注重基础，延续特色，坚持创新

杨希

2020年高考数学浙江卷依然延续了以往的命题风格，试题灵活，结构合理，思维含量高，有很好的信度与区分度，有利于高校选拔优秀人才，有利于中学新课标的改革与推进。整份试卷结构与题型分布保持稳定，严格遵循新课程标准与要求，聚焦数学学科的主干内容，凸显对数学能力和核心素养的考查，体现了基础性、综合性、应用性、创新性的基本要求，全面考查学生的数学知识、数学能力与数学学科核心素养等。

一、题型分布和变化综述

2020年高考数学浙江卷所对应的题型、考点及相应的难度剖析如表1所示：

从表1中可以看出2020年高考数学浙江卷与往年的变化情况：

（1）选择题与填空题的整体难度较往年有所下降；今年选择题的最后一题考查的是集合的新定义问题，也是浙江卷第一次将集合题作为选择题的最后一题，考查逻辑推理能力；填空题的最后一题还是以平面向量来合理设置。这两类题型考查的范围囊括高中数学绝大部分的书本知识，以基础知识为主，二级结论为辅，除各自的最后一题外，都是抢分的主要对象。

（2）解答题延续了浙江卷的传统，分别考查三角函数或解三角形、立体几何与空间向量、数列、圆锥曲线和函数与导数等主干知识。同时高考解答题的整体难度有所上升，而且各不同试题的难度比较平均，相差不大，都需要严密的思考、大量的运算、合理的逻辑推理等。

评析：根据条件中的模的不等式，两边平方处理，进而得以确定e1·e2的取值范围，利用平面向量的数量积运算及模的公式，利用夹角公式加以转化，并转化为涉及e1·e2的关系式，利用反比例函数的图像与性质确定相应的最值问题即可。平方法是破解此类问题时最常见的思维方式之一，也为问题的进一步深入与拓展指明了方向。

二、重视基础，突出主干

2020年高考数学浙江卷重视考查基础知识、基本技能、基本思想方法，同时稳固考查函数与导数、三角函数与解三角形、数列、立体几何与空间向量、解析几何等几大类高中数学的主干知识。其中第4、9、22题这三道函数与导数题，从函数图像、数形结合、代数运算与推理等多角度进行考查；第13、18题这两道三角函数与解三角形题，注重通性通法，关注对数学概念与公式的理解与掌握；第7、20题这两道数列题，是关于基本数列类型的应用，突出数列中的函数思想与核心问题；第8、15、21题这三道解析几何题，涉及双曲线、直线与圆、椭圆与抛物线等相应的解析几何的基础知识，数形结合思想，函数与方程思想，强调逻辑推理与代数运算等能力要求；第5、14、19题这三道立体几何与空间向量题，涉及三视图、空间几何体的表面积与体积、空间位置关系及空间角的求解等，知识覆盖面较广，能力要求高。

评析：根据条件分别确定两圆圆心的坐标与半径，结合直线与两圆均相切可知两圆的圆心到直线的距离均等于半径，由此建立相应的方程组，利用条件中参数的取值限制求解相应的方程组，从而确定参数值。这也是解析几何中破解此类问题最常见的方法，为问题的进一步变式与拓展提供了条件。

三、延续特色，坚持创新

2020年高考数学浙江卷延续了具有“浙江特色”的命题与考查风格，这也是浙江卷区别于其他试卷的一个重要特征。

（1）填空题继续采用多空设问的形式，第12、13、15、16题均是两空设置。

（2）试卷关注创新，灵活设问，不用通过复杂计算来区分学生，而是有意為思维具有深度、广度的考生留下一扇可以跳跃的、隐藏在题目背后的特殊通道。其中第9题可以从三次函数图像的特征分析不等式问题；第10题以集合与元素为背景，推陈出新，从元素的角度定义了两个集合之间的联系，学生需要读懂题目的内在含义，很好地考查学生临场应变的能力及逻辑推理能力；第17题把不等式与平面向量合理结合；第22题不变的是需要适当放缩，变化的是难度有所降低，以及需要考生具有较高的逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力等。

由此可以排除选项B。

故选择答案：A。

评析：根据题目条件，分别直接设出集合S有3个元素和4个元素的不同情况，通过条件中的创新定义确定集合，又反过来确定相应的比值满足集合S，进而对元素进行合理排序，根据集合元素的个数的确定性找出对应的元素，建立相应的关系式，从而确定满足条件的集合，利用集合运算得到∪并确定对应的元素个数，从而得以合理排除。抓住创新定义，从定义发出，直接推理，严谨、科学，只是推理过程较为繁杂。

四、教学指导，学习启示

（一）浙江高考的语文、英语、数学试卷从2023年开始不再自主命题，回归改用全国卷。对浙江自主命题的数学教学来说，试题对考生数学语言的阅读、理解、转化、表达等能力提出了较高的要求，盲目的题海战术不能让考生考出理想的成绩，教学过程中，还是要紧紧抓住数学基础知识和基本技能，从基础入手，不断深入，扎实提升。

（二）2020年高考数学浙江卷的一大特点就是：背景公平、熟悉，入口宽、易上手，注重分层设计，不超纲、不打擦边球等，考虑到所有不同层次学生的实际情况，由浅入深，分层考查，可以很好地区分出不同能力层次的学生，有利于高校合理选拔人才，从而在高中数学教学的科学评价上做出了一些有益的探索。比如，第9题是不等式问题，题干设计简洁，设问方式非常灵活，关注考生对不等式的性质与求解的掌握情况。而在实际破解时，可以通过基本的分类讨论求解，也可以通过数形结合、必要性探路等手段简化问题，给不同层次的考生提供了各自的发挥空间与余地。

（三）2020年高考数学浙江卷考查的内容都是高中数学中的基础知识和常规方法，区别只是理解能力、逻辑推理能力及代数运算能力的差别，进一步拓展数学思维，提升数学应用能力，为不同层次的学生提供具有区分度的展示平台，充分反映不同学习层次学生的真实水平，让不同的学生都有学习成就感与机遇。比如，第20、21、22题这三道解答题中的第（I）问分别是求解等比数列的公比与数列的通项、抛物线的焦点坐标、证明函数有唯一零点等比较基本与常见的问题，这样的设计降低了起点，容易上手，为对这三道题第（II）问的深入研究提供了思路与方法。

（四）对新高二的学生来说，在不松懈高一数学内容学习的基础上，对函数、三角函数、数列、平面向量、不等式这五块内容的基础知识、二级结论、解题模型等，要进一步掌握与提升，这些内容在高考中的分值占比非常高，要随时回顾随时巩固，温故而知新。对新高三的学生来说，奋战2022年高考过程中，一定要把基础知识再从头巩固，知识面要广、覆盖面要大，不断总结题型及对应的解题技巧，掌握数学思想方法。