数m的值。

（二）预设解答和评分

第（1）、第（2）问不算太难，笔者预设学生根据阅读材料，利用完全平方公式能够顺利解决。对第（3）问，笔者预设的解答思路是：將多项式4x2+12x+m局部配方，可得[（2x）2+2×2x×3+32]-9+m=（2x+3）2-9+m;因为4x2+12x+m分解因式所得结果中有一个因式为x+2，即利用平方差公式对代数式（2x+3）2-9+m变形会产生因式2x+4，这样就可逆向推导出（2x+3）2-9+m=（2x+3+1）（2x+3-1）;等式两边比较，得出-9+m=-1的结论，可得m=8的结果。为突出对配方法的考查，笔者预设评分标准：使用十字相乘法等其他方法得出正确结果的，得分减半。

（三）实际解答和评分

阅卷所见学生的解题思路很多。以下是阅卷组收集的一些学生的解法：

解法1根据多项式乘法法则（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd，以及多项式乘法和因式分解之间的互逆关系，将多项式4x2+12x+m因式分解，得4x2+12x+m=（x+2）（4x+n），因而可得8+n=12，

m=2n，解得n=4，

m=8。

解法2对多项式4x2+12x+m局部变形，得4x2+12x+m=4x（x+2）+4x+m，分析得出4x+m这个多项式中含有x+2这个因式，即4x+m=4（x+2），进而求得m=8。

解法3画出图1，大矩形的面积是4x2+12x+m，被分成4个面积是x2的正方形和4个面积是2x的矩形，以及A和B两个矩形。矩形A的一边长为x，面积为12x-8x=4x，算出其相邻的另一边长是4，因此矩形B的面积是2×4=8，即m=8。

解法44x2+12x+m分解因式所得结果中有一个因式为x+2，说明方程4x2+12x+m=0有一根为x=-2。将x=-2代入方程4x2+12x+m=0，可得16-24+m=0，求得m=8。

解法1充分体现了“回到定义”的解题思想，即基于整式乘法与因式分解的互逆关系，设出另一个因式，求出待定的系数。解法2体现出对分组分解法的较好理解，即先在一部分和式中找到已知因式，得到剩下的和式中也有已知因式。解法3充分利用了二次式的几何意义，借助矩形的拼接，以形助数直观获解。解法4从方程的视角看多项式，基于方程的根与多项式的因式的关系，灵活运用方程的根的概念，采用试根法解决问题，体现了“高观点”的解题思想。

阅卷组觉得，这些解法各有各的精彩，各有各的价值，如果因为没有采用配方法而被扣去较多的分，对学生而言是不公平的。于是，阅卷组讨论决定修改评分标准：不使用配方法，而使用其他方法得出正确结果的，只扣1分——之所以还扣分，是因为题目提出了使用配方法的要求。

二、关于命题的“喜好偏向”及教学导向的思考

检索一些搜题网站、组卷网站，可以找出海量的名校试卷、县区期末试卷以及全国各地中考试卷。前两类试卷普遍存在“拿来主义”的命题现象：几乎所有试题全部可以在网上检索到原题（数字、字母、图形都是原样）。这样命题的教学导向就是“逼着”师生走进“题海”、大量“刷题”，谁做得多，谁就可能碰到原题、得到高分。虽然中考试卷较少存在“拿来主义”的命题样态，但是，其中依然存在“喜好偏向”的命题现象。对此，命题人需要自我审视，提高警惕，以进一步摆正教学导向。

（一）警惕“喜好偏向”：不可追逐“网络流行”和“个人兴趣”

1.网络流行试题常常成为命题的“喜好偏向”。

目前，由于自媒体（如微信公众号）的内容在微信群或朋友圈的传播，各地一些热点试题很快会成为网络流行的试题，特别是经过一些地区中考试卷的“强力推荐”，往往就会成为命题的“喜好偏向”。兹举两例：

1.（2018年北京市中考数学卷）在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx（x>0）的图像G经过点A（4，1），直线l：y=14x+b与图像G交于点B，与y轴交于点C。

（1）求k的值。

（2）横、纵坐标都是整数的点叫作整点。记图像G在点A、B之间的部分与线段OA、OC、BC围成的区域（不含边界）为W。

①当b=-1时，直接写出区域W内的整点个数;

②若区域W内恰好有4个整点，结合函数图像，求b的取值范围。

2018年之后，这类考题就在北京市各个区九年级阶段（月考）练习、期中（期末）试卷中流行起来。这类试题的出现，改变了有些地区以反比例函数图像（双曲线）为背景的几何综合题命题方式，对于引导师生关注反比例函数的本质有着较好的导向作用。

2.（2018年兰州市中考数学卷）如图2，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM=BN，连接AC，交BN于点E，连接DE，交AM于点F，连接CF。若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是。

解决此题，需要利用一系列已知的或由三角形全等得到的角相等，发现点F的运动轨迹是以AD为直径的半圆。2018年之后，很多喜欢动点轨迹的命题人就不断围绕这个题目进行各种改编，并拓展到了“定角定弦”问题。这类考题通常解法比较单一，且具有一定的技巧性，使得师生不断归纳、提炼解题技巧或模型，把教学带向对细枝末节的关注。其实，这类题的很多解题技巧价值不大：高中学习平面解析几何知识后，很容易通过“建系，设点（或其他量），表示长度，确定最值”的路径和方法解决。

可见，网络流行试题本身的教学导向有好有坏。但是，一旦这样的试题经常出现，就会被师生发现“规律”，从而“逼着”师生花费较多时间去收集、研究，进而使解题教学成为“题海”教学、“刷题”教学，至少是题型教学，造成学生基础不实。从这个意义上看，命题者需要对网络流行试题提高警惕：可以适当挑选好的网络流行试题改编组卷，但是不宜过分挤占经典问题的考查空间。

2.自身教研兴趣常常成为命题的“喜好偏向”。

相对于网络流行试题，命题人自身的教研兴趣更容易成为命题的“喜好偏向”——实际上，很多网络流行试题也是因为命题人自身的教研兴趣而成为命题的“喜好偏向”的。比如，命题人偏好几何模型，往往试卷中关键位置的考题多是几何综合题;命题人喜欢繁杂运算，往往试卷中有不少复杂的运算，或者不少试题的运算结果 “不好看”。

以上文提及的考查配方法的阅读理解题为例，其设问“强制”学生使用配方法解答，多少也是笔者的教研兴趣导致的。其实，尽管配方法是一种非常重要的变形技能，但是对于因式分解问题而言，“回到定义”去思考，直接分析出另一个因式的系数特点，反而是更简单和自然的解法。可见，基于教研兴趣命制的试题，同样可能带来不好的教学导向，需要命题者提高警惕。

（二）摆正教学导向：重视教材“经典问题”

为了切实防范命题的“喜好偏向”（这是一件“知易行难”的事），摆正命题的教学导向，笔者以为，命题人要重视对教材的研究，挑选出教材中的“经典问题”（一般是指那些经过相当长时间检验保留下来的数学问题）进行改编，从而引导教学充分关注教材，促进学生学会思考，发展思维，“以不变应万变”。限于篇幅，也举两例：

1.圍长方形问题。

（1）（面积最大问题）用定长l的绳子围矩形，怎样设定长、宽能使围出的矩形的面积最大？

（2）（周长最小问题）当围成的矩形的面积一定时，怎样设定长、宽能使围成的矩形的周长最小？

“围长方形”问题是教材中的“经典问题”。这类问题的结论“显而易见”，学生在小学就已熟知，但严谨的证明却需要使用初中阶段的数学工具。根据教学经验，这类问题设计成考题后，难度系数都在0.5—0.6，具有很好的区分、测评功能，又有很好的教学导向。

2.正方形边上的点（非顶点）引出的直角问题。

（1）如图3，E为正方形ABCD的边BC上的一个动点，连接AE，作EF⊥AE，交CD于点F。请指出图中互余的角有几对？

（2）在（1）的条件下，求证：∠BAE=∠CEF。

（3）如图4，点E、F、G分别在正方形ABCD的边AB、BC、CD上，且AE=BF=CG，连接EF、FG，求证：EF=GF。

（4）如图5，正方形ABCD中，点E在边BC上，连接AE，作EF⊥AE，交正方形ABCD的顶点C处的外角平分线于点F，求证：AE=EF。

正方形是接近完美的直边图形，其四条边相等，四个角均为90°。以一条边上任意一点（非顶点）为顶点在正方形内作直角，直角的边与正方形的边相交（相当于作出正方形的一个“形周角”，类比“圆周角”可叫“方周角””），结合正方形的边形成的平角以及顶点处的直角，可以得到很多角互余、很多角相等以及很多（直角）三角形相似;如果加上一些线段相等的条件，可以得到很多（直角）三角形全等，进而得出更多的线段相等。上述4个小题便是基于这一“经典问题”的改编，从角互余到角相等，再到直角三角形全等（得到线段相等），最后到非直角三角形（即最大的角为135°的钝角三角形）全等（得到线段相等），自然深入。特别值得一提的是，相比于上述兰州市中考题，本题考查的图形更为简洁、基本，命制并不显得刻意，解答无须复杂技巧，尤其是第（4）小题，即使想不到构造钝角三角形全等，也可以发现A、E、C、F四点共圆，得到∠AFE=∠ACE=45°，或者利用正方形和外角平分线设出有关线段的长，再根据直角三角形相似（相似很容易得出，全等比较难得出）得到线段长的比例关系，通过解方程的手段解决问题（这是算的方法，比较好想，其实体现了解析几何的思想，也体现了张景中院士改造欧氏几何的“教育数学”思想）。

参考文献：

[1] 刘东升.学测命题要重视“关键题”的教学导向——有感于一道九年级“纠错题”[J].教育研究与评论（中学教育教学），2021（4）.

[2] 王小林.关注经典问题教学：值得重视的教研主题——从李大潜院士“怀念徐质夫老师”说起[J].中学数学月刊，2019（8）.

[3] 郭文欣.求联求变：让经典问题从“快思”到“慢想”[J].中学数学，2018（10）.

[4] 徐章韬.从全等、相似到面积、三角——教育数学研究之七[J].教育研究与评论（中学教育教学），2019（1）.