例谈基本不等式中的“3大注意”和“11个策略”

■河北南宫中学 温世娴 霍忠林

基本不等式常用来求函数最值（取值范围）或证明不等式。高考中主要考查二元或三元基本不等式的应用。“一正、二定、三相等”是同学们耳熟能详的使用基本不等式“口诀”。但是在解题过程中，部分同学对这“口诀”理解得不到位、对基本不等式的使用策略运用不当，从而导致得分不理想。鉴于此，本文总结了二元或三元基本不等式在使用过程中的“3大注意”和“11 个策略”，以期对同学们的学习提供帮助。

一、知识回顾

（1）若a∈R，b∈R，则a2＋b2≥2ab（*），其中当且仅当a＝b时，等号成立。

二、“口诀”的3大注意

（1）对“正”的理解：“一正”指的是数（代数式）必须均是正的，这是使用基本不等式的前提条件。比如，求函数y＝x＋的取值范围时，显然两数不满足“正”的条件，不能直接使用基本不等式，此时可以转化为再使用基本不等式。因此，使用基本不等式之前应先看已知条件是否满足“正”的条件。

（3）对“相等”的理解：判断取等条件，必须在出现“定值”之后。在利用基本不等式求最值时，必须满足“相等”的条件，若不满足条件，则不能利用基本不等式求最值。比如，求的最小值时，采用≥2 来求最值是“行不通”的，原因就在于取等条件不满足。但是在利用基本不等式证明不等式时，即使取等条件不满足也可以使用。比如，当x＞1时，证明：x2＋。此时可以采用“x2＋”来处理。

三、解题的11个策略

策略1 直接套用公式

策略2 添“项”凑“定值”

该策略指的是通过添加系数或添加常数来“凑”定值。

评析：本题通过添加系数2，从而凑出“和”为定值。

评析：本题通过添加常数项1，从而凑出“积”为定值。

策略3 乘“1”法

乘“1”法常分为“整体乘1”和“局部乘1”两种形式。

评析：本题通过“整体乘1”策略，为基本不等式的使用提供了条件。实际上形如“已知x，y，z，r，s均为正数，且xa＋yb＝z，求的最小值”均可以采用此策略。

评析：本题通过“局部乘1”策略，为基本不等式的使用提供了条件。

策略4 换元法

评析：通过m＝2x＋y，n＝y＋1将本题转化为策略3 来处理。一般情况，代数式中含有根式或含有一次式时可以考虑将根式或一次式进行换元，再求最值。

策略5 合理拆分

评析：注意到x＝，因此将拆成相等的两项，这样可以保证了基本不等式“取等”的条件。“平均拆分”是合理拆分的最常见手段。

策略6 因式分解

该策略就是先对已知条件进行因式分解，再利用基本不等式解题。

例8已知a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，求a＋b的最小值。

解析：由ab＝a＋b＋3，得（a－1）（b－1）＝4。

所以a＞1，b＞1。

故a＋b＝（a－1）＋（b－1）＋2≥＋2＝6，当a－1＝b－1，即a＝b＝3时等号成立。

所以a＋b的最小值为6。

评析：一般形如“已知x，y，z，r，s均为正数，且ab＝xa＋yb＋z，求ra＋sb的最小值”可以考虑采用此策略。

策略7 连续多次使用基本不等式

评析：在多次使用基本不等式求最值时，必须保证等号同时成立。如果等号不同时成立，就无法使用基本不等式求最值。

策略8 主元思想

评析：在含有多个变量求最值时，可以考虑采用“主元思想，逐个击破”策略，但是务必保证等号同时成立。

策略9 平方

该策略就是先将待求代数式平方，再应用基本不等式求解。

策略10 待定系数法

策略11 利用取等条件

利用基本不等式的“取等”条件来求最值或证明不等式，常用来处理“已知条件”和“问题”均是对称式。

例13已知正实数a，b满足a＋b＝2，求a3＋b3的最小值。

解析：a3＋1＋1≥3a，b3＋1＋1≥3b，所以（a3＋1＋1）＋（b3＋1＋1）≥3（a＋b）＝6，a3＋b3≥2。

当a＝b＝1时等号成立。

所以a3＋b3的最小值为2。

评析：注意到“题干”和“问题”均是关于a，b的对称式，因此可以尝试从a＝b＝1 条件来入手，通过a3＋1＋1≥3a，b3＋1＋1≥3b来顺利实现解题的目的。

例14已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，求证：a2＋b2＋c2≥

综上所述，基本不等式的学习中，要深入理解“一正、二定、三相等”这一条件。在解题过程中，要多整理、勤总结、善反思，只有这样才能灵活掌握解题策略，实现精准备考。