代数思维在小学数学教学中的渗透与培养

文｜金群英

小学生在认识数量关系的过程中，从“算术思维”转换到“代数思维”是一个质的飞跃。用代数方法解决数学问题，往往简单便捷，不但能使复杂问题简单化，还可使数学更贴近生活实际，体现其实用的特点，同时有利于加强中小学数学教学的衔接。在小学阶段，教师应尽早有意识地根据教材内容让学生接触一些简单的代数知识，逐步引导学生在解决问题时多运用代数的思维方式。这样不但对算术方法能够起到一定的巩固和加深作用，提升学生解决实际问题的能力，而且还对发展学生的逻辑思维能力起到一定的促进作用。人教版五年级上册的简易方程单元，是学生在小学阶段正式学习代数知识的单元，根据多年一线教学的经验，笔者认为在实际教学中，可以从以下四个方面渗透代数知识，培养学生的代数思维能力。

一、领会数与式的相等关系，为代数思维做铺垫

学生在还没有形成代数思维时一直认为：算式就是算式，数字就是数字，凡是列出的算式就是要算出结果的，一定是有一个得数的。但实际上一个字母、一个式子或含有字母的式子都是可以用来表示一个数量的。

例如：有40 个饺子，如果每盘装10 个，可以装几盘？

用40÷10=4（盘）来解答，结果是4 盘，这就是学生认为的正确答案。如果仅用式子“40÷10”来表示盘数，学生一定会认为是错的，因为还没有算出具体的得数。学生的潜意识中认为一个算式与一个数字是不一样的，并没有去思考算式和得数之间的关系。受思维定势影响，学生在初步学习代数的知识时，对类似“有m 个饺子，如果每盘装10 个，可以装m÷10 盘”这样的题中，用m÷10表示一个数量，觉得难以理解和接受。教学中经常碰到学生疑惑地问：m÷10 是表示几呢？这说明学生一下子还不能接受用一个式子来表示一个数的思维方式。因此，在前期学生尚未学习用字母表示数的相关知识时，教师就需要根据教材内容逐步有意识地去建立“一个式子也能表示一个数”的意识，让学生认识到式子和数之间的相等关系，一个算式经过计算后就能得到一个数，算式实际就是数的另一种形式，数和算式是相等的。

例如：简便计算57×101。

在计算这道题目时，把101拆成了一个算式：100+1，这个算式其实就是数字101 的另一种形式。教学过程中有意识地去强调数和算式之间的相等关系，可以促进学生理解代数式。另外，在解决实际问题时，为了暴露学生的思维过程和方式，在开始时采用分步列式的书写格式，也有利于学生建立“一个算式”就是“一个数”的认识，最后得到一个综合算式。

例如：1 公顷松柏林每天分泌杀菌素30 千克，24.5 公顷松柏林31 天分泌杀菌素多少千克？

先让学生分步列式24.5×30=735（千克），735×31=22 785（千克），然后指出这里的735 就是24.5×30 得到的，将735 改为24.5×30，得到一个综合算式24.5×30×31=22 785（千克）。当学生真正意识到算式也能表示数量的时候，他们就可以直接用算式来代替数量，从而列出综合算式解决问题了，同时也促进了学生抽象思维能力的发展。

二、渗透方程思维方式，为代数思维打基础

算术思维方式和代数思维方式之间并不是互相割裂、独立存在的，算术思维是代数思维的基础，代数思维是算术思维的发展。这两种思维方式是紧密联系，互相依存的。但是在小学阶段学生还没有正式系统地学习方程知识之前，学生还只会用算术思维方式去解决数学问题，尚未真正接触和理解代数思维方式。在前期的学习中学生已经接受并习惯了使用算术方法去思考、解决碰到的数学问题，形成了思维定势。在这种情况下，要一下子让学生采用代数的思维方式去思考数学问题，他们就会觉得既麻烦又不习惯，接受起来有一个过程。基于这种情况，在小学低段和中段的数学教学中，教师就应该有意识地渗透一些代数的思维方式，为高段方程的教学做铺垫。比如，四则运算中的等号往往被小学生当作是计算的标志，在学生作业中会出现类似16÷4＝4×6＝24 的错误。笔者认为，遇到这种情况，教师要让学生正确认识到等号实际上就是前后相等的标志，即：16÷4 和4之间是相等的关系，但16÷4 和4×6 之间却是不相等的，正确书写应该是：16÷4×6＝24。这样就让学生再次理解了等式的意义，也为后续学习方程做了铺垫。当教材中出现例如（）+7=12、3×（）=24、（）-7=15 这样的算式，可以有意识地渗透用字母表示数，也可以渗透一些方程的知识。教学中遇到这样的题型，教师可以抓住机会提前对学生进行引导，让学生意识到：未知的数也是可以和已知的数一起参加列式的。在这类问题的理解讨论过程中，虽然没有出现“等式”“方程”这样的词，但让学生提前接触、感受了代数的思维方式。

三、沟通算术与方程的联系，为代数思维搭桥梁

《数学课程标准（2011年版）》颁布之前，在小学五年级解简易方程的教学中，方程是根据四则运算中各部分间的关系变形的。实际上用这样的思维方式来求未知数，还是借助了算术的思路，利用了学生已有的知识，学生容易理解接受，书写过程也简单，因而计算的正确率也高。笔者根据多年的小学数学教学经验发现在每次测试中，计算题类型里正确率最高的就是解方程。大多数的期末测试该题型得分率是100%。但这样的解题方式，与中学的代数教学并不能很好地衔接，到了七年级，学生还是要重新学习用等式的基本性质来理解方程和解方程。《数学课程标准（2011年版）》颁布后，在方程的教学中，教材就安排了直接认识等式的基本性质，并运用等式的基本性质来理解方程并解方程，从而规避了上述弊端。

笔者在实际教学中发现存在这样的几个问题：

1.天平平衡的原理学生是能理解的，但如果因此就认为学生已经深刻理解了等式的性质并能在一两节课内就正确熟练运用等式的性质解各种类型的方程，那是高估了学生的认知水平了。

2.根据等式的性质来解方程，书写格式复杂、等式忽长忽短、对齐困难，还出现了更多的抄写、计算错误。根据教材要求熟练后可简写过程，又不利于暴露思考过程，正确率不高。

3.对于a-x=b 和a÷x=b 一类的方程，人教版在前一版本教材中刻意作了回避，但实际在用方程解决问题时，未知数不可避免地会出现在减数、除数的位置上。回避了a－x=b 或a÷x=b 类型的方程，会影响学生对方程解题优越性的认识，也会使学生运用性质的能力受挫。还会出现在用方程解决问题时，找到了等量关系，并据此列出了正确的方程，却无法解此类方程，直接影响了学生运用方程解题的信心。2013 版人教版教材对这两个类型的题目教学作出了调整，虽没有回避，但例题呈现的用等式的性质来求解的解法繁杂、书写步骤太多，相当一部分学生对解这类方程在需要方程左右两边同时去掉相同的未知数时经常判断失误，加之书本对该类型方程的练习量也安排不足，造成计算正确率低下，部分学生由此对解方程以及列方程解决问题产生畏难情绪。

4.等式基本性质中的相等关系的对称性，即a=b 则b=a。关于这个知识点，教材中没有安排内容进行铺垫、渗透，当学生在列方程解决问题时，列出了等号右边出现x 的方程时，无从下手，影响了学生解方程的技能。

笔者认为教学中出现的问题，并不是运用代数思路解方程造成的，运用等式的性质解方程的方向肯定是正确的。在小学阶段接触和学习一些代数知识，对学生的数学思维能力、解决实际问题的能力都有很大的帮助，也为学生初中阶段的代数学习奠定了基础。因此，在教学中可以根据学生的实际学情，灵活运用教材，毕竟对于用算术方法解方程，学生是有一定基础的。比如低年级的学生就已经会算如15-（ ）=7和15÷（ ）=3 之类的题目了，到五年级学简易方程就没有必要刻意回避了，解答a－x=b 和a÷x=b类型的方程，用算术方法理解又何妨？而且对于这两个类型的题目，用算术方法去解比用等式的性质去解更易于理解，书写格式清楚，计算正确率更高。何况算术方法和代数方法本就是相通的，教学中只需沟通两种思路，找到相同的地方即可。如解方程x－26＝15，学生自己做出了x＝15＋26，在学生理解了x－26＋26＝15＋26 之后，教师再引导学生去寻找两种方法的相同点，学生会发现实际上方程左边的－26＋26 抵消了，就剩下x＝15+26，这两种方法确实是相通的。同理，对于其他几种类型方程的求解过程，也可以进行解法上的沟通。（这样，借助等式的性质，使学生对用各部分关系解方程有更深入的理解，不需要背关系式来解方程。还能让学生体会到算术方法和代数之间的联系）这样处理后，不仅能把等式的基本性质及运用等式的基本性质解方程的代数思想潜移默化地渗透给学生，还强化了学生对用算术方法解方程的认知。

四、体验顺向思维方式，为代数思维导方向

笔者在学生时代学习数学时深有体会的是：学了代数，就觉得数学其实很简单有趣，其中的奥妙就在于思维方式的变化。小学一直比较强调突出的是用算术方法解题，而到了中学则侧重用代数方法思考问题。

小学阶段的数学题，有时确实可以考倒大学生，主要倒不是题目难度高，而是要求用算术方法去解较复杂的逆向问题，推理列式是比较困难的。可见这些复杂的逆向思维题目对小学生来说要求是高了些，所以有一部分学生在小学阶段对数学产生了畏难情绪。但是很多逆向思考的题目，一旦采用了方程的方法来解答，数量关系就清晰明了了，理解也就不困难了。

例如：鸡和兔的数量相同，两种动物的腿加起来共有48 条。鸡和兔各有多少只？

如果不用代数的思想去思考，也不用方程的方式去解答，那推理起来就复杂困难多了，可是用方程的方法来解就简单了。我国著名数学家吴文俊教授说：“四则难题用代数取而代之，这是完全正确的，对于数学教育是非常重要的。”因此，在小学数学教学中，一定要突出列方程解决问题的优越性，强化代数思维方式的训练。

根据小学数学教学大纲，在小学阶段对于代数思维方式的教学要求并不高，但这种思维方式是学生数学思维中不可或缺的，到中学阶段它还将成为主要的思维方式。代数思维不仅为学生解决实际问题提供了不同的解题策略，还有利于学生抽象思维的发展，更能帮助学生解决用算术方法难以解决的问题。作为教师，要从低年级就开始根据教材内容和学生的接受能力，逐步有意识地去渗透代数思维方式，使学生能提前接触这种思维方式直至真正接受并最终在解决实际问题时灵活应用。