强化应用：走好数学学习“后半程”
——《“有余数的除法”综合练习课》教学解析与思考

文｜叶 柱（特级教师）

什么是数学学习的“后半程”？或许，我们可以有两种理解：其一，在立足教材编排体系而展开的数学学习中，“前半程”可以看作是蕴涵各种新概念、涉及各种新意义、关联各种新思路的新授课，而“后半程”则是熟能生巧、融会贯通的练习（复习）课；其二，换个角度看，数学学习本质上是一个“抽象——推理——应用”的完整过程，即先从现实中“抽象”出数学，再通过“推理”促成数学体系的内部发展，最后在“应用”中回归现实。所以，数学学习的“后半程”，也可视为“抽象”“推理”之后的“应用”阶段。

金雪梅、章渊两位青年教师执教的《“有余数的除法”综合练习课》，是巩固新知教学的练习课，也是解决实际问题的应用课，在数学学习中处于典型的“后半程”。那么，怎样走好这段“后半程”呢？下面，我想重点围绕上面所述的第二种理解，从“强化应用”的角度，来谈谈自己的思考。

一、强化应用，需要“瞻前顾后”

从促进学生发展的角度来看，“应用”不该是“搬用”“套用”，而该是带着已有储备、进入现实场景，并根据实际需求发掘自身潜能、调用所需资源，来解决问题、达成目的。整个过程，具有一定的灵活性与挑战性。因此，在展开应用的前夕，重视已有经验的激活，唤醒学生对于旧知“拿捏”的“手感”，为实际应用做好扎实铺垫，便显得很有必要。

在金老师的课中，通过“分矿泉水”的数学活动，学生对于平均分的含义、有余数除法的产生与意义、各部分名称及关系进行了细致梳理。这个过程并不是机械刻板的，而是饶有趣味的。教师善于通过“猜一猜，每人分到几瓶矿泉水”“如果想要每个人再多分1 瓶，还需要增加几瓶矿泉水”等设问，让整个环节具有探索味与新鲜感。在我看来，这段课堂时光是“瞻前顾后”的。所谓“瞻前”，自然是指回顾了旧知；而所谓“顾后”，是鉴于后续开展解决问题的需要，开启了“学校派7 名同学去参加数学夏令营”的应用背景，成为了全课“情境串”的起点。再说章老师的课，通过学生自己举例来复习旧知，这与接下来的“通过自主编题来促进应用”在总体风格上是一以贯之的，具有整体性。

二、强化应用，需要“众里寻他”

两节课里，我始终关注着学生对解题思路的阐述。金老师的课上，对于“22 名男生参加了本次夏令营活动，每间大房可以住6 人，每间小房可以住4 人。如果都住大房，最多住满几间？”学生回答：“22 个人，每6 人一间，可以住满3 间，还剩4 人，也就是22÷6=3（间）……4（人）。”章老师的课上，直面“小旗按‘红、红、绿、蓝’的颜色顺序重复排列，第34 面小旗是什么颜色的？”学生回答：“34÷4=8（组）……2（面），‘红、红、绿、蓝’4 面旗为一组，有8 组，还多2 面，也就是下一组的前2 面小旗，颜色为‘红、红’。”毋庸置疑，丰富多彩的情境外衣下，复杂多变的信息丛林里，藏着一颗纯真的数学内核。而解说思路的两位学生，显然具备了一双透视迷雾的“火眼金睛”。

很多学生之所以惧怕解决问题（应用题），根源在于“乱花渐欲迷人眼”，在陷入现实情境后，看不透、摸不着、理不清隐藏其中的数学原型，最终导致盲目列式、胡乱解答。所以，应用的过程中，无论基于何种场景，不管面对哪种任务，“众里寻他”是最核心的环节。“众”指丰富复杂的问题情境，“他”指纯粹简明的数学模型。前面描述思路的两位学生，显然已具有“众里寻他”的基本能力。唯有不断寻找、持续索求，学生才能逐渐拥有一双数学慧眼。

当然，从更高要求看，两位教师在“众里寻他”的既定方向上，想得可以更深一些，教得可以更准一点。

1.洞察“除法模型”。

两位教师都非常重视让学生在列式解答后阐述思路、促进理解，这当然很重要。但另一方面，面对某个现实问题，我们在动笔列式前，怎么判定这个问题是否适合用有余数的除法来解决？从某种意义上讲，“解前预判”比“解后诠释”更重要。所以帮助学生从整体上把握现实问题的数学本质，两节课都还有改进的空间。当然，“是否有余数”，算了才知道，所以，“解前预判”的核心指向便成为了：这个问题为什么是除法问题？像“矿泉水一共有25 瓶，平均分给7 名同学，能刚好分完吗？”就是“把25 平均分成7 份，求每份数”，用除法；像“小旗按‘红、红、绿、蓝’的颜色顺序重复排列，第34面小旗是什么颜色的”就是“求34 里面包含着几个4”，用除法……在遇见这些现实问题之初，尽管还未动笔解答，引领学生形成“解前预判”的意识，敏感分辨其中所含的“平均分成几份”“包含几个几”的数学本质，进而萌生“用除法解决”的策略倾向，是“众里寻他”的应有之义。

2.领悟“有余结构”。

两节课都涉及到了一个综合性很强的实际问题：“22 名男生参加了本次夏令营活动，每间大房可以住6 人，每间小房可以住4 人。怎样安排房间，刚好能住满？”很多学生在解答时，也会通过“凑数”来推进：假设大房住满1 间，还要安排16 人，正好小房住满4 间；假设大房住满2 间……这个过程中，“有序思考”确实显示了迷人魅力。那么，问题来了，在“用有余数的除法解决问题”的课时中，这道题的价值何在？金老师在教学过程中有一段引导：“观察‘22÷6=3（间）……4（人）’这个算式，余数是4，刚好可以再住1 间小房；观察‘22÷4=5（间）……2（人）’这个算式，余数是2，我们可以减少一间小房，多出的4 人加余下的2 人刚好6 人，加1 间大房。”从中，我们是否可以有此共识：“有余数的除法”并非解决这个问题的唯一方法，但是，明确了本题的“有余结构”，就能在解决问题时多一种思维模式、多一根研究拐棍、多一条推理路径，学生也就多了一份实实在在的解题能力。事实上，很多小学阶段的挑战性问题都可以依托其中的“有余结构”、用除法模型来帮助思辨。因此，两位教师应始终注意通过“点睛式”教学语言，引领学生感受到“有余数的除法”在解决问题过程中的重要价值。

三、强化应用，需要“留存经验”

应用的归宿在于解决问题，也在于“学会应用”。因此，不能只顾低头解题、盲目操练，还需要适时停下来，望一望来路，悟一悟体会，理一理心得，不断积蓄、丰富数学应用的主体经验。这个过程中，尤其要重视以下经验的留存：

1.梳理信息的经验。

在一个实际问题中，信息通常是原生态的，且“披着情境外衣”，可能多余或不足。如何读懂、看透这些信息，对于解决问题很重要，是一项不可或缺的基本功。上文提到，用有余数的除法解决问题的过程中，从整体上把握“除法模型”、敏锐而准确地实现“众里寻他”是关键所在。而觉察到实际问题所包含的“除法模型”，必须建立在对每个信息的准确理解及相互关联的有效把握上。因此，解读信息时，教学节奏要适当放慢，有意放大“对照曾经解决过的相似问题来理解信息”“画示意图来理解信息”等鲜活经验，并推而广之，促进每位学生的经验优化。

2.把握问题的经验。

两节课中，都有“题目的所有条件不变，换一个问题来解决”的环节。对于这样的设计，个人深表赞同，有利于修炼学生对直面问题指向的敏感性。问题指明了解答的终极任务，聚焦了应用的核心焦点，所以，看懂、领会问题很重要。金老师、章老师都很重视让学生用自己的语言来说明两个问题的差异，呈现了一种“同伴分享，平等互教”的和谐氛围。只不过，相对而言，教师的点拨跟进需要适当加强。比如，学生交流后，教师可以故作惊讶：“哦，我明白了，‘最多住满几间’关注的是房间，要做到‘每间都无空位’，可以不管余下的人；‘至少需要几间’关注的是人，要做到‘每人都不落下’，所以余下的人要再加1 个房间。”有了这样的适度提炼，“学”与“教”的匹配更紧密，更能促进学生认知水平的提升。

3.反思错例的经验。

两个课例中，几乎没能看到“错误”的影子。而事实上，实际应用本身就是一件有难度的事儿，具有挑战性，容易出现错误。且真正意义上的学习过程，是绕不开“错误”的。很多时候，“错误”是学生认知改造的重要起点。所以，教师要进一步树立“错误是资源，错例能育人”的意识，重视真实的错误，善用典型的错例，引领学生解读错例、反思错误，进而改进理解、拨正思路。