双胎胞的高考满分之路

■河南师范大学附中西校区 杨承泽 杨承霖（指导老师 孟召臣）

或许是幸运，也或许是我们的付出得到了回报，2021 年的高考，我们兄弟俩数学都考了满分。刚刚走过的高中学习生活应该说道路是曲折的，结局是光明的，尤其是数学学科，高考很幸运地考了150 分。针对数学学科的学习，我们简单总结了一下自己在学习过程中的一些做法，希望能给各位读者提供一些帮助。

常言道“干一行，爱一行，钻一行，精一行”，要想学好数学，从内心要“爱”数学！ 三年的高中数学学习，我们逐渐体会到高中数学教材中主编所寄语的：数学是有用的，是能提高能力的，是自然的，也是清楚的。“数学就在我们身边，她是科学的语言，是一切科学和技术的基础，是我们思考和解决问题的工具”，“逻辑思维与探索结构等正是理论的支架和脉络，因而数学恰就在它们的核心处”。只有内心清楚数学这门学科对自己很有用，我们才能从内心重视它，激发出对数学学科更深的兴趣和热情。

当然，想学好数学也不是仅凭一腔热血，要在思想上重视，更要在行动上落实高中数学的学习。

1.课前

预习！ 预习！ 预习！ 重要的事情说三遍。高中数学不同于初中数学，对逻辑思维能力要求更高，如果课前不预习，“打无准备之仗”就可能跟不上课堂的节奏，出现老师已经开始讲下一个新的知识点的时候，自己却还没想通上一个问题为什么这样处理。特别是课堂容量大的时候，很容易造成手忙脚乱，有些问题一知半解，有些问题没跟上老师的思路。不仅如此，如果发现身边的同学都做好了预习，在课堂上能抢着回答老师的问题，也就很容易感到自己的“弱小、可怜与无助”，久而久之就会严重影响学习的自信心和积极性。预习时可以先通读课本，尽可能把课本上的概念、例题及例题讲解先弄个八九不离十，之后尽可能完成课本上以及教辅资料上60%～80%的题目，遇到不会的及时标记起来，同时可以把自己的想法简单地批注在旁边，以便带着问题“精准”上课。

2.课中

课堂上，我们通常是有选择地听课，“时听，时不听”，对于自己在预习过程中不懂的问题，以及老师所讲解的基于课本内容的拓展知识一定要专注地听；而对于自己感觉已经会了的就“不听”，同时利用这些间断的时间做一些同步的习题以减轻课后的作业负担。就我们兄弟俩而言，高一高二时课堂上听课还是很专注的，高三起逐渐学会了“偷懒”。不建议把大量的课堂时间花在记笔记上，实在怕忘或者真的没听懂就把关键内容简单记一下，下课借同学的笔记看看或者及时问一下老师。在我们看来，真正的笔记本应该是课后自己整理总结的干货，而不是课堂上照搬照抄板书。

3.课后

课后指的并不是下课后的课间十分钟，而是上完这节课后的所有时间。课堂上四十分钟的内容，有时候需要课后数个小时的整理、思考、练习，才能逐渐消化吸收最终转化为属于自己的东西，并最终熟练地运用在解题上。有时候，新学的知识如果比较抽象或者技巧性比较强，往往不能在短时间熟练掌握，比如我们最初接触对数、基本不等式及解析几何等内容的时候，看书感觉都会了，应该没什么问题，可是一做题却发现大多数题不会做，或者花费时间很长才能做对。这很正常，因为认识和熟悉一个新的事物或者一个新的知识点是需要一个过程，这完全不用担心，但需要多做一些有针对性的练习，多看看一些教辅资料中的典型题型及技巧总结。学数学真的需要这样“借力”，自己能够把控的就是借助于某些资料或者杂志的“力”，好的资料及杂志其实不少，例如《中学生数理化》，我们孟召臣老师撰写的《高中数学常考的二级结论》，及《更高更妙的高中数学思想与方法》等一些资料上总结的相关例题及解题技巧和方法都让我们受益匪浅。当然光看书是不够的，还要有针对性地练习来增加应用知识和技巧的熟练度。例如在初学基本不等式时，总是弄不清什么时候该用，该怎么用，该怎样快速得到答案等，我们就通过练习增强了对知识和技巧的熟练度。

例如：已知a，b＞0，a＋b＝1，求：（1）的最小值；（2）a2＋b2的最小值；（3）的最大值。记得刚接触这样的题，总是要耗费很长时间，或者做的方法很麻烦！ 经过一周的巩固训练，很快掌握了这类问题的解题技巧和方法。就拿这道题来说，如果想要快速得到答案，我们只需要根据题目及结论中字母a，b的对称性，就可以知道a＝b＝时，取得最小值4，a2＋b2取得最小值取得最大值

若需要解答过程，则可以这样做：

4.解题

题是基础知识和思想方法的共同载体，多做一些习题有利于我们快速掌握并熟练应用相关的知识点。

首先，做题不能盲目，要有所选择地做。对于那些简单易掌握的题目，预习的时候过一遍就可以了，多做纯粹是浪费时间。做题，要有选择地做，平时练习时要多做一些能够暴露自己知识漏洞或方法没有掌握的问题，要多做一些难度适中或者稍有挑战性的题目，多做一些能让我们从中得到一些小结论的题目，多做一些解题方法技巧性比较强的题目。数学题目不是做得越多越好，我们还要平衡其他学科的学习，高一高二的时候不要怕暴露自己的知识漏洞，根据知识漏洞有针对性地做题才能把我们所学的知识掌握得更牢固。高一高二把握得比较好，高三的时候就不会感觉自己没掌握的太多，高三后期各种试卷特别多，要根据自己的情况，有选择地做，否则会感觉天天很累，且效果不佳。我们高三下学期就主要做一些试卷中的中等偏上难度的试题。

其次，要认真审题，注重方法。审题时首先读题要慢，在读到自己觉得有重要模型特征的、陌生的或者易错的条件时，用笔把它们圈出来，需要利用几何关系的题目时尽量把图画准确，把对应的条件标注到图上相应位置。写选择题时，如果用排除法，尽量在排除的选项上做个记号，特别要注意题目问的是正确的项还是错误的项。选择题的答案尽量统一写到题号前，方便誉抄到答题卡上。关于解题方法的选择，对于选择题、填空题，这些题目不需要严密的推导过程，解题时完全可以“不择手段”，考试时间有限，千万不要“小题大做”，而要想着巧做、智做甚至“秒杀”，可以运用排除法、极限法、特殊化法、估值法、数形结合法等快速把题目给解出来。对于解答题，解题时要注意前后的逻辑关系，注意答题的条理性和规范性，书写过程要抓住解题的关键得分点，用我们孟老师的话说，“只写对的，不写废的”。做完题还要注意检验，以确保自己的思路和运算结果没问题。

5.笔记和纠错

对于笔记，尽量不要在课堂上占用太多时间去记笔记，什么都记，就没有足够的时间去理解当堂的知识，课堂学习效果会大打折扣。我们认为需要记的有这些：①有些自己很难想到的解题技巧；②学习过程中遇到的常考、常用的二级结论；③在每一章节结束，总结的这一章常考的数学模型。对于自己很容易掌握的知识点以及在书店里的公式定理手册中都很容易查到的知识点，就没必要去记了。

对于错题本，不是所有的错题都要记，对于有些可能因考试状态不好，而导致的明显非智力因素错误就没必要记。对于一些简单但做题时某细节没注意到而出错的题目也不需要记。需要记下来的主要是自己做过的习题中，方法独到，方法种类比较多，或者解题方法可以迁移到其他问题中的典型题。记错题的时候，如果感觉解题步骤太多，可以只突出关键点，价值不大的地方只写个思路，不用写完整过程。对于记下来的题目要定期回过头来看看，确保弄懂，下次不再出错。在弄懂的基础上，还要深入思考：题目中有什么“陷阱”，今后如何避免掉进“陷阱”；有什么隐含条件，隐含条件该如何抓住，如何应用；此类题目还可以怎样改编，能不能把方法迁移到其他题目中去，能不能从中得到一些有用的二级结论。

不论是笔记还是错题本，都建议把题目、解析过程以及自己的反思感悟用不同颜色的笔来写，黑、蓝、红是不错的选择。

学习不是一蹴而就的，高中知识量要比初中多很多，学起来并不轻松，因此，高一高二的时候就一定要端正态度，全力以赴，尽最大限度地不留知识漏洞，否则就很可能一步跟不上，步步跟不上。高三与其说是复习，不如说是对以前所学知识的综合和升华，题目的综合性更强，对思维能力的要求更高。除非你是天才，否则那种抱着“高一高二混过去，高三再好好学”的态度是肯定学不好的。

以上是我们兄弟俩在高中数学学习过程中的一点粗浅之谈，不当之处，还望朋友们批评指正！

名师点评：孟召臣（本刊核心作者、封面人物）

今年的高考，杨承霖和杨承泽兄弟（双胞胎）两人数学都取得了满分，虽然像他们自己所说的那样，有那么一点幸运的成分，但我觉得更多的是“一分耕耘，一分收获”，是两个孩子努力付出得到的必然结果。一路走来，我见证了他们的成长，兄弟两个都有很强的进取心，思维敏捷，爱动脑，勤钻研，善总结，重要的内容决不浅尝辄止。平日里，两人的学习生活安排得张弛有序，忙碌而不慌乱，他们学习主动性都比较强，对很多数学问题都有自己独到的见解（我在教他们的过程中也深感受益匪浅）。在学习的过程中，虽然也有多次考试成绩不理想，但面对失利，他们都能以平常心对待，面对挫折，他们从不言弃。

“十年磨一剑”，“沧海一声笑”，无涯学海任逍遥，他们用努力的脚印，踏出了一片智慧的天地；用智慧与勤奋的钥匙，打开了通往成功的大门！ 他们用实际行动很好地诠释了“勤奋出天才”。希望在未来的征途中，他们会走得越来越好！