近几年高考不等式热门题型分析

■四川省巴中中学 肖 斌（正高级教师、特级教师）

不等式是高中数学的重要解题工具，是高考必考的热点内容之一。不等式问题在近几年高考全国卷中一般为中等难度，小题主要考查不等式的性质、不等关系、二次不等式的解法、基本不等式的应用及线性规划等，解答题主要考查绝对值不等式的解法或证明。有时，不等式还会与集合、逻辑、函数、三角、向量、数列、解析几何等主干知识结合，命制成植根基础、能力立意的创新题甚至难题，对不等式的知识、方法与技巧要求较高。下面以最近几年的高考题及最新的模拟题为例分析其命题特点。

热门题型一 不等式的基本性质及其应用问题

不等式的基本性质主要有八个，应注意分清“单向性”和“双向性”。“双向性”是解不等式的基础。证明不等式时，既可用“单向性”，也可用“双向性”。

（1）对称性：a＞b⇔b＜a。

（2）传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c。

（3）可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c。

（4）同向不等式相加法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d。

（5）可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc。

（6）同向正值不等式相乘法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd。

（7）正值不等式乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，n≥1）。

（8）正值不等式开方法则：a＞b＞0⇒

此外，还应知晓一些使用频率较高的“二级结论”，以简化思维过程，快速获得解法。

（1）倒数性质：①同号两数倒数法则，a＞；②异号两数倒数法则，a＞

（2）异向不等式性质：①异向不等式相减法则，a＞b，c＜d⇒a－c＞b－d，即大数减小数，大于小数减大数；②异向正值不等式相除法则，a＞b＞0，0＜c＜d⇒，即若四个数都是正数，则大数除以小数，大于小数除以大数。

（3）分数性质：若a＞b＞0，m＞0，则①真分数性质，（b－m＞0），即一个真分数的分子、分母同时加上同一个正数，值越来越大，减去同一个正数，值越来越小；②假分数性质，（b－m＞0），即一个假分数的分子、分母同时加上同一个正数，值越来越小，减去同一个正数，值越来越大。但请注意，使用真分数、假分数性质时，需保证变化前、后分数的分子、分母均为正数。

例1（2021 年四省八校质检试题）若logab＜logac，则下列不等式一定成立的是（ ）。

解析：（解法一，排除法）由对数的意义知，a＞0且a≠1，b＞0，c＞0。

①当0＜a＜1时，有b＞c＞0，所以ab＞ac，且，从而，排除A，B。

②当a＞1时，0＜b＜c，此时幂函数y＝xa在（0，＋∞）上增函数，所以ba＜ca，排除D。

故选C。

（解法二，直接法）当0＜a＜1时，则b＞c＞0。因为指数函数y＝ax（0＜a＜1）在（－∞，＋∞）上为减函数，所以ab＜ac。

当a＞1时，则0＜b＜c。因为指数函数y＝ax（a＞1）在（－∞，＋∞）上为增函数，所以ab＜ac。

综上，选C。

高考类题：（2018 年全国Ⅲ卷理数第12题）设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则（ ）。

A.a＋b＜ab＜0 B.ab＜a＋b＜0

C.a＋b＜0＜abD.ab＜0＜a＋b

解析：（解法一，排除法）因为a＝log0.20.3＞log0.21＝0，b＝log20.3＜log21＝0，所以ab＜0，排除C。

因为0＜log0.20.3＜log0.20.2＝1，log20.3＜log20.5＝－1，所以0＜a＜1，b＜－1，a＋b＜0，排除D。

热门题型二 比较大小问题

两个实数比较大小的方法主要有：比差法、比商法、中介法。其理论依据分别如下：

（1）比差法，a－b＞0⇔a＞b，a－b＝0⇔a＝b，a－b＜0⇔a＜b；

（2）比商法，不妨设b＞0，则＞1⇒a＞＜1⇒a＜b；

（3）中介法，a＞b，b＞c⇒a＞c。

例2（2020 年全国Ⅲ卷理数第12题）已知55＜84，134＜85，设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则（ ）。

A.a＜b＜cB.b＜a＜c

C.b＜c＜aD.c＜a＜b

解析：用比商法判断a与b的大小，用中介法判断b与c的大小。

高考类题：（2017 年全国Ⅰ卷理数第11题）设x、y、z为正数，且2x＝3y＝5z，则（ ）。

A.2x＜3y＜5zB.5z＜2x＜3y

C.3y＜5z＜2xD.3y＜2x＜5z

解析：（比商法）令2x＝3y＝5z＝k（k＞1），则x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k。

点评：请同学们用比差法做一做。

热门题型三 利用基本不等式求最值问题

利用基本不等式求最值，应具备四个条件：“一正、二定、三等、四同”，并注意“和定积有最大值”、“积定和有最小值”的一般规律。当条件不满足时，常通过适当的变形进行转化，近年来高考试题中涉及的相关变形技巧主要有以下几种。

1.数字字母化的技巧

点评：将数字字母化，即将目标表达式中前两个分式的分子“1”均代换成字母乘积“ab”，可促成问题的转化和解决。

2.拆项的技巧

例4（2019 年高考天津卷理数第13题）设x＞0，y＞0，x＋2y＝5，则的最小值为_____。

3.添项的技巧

由函数f（x）的最小值为5，得2－1＝5，解得a＝9，此时3x＝2满足题意。

点评：“拆项”是将已有的式子“一分为二”，“添项”是把没有的式子改写成“两个互相反数的和”，即“无中生有”。

4.消元的技巧

5.配凑的技巧

热门题型四 以函数为背景的不等式问题

例8（2021年全国乙卷文数第8题）下列函数中最小值为4的是（ ）。

解析：选项A，f（x）＝（x＋1）2＋3，所以f（x）min＝f（－1）＝3，故A 不正确。

点评：本题巧妙将二次函数、三角函数、指数函数、对数函数、“对勾函数”的性质与基本不等式求最值时必须满足的四个条件：“正、定、等、同”等易错点有机整合，较好地体现了基础性、综合性、应用性、创新性的高考数学学科“四翼”考查要求。

热门题型五 不等式恰成立、恒成立、能成立（即有解）问题

不等式恰成立、恒成立、能成立（即有解）问题是不等式中最精彩、最能体现核心素养的能力题，其基本思维方法有：判别式法、图像法、最值原理法、分离参数法、反客为主法、补集思想法等。

例9（2021 年四川省巴中市高二质检试题）已知关于x的不等式ax2＋4ax－3＜0。

（1）若不等式的解集为{x｜x＜－3 或x＞－1}，求实数a的值；

（2）若不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围。

解析：（1）（图像法）因为关于x的二次不等式ax2＋4ax－3＜0的解集为{x｜x＜－3或x＞－1}，所以由图像知－3，－1是相应方程ax2＋4ax－3＝0的两个根，且a＜0。

综上，a＝－1。

（2）（判别式法，分类讨论法）当a＝0时，不等式化为－3＜0对任意实数x恒成立，符合题意。

当a≠0时，要使关于x的不等式ax2＋4ax－3＜0 对任意实数x恒成立，只需－4×a×（－3）＜0，解得－＜a＜0。

综上，实数a的取值范围是。

点评：第一问是已知二次不等式的解集逆向求参问题，即通常所说的不等式“恰成立问题”，其基本解法是利用三个“二次”之间的联系，通过图像法将二次不等式的“恰成立问题”转化为二次方程的两个实根问题；第二问是二次不等式在R 上的恒成立问题，通常有以下等价转化关系，习惯称之为“判别式法”。

例10（2021年四川省巴中中学高二月考试题）若不等式x2＋ax－2＞0 在x∈[1，5]上有解，则实数a的取值范围是_____。

解析：令f（x）＝x2＋ax－2，则Δ＝a2＋8＞0，所以方程f（x）＝0有两个不等实根。

又两个根之积为负，所以方程有一个正根和一个负根。

（解法一，图像法）不等式x2＋ax－2＞0在x∈[1，5]上有解，只需：

（解法二，补集思想法）原问题的否定形式是：若不等式x2＋ax－2≤0在x∈[1，5]上恒成立，求实数a的取值范围。此时只需f（1）＝a－1≤0，且f（5）＝5a＋23≤0，解得a≤－。

故不等式x2＋ax－2＞0在x∈[1，5]上有解时，实数a的取值范围是

（解法三，分离参数法）x2＋ax－2＞0在x∈[1，5]上有解⇔a＞－x在x∈[1，5]上有解。

记f（x）＝－x，x∈[1，5]，只需a＞f（x）min。

易知f（x）为减函数，所以f（x）min＝f（5）＝－，a＞－。

故实数a的取值范围是

点评：解法一是图像法，利用二次不等式与二次函数之间的联系与转化获解。解法二采用补集思想法，即解决“存在性”能成立问题时，可先考虑其否定形式，即先转化为“任意性”的恒成立问题。解法三采用分离参数法，一般地，有以下等价转化策略：

若存在x∈[m，n]，a＞f（x）有解（即能成立）⇔a＞f（x）min；

若存在x∈[m，n]，a＜f（x）有解（即能成立）⇔a＜f（x）max；

若存在x∈[m，n]，a＞f（x）无解（即不成立）⇔a≤f（x）min；

若存在x∈[m，n]，a＜f（x）无解（即不成立）⇔a≥f（x）max；

若存在x0∈[m，n]，使不等式f（x0）＞g（x0）成立⇔f（x）－g（x）＞0在[m，n]上有解⇔[f（x）－g（x）]max＞0。

热门题型六 不等式中的数学文化类问题

例11《几何原本》第二卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明。现有如图1所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为（ ）。

图1

点评：对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式，比如≥2（a，b同号），a2＋b2≥（a，b∈R），ab≤（a，b∈R）等。事实上，若追根溯源，这几个变形形式都蕴含在如下重要的不等式链中：已知0＜a≤b，则≤b（当且仅当a＝b时取等号）。该不等式链从第二个式子开始，分别被称作正数a、b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数。本题考查的数学文化背景是“两个正数的算术平均数不大于它们的平方平均数”这一重要不等式结论。本题“无字证明”，透析图形玄妙，展示几何解释，洞见数学之美。

高考类题：（2020 年江苏省邗江中学高考模拟试题）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式。现有一个三角形的边长满足a＋b＝6，c＝4，则此三角形面积的最大值为____。

热门题型七 不等式与其他数学主体知识的交汇性问题

将不等式相关知识与集合、逻辑命题、函数、三角、向量、数列、解析几何等众多主体知识进行适当交汇、渗透与整合可形成外延拓展型试题，此类综合题在高考数学试卷中常考常新。

例12（2021年四川省巴中市高二质检试题）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知∠ABC＝120°，∠ABC的角平分线交AC于点D，且BD＝1。

其中所有正确结论的编号为（ ）。

A.①③④ B.②④

C.①③ D.①④

解析：∠ABC＝120°，∠ABC的角平分线交AC于点D，则∠ABD＝∠CBD＝60°。由三角形的面积公式得acsin 120。＝csin60°，化简得ac＝a＋c。

又a＞0，c＞0，则＝1，故①正确。

由ac＝a＋c≥24，当且仅当a＝c＝2时取等号，故ac的最小值为4。故②错误。

点评：本题由2018年江苏高考题改编而得，综合考查了三角形的面积公式、内角平分线的性质以及基本不等式的应用，耐人回味的是对基本不等式求解最值的多个技巧、易错点进行了全面、深透地考查。

高考类题：（2021年高考浙江卷理数第8题）已知α，β，γ是互不相同的锐角，则在sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα三个值中，大于的个数的最大值为（ ）。

A.0 B.1 C.2 D.3

点评：本题以基本不等式ab≤为突破口，先将题设中的三个正弦、余弦的乘积式进行放大变形，得到三个关键不等式；然后通过整体相加思想及反证法，得到三个乘积式不可能均大于；最后列举特例分析，得到三式中大于的个数的最大值为2。本题是一道植根基础、能力立意、清新脱俗、锐意创新的好题。