“悲伤双曲线”

孙晓红

[摘  要] 解析几何的思想和方法是用代数方法（即方程）研究平面几何图形性质的，双曲线的渐近线需要学生从双曲线的标准方程中发现、探究和证明，这也是本章的重点和难点. 通过本节课的学习，教师应教给学生解决解析几何问题的思想和方法，以及用归纳、猜想、证明的思维过程发现问题、解决问题的能力.

[关键词] 解析几何;双曲线;渐近线

[?] 说教材

本节课学习的内容是“双曲线的几何性质”.

1. 本节教材的地位和作用

这节课是人教版普通高中课程标准实验教科书选修2-1第二章第三节“双曲线”第二课时，是学习圆锥曲线的重要组成部分，通过本节学习能进一步巩固圆锥曲线的思想体系和学习方法. 学生已经学习了椭圆的几何性质，很容易类比出双曲线的几何性质，包括范围、对称性、顶点、焦点和离心率等，但双曲线的渐近线是双曲线所独有的性质，如何让学生发现这个性质，并利用数学逻辑推理严格证明，对培养学生逻辑推理能力以及发现问题、独立思考问题、解决问题的能力，对培养学生的探索精神及创新能力，具有极其重要的作用.

2. 说核心素养目标的落实

根据2017年高中数学课程标准，本节课可以培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养能力. 核心素养目标的落实情况如下：

（1）數学抽象. 解析几何的思想和方法是数形结合，主要研究两大问题：一是由曲线得到方程;二是利用方程研究曲线的几何性质. 学生在学习本节课之前已经学习了双曲线的标准方程，由此标准方程概括出曲线的图形特征，达到数与形的完美契合.

（2）逻辑推理. 学生利用类比推理，根据椭圆几何性质的推导方法，得出了双曲线的几何性质;通过变换双曲线标准方程的形式，猜想出渐近线的存在，并用距离公式演绎论证，培养学生的数学逻辑推理能力，为日后的科学发现和创新研究打下坚实的基础.

（3）数学运算. 解析几何学习的内容主要是通过圆锥曲线培养学生的数学运算能力. 通过探究双曲线的几何性质，学生可以掌握数学式子化简、变形的技巧，掌握解决方程消元和求不等式中参数取值范围的方法，掌握复杂运算的计算方法和易错步骤，为培养数学运算核心素养奠定基础.

3. 说教学重点和难点

基于以上分析，我们确定本节课的重点是双曲线渐近线的推导证明过程，难点是发现双曲线的渐近线. 这节课的思维历程正好是“认知冲突—大胆猜想—推理论证—实践应用”，这对于培养学生科学发现、逻辑思维和创新实践能力具有极其重要的作用！

4. 说教学准备

教师：准备多媒体教学课件、下载歌曲《悲伤双曲线》.

学生：复习椭圆的几何性质，回忆其发现和推导的过程.

[?] 说教法

本节课利用多媒体辅助教学，教师设置一个又一个的认知冲突，启发诱导学生自己发现双曲线渐近线的存在，并进行推理证明. 同时，采用类比的教学方式，让学生自己推导双曲线的其他性质，培养学生自主探究和科学论证的能力.

[?] 说学法

学生采用自主学习和小组合作交流的学习方式，借助原有的知识结构进行类比分析，得出双曲线的性质;通过思考、讨论、交流，突破认知冲突，完善思维的批判性和完整性，本节课从始至终学生进行一场激烈的思维体操训练.

[?] 说教学过程

1. 思想的引领与知识的回顾

问题1：解析几何研究的基本问题是什么？

设计意图：解析几何的思想是数形结合，即用代数的方法（方程）研究平面几何图形. 主要研究两大问题，一是由图形得到曲线方程;二是利用方程研究图形的性质. 把它设计为开篇第一大问题，是希望这一主题思想贯穿整节课的始终. 同时，也让这种思想在学生头脑中根深蒂固，指导学生学习解析几何问题，并为下一个问题做好铺垫.

问题2：椭圆的几何性质都有哪些？你能否类比椭圆的研究方法，研究双曲线的几何性质？

设计意图：不仅回顾知识，还回顾知识的产生过程，为研究双曲线的对称性、范围、顶点、焦点和离心率等性质做好了充分的准备. 在此过程中，学生学会利用类比推理发现问题和解决问题. 讲解此内容时教师首先需要强调的是以上性质都是由方程推导出来的，不能仅凭图像直观感受，还要用代数方法严格论证，这也与本节的思想相契合;其次是圆锥曲线的顶点是曲线与对称轴的交点，从图像和方程两方面验证，发现双曲线只有两个顶点，学习后面的抛物线学生自然就知道它为什么只有一个顶点了. 教师在课堂说的每一句话、每一个手势、甚至每一个眼神的暗示都要有自己的目的，为后续内容铺平道路，这样课堂也就鲜活了起来，教师和学生容易产生共鸣.

2. 第一次认知冲突

问题3：能否利用上述性质画出双曲线-=1的图像？

做法：让学生到黑板上画双曲线-=1的图像，学生只会画出曲线的大致形状，但曲线向上、向右的变化趋势无法确定. 学生纳闷.

画出双曲线-=1的图像

[x 4 5 6 7 8 9 y 0 3 ]

追问：难道我们还有几何性质没研究出来？那该怎么办？

学生回答：回到方程，继续探究.

设计意图：通过画双曲线，让学生有了第一次认知冲突，发现研究出来的性质不够用. 由此，学生才会有了继续探究的欲望，也为渐近线的出场打好了伏笔.

3. 发现与猜想——第一次高潮

学生活动：通过小组交流讨论，教师适当引领，学生从方程的变形中发现：-=-1，可得<，所以-x

问题4：这说明什么？

学生：双曲线夹在两条线y=±x之间.

追问1：这两条直线与双曲线是什么关系？

学生：是双曲线的渐近线.

追问2：什么叫渐近线？双曲线一定有渐近线吗？我们现在经历的是什么思维过程？

学生：渐近线是逐渐逼近圆锥曲线的直线. 从方程看，双曲线一定有渐近线，但现在还只是猜想的过程.

追问3：数学猜想之后需要干什么？

学生：严格推理证明.

设计意图：让学生自主发现方程的新特点，从而猜想出双曲线渐近线的存在，大胆猜想并自然过渡到下一阶段的证明. 学生亲身经历了“认知障碍—数学发现—大胆预测—严格论证”四个阶段，本节课达到了第一次高潮！

4. 思维碰撞，头脑风暴——第二次高潮

问题5：如何用严密的代数推理证明y=±x是双曲线-=1（a>0，b>0）的渐近线？

双曲线-=1（a>0，b>0）的渐近线：

方案1：考察M到直线的距离

MQ

;

方案2：考察同横坐标的两点间距离

MN

;

方案3：考察同纵坐标的两点间距离

MP

.

追问1：在数学中用什么量描述曲线在无穷远处，无限接近某条直线的程度？

学生会想到用距离来描述.

追问2：有多少种距离可以描述这种无限逼近的程度？

做法：让学生分组讨论，组内学生进行头脑风暴，每组展示解决问题的方案;然后，全班同学再进行头脑风暴，研究出运算量较小的方案是用水平距离或竖直距离来描述直线y=±x与双曲线-=1（a>0，b>0）的关系.

设计意图：层层设问，把图形的直观表象用数学语言描述出来，再进一步用数学方法加以刻画. 同时，让学生自行设计方案，寻找最佳解决方法，既达到了思维的碰撞，也提升了解决问题的能力.

5. 第二次认知冲突

教师活动：教师引领学生证明：当x→ +∞，x-=

→0，并高度概括双曲线的渐近线对双曲线形状与性质所起的巨大作用.

问题6：渐近线对双曲线如此重要，能否巧妙地画出双曲线的渐近线？

教师活动：既然是巧妙地画就不能生画，学生如果能想到椭圆的画法最好，如果想不到，教师就引導学生类比椭圆的画法，想到椭圆的矩形外框，由此联系到双曲线中的矩形对角线正是渐近线，进而引出双曲线的实轴和虚轴的概念.

如何巧妙地画出双曲线的渐近线？

线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长为2a，a叫作实半轴长;

线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫作虚半轴长;

设计意图：这是本节课学生的第二次认知冲突，从图形的角度设计的认知冲突，与第一次的认知冲突是层层递进的关系. 首先，这样的设计可以培养学生数与形的相互转化和结合的能力;其次，通过类比，让学生体会圆锥曲线在知识和方法上的和谐统一.

教师活动：请学生重新画出双曲线-=1的图像.

设计意图：强调画双曲线的步骤，与第一次认知冲突遥相呼应.

追问：已知双曲线的标准方程，如何巧妙地求渐近线方程？

学生只需让双曲线方程中的“常数”变为“0”.

设计意图：从代数方程的角度设计的认知冲突，到此学生对渐近线的数形特征全面掌握，为本节课的课后探究做好铺垫，也是本节的第三次高潮！

6. 课后探究

问题7：当渐近线方程确定的时候，双曲线方程是否确定？

设计意图：承上启下的作用，为下一节课的内容做好准备.

7. 点睛之笔

学生欣赏歌曲《悲伤双曲线》，附上歌词：

悲伤的双曲线

曲/编：金培达 词：高雪岚

如果我是双曲线

你就是那渐近线

如果我是反比例函数

你就是那坐标轴

虽然我们有缘

能够生在同一个平面

然而我们又无缘

慢慢长路无交点

为何看不见

等式成立要条件

难道正如书上说的

无限接近不能达到

如果我是双曲线

你就是那渐近线

如果我是反比例函数

你就是那坐标轴

虽然我们有缘

能够生在同一个平面

然而我们又无缘

慢慢长路无交点

为何看不见

等式成立要条件

难道正如书上说的

无限接近不能达到

为何看不见

明月也有阴晴圆缺

此事古难全

但愿千里共婵娟

此事古难全

但愿千里共婵娟

教师活动：总结双曲线与渐近线和谐共生的关系，上升到人类情感的高级阶段：有共同的奋斗目标，既相互独立，又彼此遥望，相互扶持，共同成长.

设计意图：把音乐引入数学课堂，激发学生的数学学习兴趣，同时从知识和方法中渗透人文精神，对学生进行感情教育，起到画龙点睛的作用.

[?] 说板书设计