高中数学学考常见不等式基本思路

沈丽莉

【摘要】通过对近两年高中数学学业水平考试试卷的研究发现，其习题类型与高考题型基本相同，难度较高于会考，但低于高考，很多试题都涉及不等式知识，在错题研究中也发现出现错误集中在基本不等式内容方面。因此，掌握好基本不等式的解题方法具有重要的作用。

【关键词】学考;高中数学;基本不等式

一、引言

通过对近几年的学考分析发现，考试题型和难度相差不多，但依据学考考试准则，处于全省后百分之五的学生是不允许通过的。这对于参加高考但基础较差的学生来说是一个十分巨大的挑战。在学考分析中发现，学生学考丢分主要集中在不等式这一块，尤其体现在基本不等式方面。因此，掌握基本不等式的解题思路具有十分重要的意义。

二、不等式考查的重要性

不等式在高中数学中占据重要地位，基于其知识内容特性，高中数学学考的考查形式相对丰富，与当下学考全面考查学生数学学习基础情况的形势相契合。其综合性较强的特征，使得学生在实际解答问题的过程中需要调动各项基础知识，将数学思维转化为具体的解题过程。在时代与教育发展驱动下，高中数学学考发生了一定变化，即以逻辑思维、推理判断、数学运算等基础数学能力为首要考查内容。不等式题目不局限于特定的证明推理或证明演绎形式，与现代数学高考发展趋势相呼应。

基于上述变化的高中数学学考不等式考查内容，不仅可为各高校提供比较全面的招生参考标准，而且便于学生借助学考内容梳理不等式学习情况，及时调整复习规划，填补相应漏洞。因此，学考中的不等式考查内容除学考自身功能外，还兼具促进学生合理开展数学复习的功能。

三、学习目标应明确

高中基本不等式主要知识较少，但相关题型较多。在解答问题中，学生需要掌握基本不等式的知识，能进行相应的转化与推导，且理解几何意义。同时，学生要具有缜密的逻辑思维，能注重基本不等式的取值范围与取等号条件等细节知识。由于不等式题目一般综合性较强，调用单一散落的不等式知识点不仅不利于学生提升考场解题效率，而且使其在相对混乱的思维模式下难以及时寻求不等式证明的最优解，导致错误率居高不下。因此，基于学科考查内容，学生需要以数学思维为框架，以各类不等式专项问题为节点，针对不等式知识内容建立完整的数学知识体系。教师在指导学生复习这一知识时，应运用数形结合和情境教学等方式，从不同角度论述基本不等式以及它成立的条件[1]。

四、考试标准要求

理解与这两个公式的形成过程;具有将两个正变量的和或者积转化为基本不等式求最值问题的能力;具有灵活运用和变化基本不等式的能力。

五、条件及应用

（一）成立条件

第一，，必须是正变量;第二，当等号成立时，。

（二）最值问题记清条件与目标

确保，为正变量。第一，如果，之积为常数，则当，相等时，两者之和的最小值为;第二，如果，之和为常数，则当，相等时，两者之积的最大值为。

（三）巧用“拆”“拼”“凑”等方法求解最值

在基本不等式问题中，有时候变量取值范围难以满足基本不等式“一正二定三相等”的使用条件，这时可以运用“拆”“拼”“凑”等方法转化不等式，从而满足使用条件[2]。

六、高中数学学考不等式常见思路

高中数学学考不等式常见思路包括分析法、比较法、放缩法和综合法四种方法。学考题目考查形式以重基础、偏广度为主，在不断变化的高中数学學考命题形势下，上述解题思路仍是主要考查内容。

七、常见问题

在高中数学学考中，不等式的考查内容难度并不大，主要可以分为三种类型，分别为恒成立、证明和求最值。在这三种类型中，主要运用与这两个公式，考查内容集中在它的注意条件“一正二定三相等”。在试题研究中发现，不等式问题的错误原因有很多，比如过度将精力集中于解题过程，忽略等式成立的条件等，所以在解答不等式问题时要十分细心[3]。

（一）恒成立问题

例1：对于任意的，，都有恒成立，求不等式中正实数的最小值.

分析：从“恒成立”三个字可以发现这是一个恒成立问题，但是这道题主要是运用基本不等式求最值，解答这种问题的最好方式是展开。这是学考中不等式的基础考查形式，侧重考查学生对不等式基础知识的掌握情况。

解：

由基本不等式得：

解得，所以的最小值为4.

例2：对于任意的，，有不等式恒成立，求其中实数的最小值.

分析：这种带有参数的不等式恒成立问题，可以采用较为简单的分离参数方法，求证其中的最小值，考查学生移项处理不等式的数学能力，属于学考中的进阶不等式恒成立问题考查形式，同样考查学生对不等式证明基础变形的掌握程度。

解：

通过移项变化可得：

根据基本不等式，可知：

所以的最小值为-4.

（二）证明问题

例3：对于任意的，，证明以下正确：（1）;（2）.

分析：针对这两个问题，运用基本不等式进行求解就可以，但是需要注意运用条件为，，且两边相等时，。

解：（1）因为对于任意的，，所以.

（2）因为，，所以.

习题补充：当，当取什么值时，可以取到最小值并且这个最小值为多少？

解：由基本不等式可知，当时，可以取到最小值，所以时取到最小值4.

习题反思：这一习题充分体现了基本不等式的运用，并诠释了其使用条件“一正二定三相等”中每一项的意思。

例4：如果，，且，求证.

分析：这一题主要考查基本不等式，当，时，，同时注意其中的使用条件。这一题还包含一个重要考点，就是1的替换，即运用这一性质，替换中的系数1。

解：，当时，可以取得等号，经计算可知，当，时，等号成立.

（三）求最值问题

例5：已知，求的最小值.

解：，

因为，所以.

例6：已知，若，求的最小值.

解：因为，所以.

运用不等式公式需要求证范围，因为，所以，所以且，即.

所以当，即时，等号成立，取得最小值为9.

无论何种考查形式，“一正二定三相等”的题目条件分析，以及“积定和最小”“和定积最大”的有效分析，都是学考中不等式题目的解题重点;同时，最值问题、证明问题也是不等式问题的重要考查内容。缺乏基本解题思路是导致学生在高中数学学考中不等式解题错误的主要因素。学考命题设计呈现的不等式考查内容以正确应用思考模式与规范解题步骤为主，凸显了学考为高考服务的功能，为学生应对不断变化的高考中的不等式内容给予了一定的学习方向指导，为学生开展数学复习奠定了基础。

上述不等式问题是当下高中数学学考中常见的不等式问题。在高中数学教学变化影响下，学考中的不等式考查类型与形式并不局限于上述。并且基于数学核心素养培养工作，高中数学学考中的不等式问题将与其他章节知识相结合，以增强考查的全面性与科学性，在强化学考功能的同时，便于学生及时调整学习目标，采用正确的策略进行复习。

八、结语

高中学考的考试方向和侧重点还处在不断摸索中。在复习阶段，应以基本内容作为主要的复习内容。不等式的考查依然是围绕基础知识展开，因此在复习基本不等式时要掌握好基础题型与解题方法，避免不必要的失分。

【参考文献】

李世桂.细说基本不等式求最值问题的常见结构与方法[J].中学数学教学参考，2019（34）：47-49.

夏丽娟，胡广宏.例说求解不等式恒成立问题的常见策略[J].高中数学教与学，2018（21）：15-17.

林雪.例析高中数学基本不等式常见解法[J].数学学习与研究，2018（15）：136.