基于现象教学的还原原则探究

顾卫清

[摘  要] 文章以椭圆的方程作为一个数学现象，由学生自主生成还原椭圆“三定义”并加以应用，同时对还原原则进行归类，让学生成为课堂的主人.

[关键词] 现象教学;还原原则;椭圆定义

如果将学过的知识，当知识教，学生成了知识的接受者;当能力教，学生成了解题的熟练工;当现象教，学生成了能动者、创造者.

华罗庚先生曾经说过这样类似的話：“退，足够地退，退到最基本而不失去重要性的地方. ”下面笔者将椭圆的定义作为出发点，以椭圆的复习课为案例，来说明现象教学中的还原原则.

[?]教学设计片段

1. 椭圆“三定义”

师：请问：当你看到+=1时，你有什么联想？

生：是椭圆.

生：是椭圆方程.

生：是焦点在x轴上的椭圆方程.

生：就是椭圆的标准方程.

……

师：同学们说得都有道理！那你能说说它是怎么来的吗？

生：它是我们将椭圆置于坐标系中，代数化产生的.

师：如何代数化，可否详细解说一下？

生：建系、设点、找限制条件、代入、化简产生.

师：第一步建系有什么要求？随意建系即可？

生：建系其实没什么要求，只要建系设置得当，就会使得我们得到的方程较为简便. 上述给的方程就是以椭圆的两焦点所在的直线为x轴，两焦点所在线段的中垂线为y轴，而最终产生的方程.

师：嗯，说得非常好！今天我们来瞧瞧其限制条件是从哪里来的.

生：根据椭圆的定义得到的. 平面内到两个定点F，F的距离之和等于常数（大于

F

F）的点的轨迹. （展示椭圆的第一定义）

师：我们重温一下当初利用椭圆的第一定义产生椭圆标准方程的过程. （PPT展示如下过程）

PF+PF=2a，得+=2a.

将这个方程移项后两边进行平方，得（x+c）2+y2=4a2-4a+（x-c）2+y2，即a2-cx=a.

两边再进行平方，得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）.

因为a2-c2>0，所以可设a2-c2=b2（b>0），于是得到b2x2+a2y2=a2b2，即+=1（a>b>0）.

师：所以之前给的+=1就是同学们说的椭圆方程吗？

生：当a2>b2时，是焦点在x轴上的椭圆方程;当a2

师：在方程推导过程中，我们将a2-cx=a变形为=. 你能解释这个方程的几何意义吗？

生：这个等式表明，椭圆上任意一点到一个焦点的距离与它到相应准线的距离之比是一个常数，这个常数就是离心率. 也就是我们椭圆第二定义的由来. （展示椭圆的第二定义）

师：我们继续看+=1.

下面师生合作，做如下变形：

b2x2+a2y2=a2b2，

a2y2=a2b2-b2x2=b2（a2-x2）.

当x≠±a时，=-，即·=-.

于是发现此椭圆上任意一点（除去左、右顶点）与左、右两顶点所在直线的斜率乘积为定值-.

若做如下变形：

b2x2+a2y2=a2b2，

b2x2=a2b2-a2y2=a2（b2-y2），

当y≠±b时，·=-.

于是又发现此椭圆上任意一点（除去上、下顶点）与上、下两顶点所在直线的斜率乘积为定值-.

以上两种类型中任何一种情形，都可以令我们反其道而行之，进而生成是否会有平面内到两个定点的斜率乘积为一个常数的点的轨迹的念头，即产生椭圆的第三定义，接下来则是进行理论的论证，学生可自行完成验证. （展示椭圆的第三定义）

上述这样两种情况下的定值都是 -，是巧合还是一种必然，如果学生深入发现，可以进一步进行推广，于是生成了椭圆上任意一点与原点对称的两点所在直线的斜率的乘积是定值的念头，进而论证即可.

椭圆的第一定义：平面内与两个顶点F，F的距离之和等于常数（大于

F

F）的点的轨迹叫作椭圆. 这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.

椭圆的第二定义（统一定义）：平面内到一个定点F的距离与到一条定直线l（点F不在直线l上）距离的比等于一个常数e（0

椭圆的第三定义：平面内到两个定点的斜率乘积为一个常数（该常数记e2-1∈（-1，0））的点的轨迹. （未含两定点）

设计意图：通过给出现象+=1，让学生对这个现象进行解释，用数学的眼光观察，用数学的思维思考，而学生本身对椭圆及方程已有一定的了解，“所见即所思”，学生发现它是椭圆的方程，进而追溯椭圆方程的由来. 整个复习过程以学生为主体，充分地调动了学生的积极性，打开学生思维的空间，直面现象.

2. 例题精析

例1：已知椭圆+=1的右焦点为F，A（6，6）为定点，P是椭圆上任意一点，求PA-PF的最小值. （椭圆的第一定义）

设计1：此题用代数的方法，设点P 的坐标，用两点之间的距离公式来解题，显然将问题复杂化了，很难解答此题. 而用几何法，将PF的长度用第一定义进行转化，设E是椭圆的左焦点，则PA-PF=PA-（2a-PE）=PA+PE-8，利用两点之间线段最短的公理，可得到PA+PE≥AE==10，故PA-PE的最小值是2.

此分析虽能让学生理解其解答过程，但对解答中将-PF转化为PE，学生虽能接受，但属于被告知，学生的思维未得到很好的发展.

设计2：把这个题目直接给学生，教师则一副“事不关己高高挂起”的样子：事情擺在这儿，你说该怎么办吧.

活动：学生把它当作一个数学现象进行考察，注意不同学生的观察会有不同的发现，每个学生发现的都是他心里所能认识的. 说一句直白的话：你只能看见你想看见的东西. 也就是说，观察都有目的性. 理性的人带着目的去观察，他能发现与目的相符或不相符的结论;懵懂的人观察没有目的性，所获很少也很肤浅.

欲求最小值，猜想点P的位置应该具有某种特殊性，然后通过考察容易发现，椭圆上的四个顶点并非是符合最小值的点P，故心理萌生出点P的位置不在其“特殊位置”的想法，可又与初始的想法背道而驰，产生认知冲突，一下子激发学生解决问题的好奇心，并迫使他们对除四个顶点位置以外的点进行考察. 因为这些位置的一般性，要研究其大小，可度量进行比对. 通过度量，发现最小值时的位置，而在该位置又感觉其并非有特殊性，与思维中固有的特殊位置确认违背，更让人匪夷所思. 因为度量出来的结果，能让人更具有理性，此刻理性已经战胜感性，不得不认可此位置的点P，但内心深处总还是有些不甘心，故而将重心移至探究此位置点P的特殊性，直至发现延长AP后是过左焦点的，内心才得以安定、释然.

也可根据学生能力的情况，对学生进行如下引导：

师：请你大胆猜一下，这个点P在什么位置？

生：……

（若能猜其位置则可直接让学生进行验证，若学生不好猜或者很难猜，则进行如下点拨）

师：如果借助刻度值量一量，或者借用圆规，看看是否能找到最小值时的位置.

学生活动：找到点P的位置. （此处也可以通过几何画板进行展示）

师：你对点P的这个位置有什么想法？

生：这个位置应该具有某种特殊性，应该不是在一个无特点的位置. （思考片刻）发现延长AP后是过左焦点的.

师：请同学自行对此猜想进行论证.

设计意图：学生把它当作一个数学现象进行考察，借用刻度尺或圆规，甚至几何画板找到最小值时的点P的位置，然后寻其位置的特殊性，即延长AP经过左焦点，后进行逻辑论证. 整个过程都是以学生自主探究为主，其过程是：数学现象—观察试验—猜测想象—逻辑论证.

回到问题本身，能更好地产生自我思维过程，所谓的解题方法是实际需要的，思想也是可以在思考过程中自然产生的，体验与观念也就形成了习惯，形成了本能.

[?]教学反思

在教学中，还原原则实际上是寻找知识上的先行组织者、活动上的最近发展区. 知识的生长与素养的提高均基于个人原有的基础，学习就必须建立在原有的基础之上——这就是还原原则的本质. 结合课例，将还原原则归纳为以下三类.

（1）演绎式. 如果还原到上位的数学知识，则新知识的生成是演绎式的，需要个人较高的数学素养来保证生成的流畅性. 如对椭圆的三定义的复习，这是学生在之前已对椭圆有了全面学习，有了一定基础，而今给出的现象，不同的学生着眼的角度不一定相同，从而演绎成不同的概念.

（2）归纳式. 如果能还原到最基本的生活经验或下位的数学知识，则新知识的生成是归纳式的，更符合于人的自然本能. 如例题的处理，就是对数学现象进行观察试验，从而猜测想象，归纳最值时的位置，从而再进行逻辑论证.

（3）联结式. 如果还原到并列知识上，则新知识的生成是联结式的，需要个人的类比与想象能力.

三者必居其一，具体用哪一种，要根据教学内容以及学生的实际情况而定. 如例题的类比想象，我们可以联想到解析几何中遇到如图2所示的情况：A（2，2）和点F（1，0）为定点，点P为y轴上一动点，问：当点P运动到y轴上何处时，PA+PF取得最小值？此题主要就是运用对称性将PF转化为左侧对应线段，从而将PA+PF的最值的题目转化为两点之间线段最短的知识点.

[?]结束语

解题过程中我们把每一步结果都当作一个现象，对它进行分析. 解题者始终占据主体地位去进行探究，而不是想着“我有哪些知识”或者“我是否曾经解过类似的题目”——这两句来自波利亚的“怎样解题表”. 我们的说法看似与大师有所抵触，实际上并不是. 因为在做“分析”的时候，我们自然要用到已有的认知体系，调动以往所熟悉的解题经验，因此知识和经验仍然是我们行动的力量之源，但那属于术语操作层面，是形而向下的.

当作“现象”和当作“知识”究竟有没有区别？当我们面对数学题时，几乎没有区别. 因为别人给我们的都是“可解”的题目，或都在我们知识所覆盖的范围之内. 而当我们面对世界时，情形就不一样了. 那时问题是否“可解”都不知道;需要哪些条件、可能会有哪些结论，都不明确. 如果没有一个客观冷静的立场，没有稳定的自信心，就会茫然不知所措.

因此在数学课上把题目当作“知识”还是当作“现象”，可以说没有区别;在课堂之外面对未知的世界时，区别就非常明显了. 书呆子和能人，平庸的学者和天才的科学家，也许就是解题时的观念使人慢慢形成的.

当我们将“知识”当“现象”教，学生将数学题也看成是一个数学“现象”时，学生成了能动的创造者，能积极主动地面对问题、思考问题、解决问题，数学课堂就成了富有生机的课堂，学生也就成了课堂的主人.