初中生数学关键能力发展水平实证研究

武丽莎

初中生数学关键能力发展水平实证研究

武丽莎

（唐山师范学院 数学与计算科学学院，河北 唐山 063000）

初中生数学关键能力包括数学观察、数学思考与数学表达三个测评维度，具体可以划分为数学抽象能力、直观想象能力、数学猜想能力、演绎论证能力、数据分析能力与模型运用能力等六个观察指标。调查分析了四个城市334个初中生在数学关键能力上的表现，得出如下结论：初中生数学关键能力整体发展水平不理想，创新水平急需提升，初中生数学关键能力在测评维度与观察指标上呈现多样化的发展态势。

数学关键能力；测评维度；观察指标；发展水平

2017年9月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于深化教育体制机制改革的意见》，明确提出要重点培养学生的认知能力、合作能力、创新能力与职业能力。关键能力的形成需要借助不同学科的学习来实现，数学关键能力是关键能力在数学学科的体现，具有抽象性、严谨性与应用性的特征。随着数学学科核心素养的提出，数学教育理念也从“以知识为本”转向“以人为本”，尤其开始关注学生数学关键能力发展与培养。因此，本文从三个方面进行研究：初中生数学关键能力整体发展水平，初中生数学关键能力在测评维度以及各能力范畴的表现以及不同年级之间学生在数学关键能力上的差异性。

一、初中生数学关键能力测评框架

初中生数学关键能力测评框架是测试题编制的基础，综合考虑已有相关研究和《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课程标准（2011年版）》）的阐述，借助文献法、专家咨询法与访谈法，结合初中生的认知水平和数学课程要求，将初中生数学关键能力测评维度划分为数学观察能力、数学思考能力与数学表达能力。数学观察能力指向学生能够从数学的角度观察世界，从而可以获得相应的数学概念、数学规律、数学原理。数学观察能力既是数学抽象的前提，也是提出问题的基础，体现了数学的抽象性特征。数学思考能力指向学生能够借助数学思维思考世界，这里的数学思维主要是指逻辑推理[1]，一方面，逻辑推理推动了数学学科的发展，使数学摆脱经验层面的判断，另一方面，逻辑推理从一些前提或者事实出发，依据一定的规则得到或者验证命题，是得到数学命题与结论的重要途径，数学思考能力体现了数学的严谨性特征。数学表达能力指向学生用数学语言描述世界，可以借助数学符号、数学模型、数据分析来刻画数学对象的性质、关系和规律。随着大数据时代的到来，数据分析变得越来越重要，学生应具备数据搜集、整理以及借助数据推断数学规律的能力。数学表达能力体现了数学的广泛应用性特征。

相关研究指出，高中生数学关键能力具体包括数学抽象能力、直观想象与化归能力、数学猜想与论证能力、数学运算能力、数据分析与预测能力、数学建模能力[2]。借鉴高中生数学关键能力成分的划分，结合初中数学具体课程内容，经过讨论与验证，将初中生数学关键能力的三个测评维度细化：数学观察包含数学抽象、直观想象；数学思考包括数学猜想、演绎推理；数学表达包括数据分析、模型运用。喻平教授从知识学习视角将知识划分为知识理解、知识迁移与知识创新[3]，以此对应学科关键能力的三级水平。本研究将数学关键能力划分为理解、迁移与创新三个水平，形成初中生数学抽象能力三维度、三水平、六指标的测评框架，具体如表1所示。

表1 初中生数学关键能力测评框架

二、研究的设计与方法

（一）研究假设的厘定

本研究基于三个假设：首先，为考虑初中生数学关键能力的发展水平，将年级作为其主要影响因素，学生性别、教师素养、教学风格以及课外辅导因素不在本研究考虑范围之内；其次，测试题在一定程度上可以反映初中生数学关键能力的各个水平；再次，初中生数学关键能力水平可以借助学生测试卷的分数来反映。

（二）研究方法的确定

根据初中生数学关键能力测评框架与研究假设，研究方法主要采用专家咨询法与测验法。

专家咨询法用于对测试卷内容效度的检验，专家包括高等院校的数学教育理论研究者、初中数学教研员以及初中数学骨干教师。专家咨询主要是从专家视角对测试题内容进行审视，例如测查重点是否合理、试题内容是否适切、试题项描述是否合规、试题难度是否合适等，不同结构专家既可以保证从测评理论方面进行指导，又能从教学实践出发确保测试题的合理性与适切性。

测验法即借助编制的测试题目，探究初中数学关键能力的整体发展状况，考察不同年级的学生数学关键能力的各维度以及各指标的差异性，从而确定初中生数学关键能力的发展水平。

（三）研究样本的选取

样本选取遵循可行性与代表性原则。在选取学生样本时，先确定学校，城市的经济、教育发展水平，学校的师资、办学条件等因素，将学校划分为三类，即优质学校、中等学校与薄弱学校，结合学缘、师缘、友缘等因素，选取唐山、天津、长春、东莞等城市学校的7～9年级学生。

由于7年级学生第一学期刚刚入学，因此在第二学期进行测查；考虑到学生中考的影响，9年级学生在第一学期结束时测查。共发放试卷356份，有效回收334份，有效率为93.8%，其中优质学校学生样本量112，中等学校学生样本量为115，薄弱学校学生样本量为107，学生样本结构大体均衡。

（四）测评问卷的编制

采用自行设计的测验卷对初中生数学关键能力进行测评，编制过程如下：

首先，明确测验目的。这直接影响测试卷内容的难度、广度以及测试题的类型选择。本研究中，测验的目的是考量初中生数学关键能力状况，因此，围绕能力取向编制问题，并且适当设置开放性问题；其次，采用双向细目表的方式来呈现测验蓝本。由于测验题量的限制，不可能完全兼顾初中所有数学内容，因此，通过专家咨询，在选择测试内容领域的时候遵循代表性原则、可行性原则、合理性原则与量力性原则；再次，编制测试题。题源主要是国内外已有研究中的测评题项、课程标准中的经典案例以及教材中的习题改编，尽量选取与初中数学知识相关性不大的内容编制测评试卷。

通过对56位专家咨询，其中高校数学教育专家11位，初中数学教研员7位，初中数学骨干教师38位，发放问卷56份，回收有效问卷51份，有效率为91.1%，以此专家问卷数据为基础，进行信度与效度检验，其中各个观察指标信度如表2所示。初中生数学关键能力三个测评维度Cron- bach’s α系数均大于0.8，测试卷整体Cronbach’s α系数为0.883，信度较高。此外，数学关键能力观察指标的Cronbach’s α系数在0.743- 0.891之间，均达到统计学标准，说明测试卷整体稳定可靠。

表2 初中生数学关键能力观测维度与指标的Cronbach’s α系数

在结构效度上，根据杜克尔（Tuker）的理论，所需要的项目和测验的相关应在0.30～0.80之间，项目间的组间相关在0.10～0.60之间，在这些相关全距之内的项目为测验提供满意的效度[4]。通过相关分析来检验各指标之间是否存在相关性，结果如表3所示，6个观察指标之间的相关系数在0.156～0.361之间，呈现中度相关；各指标与总测试卷之间的相关系数在0.712～ 0.827之间，呈现高度相关。可以看出，总测试与各分测试题项的结构效度较好。

表4 初中生数学关键能力测试题枚举

根据项目分析对测试卷进行三次调整，最终形成的测试卷中包含18个测评题项，每个观察指标设计三个测试题，蕴含理解、迁移与创新三个层次，每个测评维度六个测试题，题目举例如表4所示。

（五）数据分析的标准

本研究采取现场测查的方式，测试题由学生独立完成，大约需50分钟。学生测试问卷的评分由一名高校教师和两名初中数学教师共同完成。首先，3名教师共同制定详细的评分标准和细则，每道测评题项最低分为0分，最高分为3分，包含0、1、2、3四个分值，其中1分对应理解水平，2分对应迁移水平，3分对应创新水平，达到某个水平的标准按照60%来计算，问卷满分为54分。该赋分方式直观、简洁，既可以体现能力，又能描述层次。然后，分别由两名初中数学教师独立完成评分，若产生分歧则由第三个教师进行仲裁，教师评分在95%以上一致，一致性程度较高。

三、研究结果分析

（一）初中生数学关键能力整体发展状况

初中生数学关键能力整体发展状况呈线性上升趋势，如图1所示。

图1 初中生数学关键能力整体发展状况

7年级学生数学关键能力的平均分13.6分，得分率为25.2%，8年级学生数学关键能力的平均分17.7分，得分率为32.8%，9年级学生数学关键能力的平均分22.1分，得分率为40.9%。初中三个年级学生数学关键能力的得分率均未达到50%，按照60%的标准来看，初中三个年级学生数学关键能力总成绩都没有达到合格水平，7年级、8年级学生数学关键能力达到理解水平，9年级学生数学关键能力达到迁移水平，三个年级都没有达到创新水平。

（二）初中生数学关键能力在各测评维度的发展状况

初中三个年级学生数学关键能力在各测评维度的发展状况如图2所示。

图2 初中生数学关键能力各测评维度发展状况

在数学观察维度，7年级学生平均得分为3.6分，8年级学生平均得分为6.0分，9年级学生平均得分为4.0分；在数学思考维度，7年级学生平均得分为5.6分，8年级学生平均得分为6.3分，9年级学生平均得分为5.8分；在数学表达维度，7年级学生平均得分为6.6分，8年级学生平均得分为7.8分，9年级学生平均得分为7.7分。

从纵向来看，初中三个年级学生在3个测评维度的发展状况呈现先增后降的变化趋势，其中8年级学生得分高于7年级学生得分，这可能与学生在初中学习的适应性有关，同时，8年级学生得分高于9年级学生得分，这可能与9年级学生准备中考有关。

从横向来看，在三个年级中，数学表达的得分最低，数学思考的得分最高，数学观察得分居中，这也说明在《课程标准（2011年版）》的指引下，教师的课堂教学开始关注到了学生的数学思考。

（三）初中生数学关键能力在各观察指标的发展状况

初中三个年级学生数学关键能力在各观测指标的发展趋势各不相同，具体如图3所示。

从图3可以看出，初中生数学关键能力在各观察指标的发展状况分为三种类型，一是先增后降，二是逐渐递增，三是先降后增，其中，数学抽象能力属于先增后降型，数学猜想能力属于先降后增型，直观想象、演绎论证、数据分析、模型运用四个能力属于逐渐递增型。在数学抽象能力方面，7年级学生平均得分为2.3分，8年级学生平均得分为3.1分，9年级学生平均得分为2.6分，这样的变化可能是因为数学抽象更多是呈现在课堂教学中，帮助学生形成数学概念与规律，9年级由于处于中考准备阶段，不再关注数学概念的形成。

图3 初中生数学关键能力各观测指标发展状况

在直观想象能力方面，7年级学生平均得分为1.3分，8年级学生平均得分为2.5分，9年级学生平均得分为4.0分；在数学猜想能力方面，7年级学生平均得分为3.1分，8年级学生平均得分为2.8分，9年级学生平均得分为3.3分，这可能因为小学阶段比较注重学生的数学猜想，更多是通过找规律的内容来呈现，而初中阶段的教学更多关注逻辑推演，从而导致数学猜想能力的下降。

在演绎论证能力方面，7年级学生平均得分为2.9分，8年级学生平均得分为3.4分，9年级学生平均得分为4.5分。在数据分析能力方面，7年级学生平均得分为2.4分，8年级学生平均得分为3.7分，9年级学生平均得分为3.9分。

在模型运用能力方面，7年级学生平均得分为1.6分，8年级学生平均得分为2.1分，9年级学生平均得分为3.8分。

根据60%的标准，在六个观察指标上，三个年级学生均未达到创新水平。在数学抽象能力、数学猜想能力、演绎论证能力与数据分析能力方面，三个年级学生都达到理解水平，均未达到迁移水平；在直观想象能力方面，7年级学生没有达到理解水平，8年级学生达到理解水平，9年级学生达到迁移水平；在模型运用能力方面，7年级与8年级学生未达到理解水平，9年级学生达到迁移水平。

（四）不同年级学生在数学关键能力各测评维度上的差异分析

在了解初中生数学关键能力整体发展状况基础上，对于不同年级学生在数学关键能力各测评维度进行方差分析，其方差检验结果如表5所示。

表5 不同年级的学生在测评维度上的差异

注：*表示p<0.05

不同年级学生在数学观察、数学思考、数学表达方面存在显著差异。为进一步说明两个年级之间在测评维度上的具体差异，采用LSD法进行多重比较。

在数学观察维度上，7年级与8年级学生之间存在显著差异（p=0.007<0.05），7年级与9年级学生之间不存在显著差异（p=0.271>0.05），8年级与9年级学生之间存在显著差异（p=0.000<0.05）；在数学思考维度，7年级与8年级学生之间存在显著差异（p=0.012<0.05），7年级与9年级学生之间不存在显著差异（p=0.165>0.05），8年级与9年级学生之间存在显著差异（p=0.005<0.05）；在数学表达维度，7年级与8年级学生之间存在显著差异（p=0.007<0.05），7年级与9年级学生之间存在显著差异（p=0.011<0.05），8年级与9年级学生之间存在显著差异（p=0.000<0.05）。

（五）不同年级学生在数学关键能力各观察指标上的差异分析

为了解不同年级学生在数学关键能力各观测指标上的差异，对三个年级学生数学关键能力六个观察指标进行方差分析。从表6可以看出，不同年级学生在数学关键能力的六个观测指标都存在显著差异。下面采用LSD法进行多重比较。

在数学抽象能力上，7年级与8年级之间存在显著差异（p=0.000<0.05），7年级与9年级之间不存在显著差异（p=0.121>0.05），8年级与9年级学生之间存在显著差异（p=0.016<0.05）。

表6 不同年级的学生在观测指标上的差异

注：*表示p<0.05

在直观想象能力上，7年级与8年级之间存在显著差异（p=0.010<0.05），7年级与9年级之间存在显著差异（p=0.023<0.05），8年级与9年级学生之间存在显著差异（p=0.004<0.05）。

在数学猜想能力上，7年级与8年级之间不存在显著差异（p=0.105>0.05），7年级与9年级之间存在显著差异（p=0.000<0.05），8年级与9年级学生之间存在显著差异（p=0.024<0.05）。

在演绎论证能力上，7年级与8年级之间存在显著差异（p=0.046<0.05），7年级与9年级之间存在显著差异（p=0.018>0.05），8年级与9年级学生之间存在显著差异（p=0.000<0.05）。

在数据分析能力上，7年级与8年级之间存在显著差异（p=0.000<0.05），7年级与9年级之间存在显著差异（p=0.000<0.05），8年级与9年级学生之间不存在显著差异（p=0.217<0.05）。

在模型运用能力上，7年级与8年级之间存在显著差异（p=0.031<0.05），7年级与9年级之间存在显著差异（p=0.000<0.05），8年级与9年级学生之间存在显著差异（p=0.000<0.05）。

四、研究结论与讨论

（一）初中生数学关键能力整体的发展水平不理想

从初中生数学关键能力测查成绩来看，学生数学关键能力整体发展水平偏低，三个年级的得分率均未达到50%。一方面，义务教育课程标准还在修订中，目前的教学依据的是《课程标准（2011年版）》，在标准中也没有明确提及数学关键能力，因此，可能导致教师在教学中还没有足够重视学生数学关键能力的培养；另一方面，义务教育长期受到基础知识与基本技能的影响，无论是教学，还是评价，考试重点成为教学的重要指引，与能力相比，更关注知识的测评。从高中数学课程标准来看，数学关键能力是非常重要的考核目标，义务教育数学课程标准的修订也应将其作为主要的目标导向，随着新版义务教育课程标准的颁布与实施，初中生数学关键能力的水平可能会有所提升。

（二）初中生数学关键能力的创新水平亟待提升

在所选样本中，无论是测评维度还是观察指标，三个年级学生的数学关键能力均未达到创新水平，初中生数学关键能力的创新水平急需提升。近年来，数学教育提倡创新能力，《课程标准（2011年版）》更是将创新意识作为十大核心概念，要求学生在数学学习过程中，发现和提出数学问题，这应贯穿整个义务教育阶段。

创新涵盖三个层面的内涵，第一层内涵是学生能对教学内容作适当的拓展与延伸，第二层内涵是能对问题进行推广与变式，第三层内涵是学生能够形成学科思维[3]。从学生回答问题来看，创新第一层内涵表现得就不够好，学生难以对所学内容进行拓展与延伸，因此，加强初中数学学习的拓展与延伸，是提升其数学关键能力创新水平的第一步。

（三）初中生数学关键能力的发展态势呈现多样化

初中生数学关键能力在测评维度与观察指标上都呈现出多样化的发展状况。首先，在测评维度上，初中生数学思考要远远高于数学观察，这也解释了学生难以在实际情境中获取数学概念，提出数学问题，这都与缺少数学观察有关；其次，在观察指标上，从学生的测查成绩来看，三个年级学生在各观察指标上的表现差异较大，在各指标的变化上呈现先增后减、先减后增、逐渐递增三种类型，可以根据各种类型，找到初中生数学关键能力的重要节点，关注小学与初中在数学教学的衔接，遵循其年级特征，制定有针对性的教学设计，选择适当的教学方法，这对于促进初中生数学关键能力的发展具有一定的指导意义。

[1] 史宁中,林玉慈,陶剑,郭民.关于高中数学教育中的数学核心素养——史宁中教授访谈之七[J].课程·教材·教法, 2017,37(4):8-14.

[2] 朱立明.高中生数学关键能力测评指标体系的构建[J].课程·教材·教法,2020,40(3):34-42.

[3] 喻平.学科关键能力的生成与评价[J].教育学报,2018, 14(2):34-40.

[4] 刘婷,陈倩.高中生订正数学错题态度量表的编制和检验[J].数学教育学报,2019,28(1):30-36.

An Empirical Study on the Development Level of Junior Middle School Students' Mathematics Key Ability

WU Li-sha

(School of Mathematics and Computational Sciences, Tangshan Normal University, Tangshan 063000, China)

The key mathematical ability of junior high school students includes three measurement dimensions: mathematical observation, mathematical thinking and mathematical expression, which can be divided into six observation indexes: mathematical abstraction ability, intuitive imagination ability, mathematical guess ability, deductive demonstration ability, data analysis ability and model application ability. The performances of key mathematical ability of 334 junior high school students in 4 cities are investigated and analyzed. The conclusion is as follows: The overall development level of junior high school students’ key mathematical ability is relatively low. Their innovation level needs to be improved urgently. The development trend of junior high school students’ mathematics key ability is diversified in the measurement dimension and observation index.

key mathematical ability; measurement dimension; observation index; level of development

G625.5

A

1009-9115(2021)05-0154-07

10.3969/j.issn.1009-9115.2021.05.028

唐山市人才资助项目（A202002033），唐山师范学院教育教学改革研究项目（2018001003）

2021-02-24

2021-08-09

武丽莎（1986-），女，河北唐山人，硕士，讲师，研究方向为数学教育。

（责任编辑、校对：高俊霞）