问题与改进：小学生“面积”概念形成的过程研究

脱中菲，周丽娜

（1.东北师范大学附属小学,吉林长春130021；2.长春东师中信实验学校，吉林长春130117）

一、研究背景

小学数学阶段，“图形与几何”领域里两个重要的核心概念是“空间观念”和“几何直观”。其中，空间观念是指对空间中物体的位置以及位置之间关系的感性认识［1］。长度、面积和体积都体现了对图形的度量。面积是促使学生从一维空间向二维空间转化的核心内容，对于学生空间观念的形成具有重要价值。

笔者在长期的教学研究中发现，学生对面积概念的理解存在一定的困惑。针对刚刚学习完“面积”单元的学生进行访谈，通过“提到面积，你首先想到的是什么？”这样的一个问题来考察学生面积概念的表象。数学概念表象在数学概念形成、理解、运用中都具有重要地位，它构成了数学概念的关键部分。学生在记忆、表征、运用数学概念时，多是与概念表象相联系，而较少使用概念定义［2］。多数学生的回答都是：长方形的面积公式“长×宽=面积”，说明在学习过程中，公式学习的影响容易让学生忽视对面积概念本质的理解。学生仅关注面积求解的过程。但是，当笔者要求学生解释长方形面积公式为什么是“长×宽”的时候，多数学生认为这是一种“规定”，是由长方形的长和宽决定的，而没有将长方形面积与面积概念、面积单位进行关联。对于图形大小的描述就是看这个图形中包含了多少个面积单位，而公式就是快速数出有多少个面积单位的简便方法，可是真正理解公式这层含义并记住的学生很少。这也说明了平时的练习只是在强化学生对公式的记忆，而不是加深学生对公式的理解。

很多有经验的教师也试图通过调整教学设计来解决这样的困惑。最为重要的是要清楚“面积”作为一种通过观察和测量进而辨识其性质的量，要使学生形成对面积的概念需要从哪些方面着手，在教学过程中应该设计什么教学活动来促进学生面积概念的形成，这也是本研究重点关注的问题。

二、研究设计与方法

（一）研究设计

本研究整体采用基于问题改进的行动研究的思路。通过问卷测验的方式了解已经学习完面积单元的学生（对比班120 名学生）面积量感的水平，进而确定研究的问题，在此基础上通过文献研究、教材比较研究，结合国标版小学数学三年级面积单元的教材内容，进行了单元内容的重新编排，并先后进行了两轮实施过程。第一轮主要解决的是单元框架的合理性问题，针对实施过程中的问题，对于单元内容的难度、容量进行了调整，形成新的单元内容框架。第二轮主要解决的是教学策略、方式的优化，以达到良好的教学效果。教学结束后，研究者以第二轮实施过程中的学习者为研究对象（实验班共124 名），通过问卷测验和课堂观察相结合的方法对学生的学习过程和结果进行了分析与研究。

（二）研究方法

本研究整体上属于行动研究，在具体的研究过程中主要采用问卷测验、课堂观察等方法收集获取关于学生学习结果和过程的数据和信息。问卷测验首先用于发现学习过该单元的学生（对比班）的面积概念的理解水平，从而进一步明确在行动过程中需要解决的问题；其二是用于测查实验班学生在单元学习后的学习效果，目的是为了评价单元设计与实施的效果。课堂观察的目的在于描述并记录学生真实的学习状态，从而刻画实验班学生面积概念形成的过程。

（三）研究工具

测验问卷是以台湾学者高敬文、黄金钟提出的面积概念形成的三个重要维度：面积单位理解与运用、面积的保留概念、面积公式的应用为框架设计编制的，分为4个难度层次。共16道题。

层次0：①知道什么是面积；②能够辨别不同测量的量的单位；③等积变形，能判断形状不同但面积相同的图形；④能根据给出条件应用面积公式求出面积。

层次1：①能用数单位的方法求解图形的面积；②具有面积保留概念，知道一个图形分成三份，拼成一个图形后，面积不变；③能够通过数面积单位的方法求得图形面积；

层次2：①具有面积的保留概念，能够理解相同的两个面积，去掉相同数量的小正方形，面积依旧相等；②知道面积单位越小测得的面积单位数量越多；③能用面积公式解决变式问题。

层次3：①能理解面积和周长的关系；②能理解并解释面积公式。

在课堂观察方面，为了更好地了解学生每一课的学习目标达成情况，研究团队采用了课堂观察的方式，选择焦点小组做重点观察，并在班级选择A、B、C（高、中、低）三种不同学习水平的学生作为观察对象，了解这些学生在学习过程中的具体表现和实际困难。

笔者将每节课的教学目标进行了细化与分解，分解成学生在课堂上的具体行为。将每节课的教学目标作为一级指标，再进一步将一级指标进行分解，分解为可以观测的二级指标。在课堂教学的过程中，观察者以记录二级指标中具体行为的发生时间作为采集数据，同时配以课堂观察质性观察单对学生的具体行为做简单的描述，以确认行为是否发生。把整个大单元教学过程作为一个长的时间连续体，就可以清晰地看到在整个单元实施的过程中每一个具体的行为指标在典型学生的学习过程中是如何发生的，这样就可以刻画学生的学习过程。本研究选择了单元教学中的4 个核心课时（共160 分钟），对所分解出10 个一级指标，33 个二级指标所对应的学生行为进行观察、判断并标注发生的时间、顺序，再换算成整个单元完成时间，顺次标注指标发生的时间点，就可以了解不同水平学生在学习过程中的目标达成情况以及困难点、差异点，描述不同学习水平学生的面积概念形成过程，发现面积形成过程的规律和特点。

三、研究过程

（一）双螺旋上升构建单元，实现过程与方法的迁移

在比较中外教材的基础上，“面积”单元的设计整体上突出强调核心内容的学习，在新增学习内容的前提下，对单元教学内容顺序进行了调整。将3个面积单位1 平方厘米、1 平方米、1 平方分米作为整个单元设计的主线，突出1平方厘米的学习，并以此作为面积概念形成的基础和核心，放大、放长学习过程。将平方分米、平方米的学习作为面积概念形成过程的提升和延展，增强这两个面积单位对于面积概念形成过程的迁移和转化作用。基于此，课题组将面积单元进行了调整，如表1。

表1 国标教材内容与调适后的单元内容编排对比

（二）在比较和测量活动中，促进“单位”概念的形成

作为一个“量”的概念，面积概念的形成始终要伴随测量活动而展开。测量活动可以是观察，也可以是使用工具，可以是粗略的比较，也可以比较测量单位的数量等。因此在教学过程中，教师设计了直观比较、直接比较、间接比较、个别单位比较、公用单位比较的学习活动，让学生在测量中发现面积公式，让学生在测量、操作、体验的活动中理解什么是面积，从直观逐渐走向抽象。另一方面学生逐渐感受测量的本质——即用不同大小的“面”来测量面积的大小。

在教学过程中，教师要努力做到以下两点。首先是引导学生逐渐发现测量物体的面积要尽量“量尽”，这就需要媒介物之间减少空隙，甚至不能有空隙，使学生逐渐形成“用形状规则的物体去测量面积，减少空隙”的概念，为形成单位的概念打下基础。其次，要让学生经历面积产生的过程，感受面积产生的必要性。这个面积单位的产生是在不断优化和比较测量工具的过程中发现的，也是学生在不断“数面积单位求得面积”的过程中感受到的，体现了对度量思想的感悟。

（三）优化面积测量结果，在测量活动中引导学生发现面积公式

封闭图形的大小就是这个图形的面积，对于图形大小的描述就是看这个图形中包含有多少个面积单位，面积计算公式只是一种快速而简便地求解面积的方法，是求解面积方法的优化。“数”面积和“计算”面积的过程都是促进学生形成“面积是几倍单位量的数值化表示”这一观念的途径。如果说，产生面积测量的单位对于面积概念的形成打下了基础，那么在测量活动中发现面积计算的方法，则促进学生进一步深化和拓展了对于面积的理解。而教学设计的关键在于如何促进这两种途径的融会贯通，而并非将二者割裂开来。因此，研究者认为应该在测量活动中引导学生去发现面积公式，为学生构建长方形面积与长方形的长和宽之间的支架。

学生基本上可以理解第一种方法，用学具铺满长方形。第二种方法，只铺满长方形的长和宽，是将长方形面积与长方形的长和宽构建联系的关键环节，其实质是在用1 平方厘米的正方形的边长去测量长方形的长，用1 平方厘米的边长测量长方形的宽，这种方法是对一种方法的简化，同时也是面积求解方法由测量向计算的过渡。第三种方法，将面积的测量过程进一步转化为长度的测量过程，主要体现将面积单位直接转化为长度单位，可以直接抽象出面积计算的公式。经历了这样的学习过程，学生才能进一步体会到面积计算的公式是对面积测量结果的优化过程，其本质上是对“面积是几倍单位量的数值化表示”这一观念的延伸与拓展。

四、研究发现

（一）学生面积概念的形成过程

课题组对于三个不同学习水平学生的所有教学目标的达成情况的时间记录，配合质性观察单的描述与确认，基本上记录了不同水平学生（学生A、B、C 分别代表高、中、低三种学习水平）面积单元学习过程中的学习情况。

不同水平学生学习目标达成在程度上和时间先后中存在差异。A水平学生达成的指标最多，且达成各项指标的时间最早。A 水平学生逐一连续地完成了每一级指标。B 水平学生有1 处一级指标没能达成，C水平学生有3处一级指标没有达成。

不同水平的学生学习情况不同。课题组发现，对于指标“选择面积大的图形进行涂色”和“能用动作表达面积的含义”、指标“知道1平方厘米的大小”和指标“能对长方形面积公式进行解释说明”，三种水平的学生在目标达成的时间上相差不多，说明这些指标对于三种水平的学生来说难度不大。而在指标“能借助学具进行面积的间接比较”“能借助学具测量面积大小”“能对长方形面积公式进行解释说明”“能运用公式进行简单的计算”上，学生的学习水平呈现了较大的差异。特别是“能根据长方形面积公式得出正方形面积公式”这个指标，对于B水平和C水平的学生来说，都较难达成。课题组将这些指标对应到教学目标体系中的“1 平方厘米的认识与应用”和“长方形面积公式的探索”。这也是该单元在课程与教学设计上突破最大的两节课，可以说明这两节课的教学设计是成功的。而学生出现发展困难和差距是在面积大小的比较、理解统一单位的必要性、解释说明长方形面积公式以及探索正方形面积公式等方面。

（二）单元学习结果的分析

实验班和对比班在对面积概念理解方面有明显的提升，实验班的学生对于“面积”一词的理解不再只是“长乘宽”这个计算公式，而是有更多的学生想到了对“面积”这个量的感受。

在面积单元教学过程中，教师要力争体现面积作为一个量的本质。如下面的两个图形，正是考察学生对测量本质的理解——通过点数面积单位求得面积（表2）。在长方形中，只给出横纵方向的刻度划分，而没有直接画出长方形具体包括多少个面积单位。这个情境看似具有一种“未完成性”，但实际是在考察学生对面积概念的理解。在调查过程中，有些学生问老师：没有给出长和宽（高）的长度，怎么求得面积呢？出现这个问题的原因是学生在学习面积时还是更多地关注了通过“算”得出结果，而忽视了对面积概念本质的思考，即数出图形中面积单位的个数就可以表示图形的面积。从数据上可以看出，实验班对于测量本质的理解要明显好于对比班。学生对长方形面积的理解要总体好于三角形，学生对面积以及面积单位的理解可以迁移到具体情境中解决问题。

表2 学生对测量本质的理解情况的测验结果

实验班学生对面积单位的理解及应用也明显要好于对比班。在回答“用面积是1 平方厘米和1 平方分米的正方形测量课桌面，哪一种正方形需要的数量多，为什么？”这个问题时，实验班的正确率为97.5%，明显高于对比班的正确率69.1%。这说明教学促进了学生对单位及面积之间关系的理解，学生理解了测量单位与单位个数之间的关系。再如：“亮亮家有一块边长为1 米的正方形地面损坏了，需要多少块面积是1 平方分米的方砖才能修补好？”实验班的正确率为81.3%，对比班的正确率为39.2%，这说明学生已经将面积单位与测量个数之间的关系的理解转变为解决问题的能力。

课题组还通过考察长方形面积公式的理解进而了解学生面积概念的理解情况。在要求学生“说明一下长方形的面积为什么等于长×宽”这个问题的结果上，实验班学生对于为什么长方形面积等于长×宽这一问题的解释更加合理，学生能够自动调取学习过程中的策略进行解释。

对于面积概念的深入理解也直接提高了学生解决具体问题的能力。从统计数据来看，实验班学生解决问题的能力（88.1%）好于对比班（76.9%），并且在运用公式解决问题过程中，极少出现周长与面积公式相混淆的情况。

关于面积的保留概念，课题组通过“把一个正方形分割成三等份，拼成一个图形会怎样？”“从面积是8 平方厘米的两个图形中，各挖去一个同样大小的正方形，剩余部分会怎样？”两个问题来考察，考察结果发现：实验班学生的正确率达90%，高于对比班。而在“从面积是8 厘米的图形中，各挖去一个同样大小的正方形，剩余面积是多少”这样的问题上，两类调研对象的正确率分别为85.6% 和86.4%。可以看出，通过本单元内容的学习，学生对面积的保留概念有了很好的理解。

五、研究结论与反思

（一）单元内容螺旋上升式的安排能促进学生形成面积概念

面积作为一个测量的“量”，具有较强的抽象性，对其理解需要更加具体化。单元内容的重新调整就是突出了以1平方厘米作为学生理解面积的载体，围绕面积单位的产生、面积单位的大小建立面积概念的直观，从而为概念的形成搭建梯子。用1平方厘米为单位，引导学生在探究活动中发现长方形、正方形面积的公式，一方面降低了学习难度，同时也便于学生夯实1 平方厘米的空间观念。而这样的学习过程将通过1 平方分米、平方米的学习再次学习和应用，体现了已有测量经验、概念在新的问题情境中的迁移和运用，这样的学习，学生头脑中的1 平方厘米、1 平方分米、1 平方米的空间观念的建立都是真实的、具体的，这对于学生理解什么是面积、什么是面积的测量都具有重要的意义价值。

（二）有质量的测量活动是形成面积概念的基础

面积概念的形成必然要伴随大量的测量活动。有质量的测量活动的基本特征在于：1.有大量可选择的材料支持测量活动，让学生体验不同材料测量的过程和结果；2.设计多个层次的面积比较活动，还原问题情境，让学生经历学习的过程；3.关注从操作经验向思维活动经验的转化，也就是从单纯动手操作走向动脑思考。比如本单元的面积公式的探索与发现，学生如何从单位面积的点数过程走向对长方形长、宽的关注，从面返回到长度，这是抽象的过程，也是测量优化的过程。

（三）发现了面积概念形成的学习困境和教学难点

从对学生学习过程和学习结果的分析来看，学生掌握1 平方厘米、1 平方分米、1 平方米的空间观念并不困难，但是在理解面积单位产生必要性，解释长方形面积公式等内容上仍然存在困难。笔者认为面积概念的形成需要一定的抽象思维能力作为基础，特别是在一定空间观念形成的基础上，抽象出概念与概念之间关系等，对于三年级正处于形象思维向抽象思维过渡阶段的学生来说，还存在一定的困难，需要教师在教学中予以关注。