有限元仿真在本科钢结构教学中的应用★

杨家琦

(中国矿业大学(北京)力学与建筑工程学院，北京 100083)

1 概述

有限单元法是一种在科学研究和工程分析中常用的数值仿真方法。有限元法的基本思路是，将连续体进行网格划分，形成有限个单元。每个单元由若干个节点组成，具备特定的插值函数，可以通过节点的相对位移，用插值函数计算出单元内部的应变场。随后，用数值积分的方法，根据单元上被赋予的材料属性，计算单元的应变能以及各个节点的反力[1]。由此，可以将复杂的连续体的问题转化为有限个具备明确位移-变形规则的单元的问题，通过力的平衡和变形协调进行求解。除了上述力学问题之外，有限元方法还可以解决热力学、电磁场、流体力学等方面的问题，因此在各个工程领域均得到了较为广泛的应用。仅就土木工程行业而言，当前市场上既有针对特定专业领域研发的专用有限元软件，如针对建筑、桥梁或杆系结构的SAP2000，Midas，针对岩土工程问题的Plaxis等，这类软件考虑了相关专业的使用习惯和设计规范，可以直接用作设计；也有功能强大适用性强的通用有限元软件，如ANSYS，ABAQUS，Marc，LS-Dyna等，这类软件由于不针对特定问题，操作有一定难度，但可以提供理论性更强的结果。目前国内部分专业实力较强的设计单位在复杂节点设计、结构抗震分析、超限工程等问题中，会采用通用有限元软件进行分析。此外，一些施工单位在重大项目或大型构件的施工和安装过程中，也会采用有限元方法对施工过程进行模拟仿真，以便提前发现潜在的问题并提出针对性的解决方案。理论证明，对于弹性问题，有限元方法可以收敛于解析解；对于材料本构关系简单明确的非线性问题，有限元方法具有较高的精度。钢结构主要由板件组成，可以简化成薄壳问题，且钢材的本构关系一般可简化成理想弹塑性，因此有限元方法对于分析钢结构问题具有较高的准确性，是相关领域科研工作的有效工具。

本科的钢结构课程，特别是《钢结构基本原理》，重点在于讲授钢结构的材料特性、连接节点和构件的设计与验算，主要以公式推导为主，同时介绍规范中对相关问题或失效模式的考虑方法。一般情况下，钢结构的设计过程，主要是考察构件在各种失效模式下的承载力，并从其中取最小值作为设计承载力。因此，学生对各种失效模式的理解，决定了他们能否掌握并运用相关理论公式对工程问题进行分析。然而，受各种条件的限制，在本科教学过程中，一般很难通过教学实验展示钢结构构件的各种失效模式。因此，部分学生反映钢结构教学偏于抽象，不够直观，公式繁杂，不便于理解和掌握相关知识。

有鉴于此，作者在本科课程《钢结构基本原理》的教学过程中，尝试用有限元模拟的方法，对钢结构的节点、构件及其各种失效模式进行仿真展示，提高了课堂教学的直观性，同时也激发了学生深入学习的兴趣。本文基于作者的课堂教学经验，介绍了有限元仿真与本科教学结合的方法，讨论了教学中的注意事项，并最终给出了一系列教学中用到的案例，供读者参考。

2 有限元仿真与本科钢结构教学的结合

2.1 运用有限元仿真进行教学的目的

《钢结构基本原理》是一门本科专业课，要求学生先修高等数学、理论力学、材料力学、结构力学等课程，因此，学生具备一定的力学基础，对应力、应变、强度等相关概念有所掌握，也对高等数学中微积分的“离散、求和、取极限”的方法论有一定认识。这些知识是学生理解有限元方法的基础。作者将有限元仿真与钢结构课程相结合的目的归纳为三项，即：直观地展现实际问题、训练学生的工程直觉、培养学生研究探索的兴趣。

首先，通过有限元仿真可以实现对钢结构的受力、变形、破坏的直观展示。有限元仿真可以作为教学实验的延伸，展示钢结构构件的多种破坏模式，同时可以将抽象的应力分布进行图形化的表达。例如压弯构件的稳定性问题，可以通过调整相关尺寸，在仿真过程中实现整体屈曲、翼缘板局部屈曲、腹板局部屈曲等，以此说明构件几何尺寸与屈曲模态之间的关系，并最终联系到设计规范中的相关公式以及局部的构造措施要求。这样，可以让学生对每一个计算公式与观察到的现象产生联系，便于对知识的掌握和理解。

其次，通过对仿真结果的图形化展示，训练学生的工程直觉。在工程实践领域，经验丰富的工程师通常对工程结构有一定的直觉，可以定性识别出传力路径、薄弱部位、变形方式、破坏模式等，能够提前发现方案中的潜在问题。这种直觉的培养，一般需要长时间的训练或大量的工程实践，特别是从工程事故中吸取经验教训。运用有限元仿真，可以快速地让学生接触到大量的案例。同时，在仿真结果图形化展示过程中可以采用放大变形倍数的方法，对细微的变形进行一定的夸张，更有助于学生理解外部作用与结构变形和内力的关系，更快地形成工程直觉。

第三，培养学生研究探索的兴趣。对于本科生而言，有限元方法属于超纲内容，部分学校并未开设相关课程。想要熟练掌握并运用有限元分析仿真技术，必须掌握大量力学和数学基础知识，因此不应要求学生掌握。但在课堂中对其进行展示，并鼓励学生课后尝试操作软件解决一些小的问题，可以激发学生自学理论知识的动力，不仅可以夯实之前所学的力学基础知识，对后续升学深造也有积极的作用。此外，随着各种分析手段的普及，具备有限元分析仿真方法逐渐成为了各大企业对技术人才的基本要求。让学生在本科学习阶段接触有限元方法并形成正确的理论观念，还可以帮助学生在毕业后更顺利的投入工作。

2.2 教学中的注意事项

需要注意的是，有限元理论涉及到大量力学、数学知识，以本科生有限的基础知识难以完全掌握，且在本课程的教学过程中，有限元只是起到辅助作用，目的并非要求学生掌握相关理论、方法和技术，因此不宜对相关理论做过于深入的讲解，否则会占用大量课堂时间，对教学起到相反的作用。另一方面，企业中有一部分工程师，即便具有研究生学历，对有限元的一些基本理论仍不甚理解，对各种软件产生了“迷信”，抛弃了基本的力学判断，导致分析结果失真。因此，给学生讲授基本的概念，让学生树立起对于分析工具的正确认识，是十分必要的。作者认为，在本科钢结构教学中融入有限元分析仿真，应注意下列问题：

第一，去繁就简，注重思想性。有限元是一种将连续体问题离散化的近似的数值方法，通过标准化的单元对不规则的连续体进行分割，将求解微分方程组的弹性力学问题转化成大量重复计算的求解线性方程组的问题。这种方法随着计算机技术的发展得以推广和应用，是现代应用数学领域的一大成就。在教学过程中，可以采用知识迁移的方法，首先将这种思想和微积分中的“离散-求和-取极限”进行类比，随后可以对结构力学课程中的“矩阵位移法”站在新的高度进行重新阐释，即矩阵位移法是针对梁单元的一种初等有限元方法，以此帮助学生加深对于有限元法的理解。

第二，阐释关键概念，重定性轻定量。对于初级有限元软件的用户而言，需要掌握的基本概念包括：单元、节点、边界条件、材料属性。其中，边界条件和材料属性，在专业基础课中已有讲授，因此只需要学生了解单元和节点的概念。通俗地讲，有限元分析的过程就是利用节点位移求取单元内部应变，结合材料属性，形成刚度矩阵，计算节点反力，最终求解平衡方程，如图1(a)所示。在授课过程中，可以举弹簧为例讲解上述求解过程，如图1(b)所示。而插值函数的选取、内部变形场的计算、应变能数值积分等概念和方法，可以简略，并不影响学生对于基本概念的理解。

第三，树立正确意识，破除对软件的“迷信”。在教学过程中应当强调，使用有限元分析进行仿真，必须建立在正确的力学假定和材料属性之上，在建模过程中需要对所分析的实际问题进行合理的简化，所得到的结果是在分析假定基础上的理论结果。如果简化不得当，或未全面考虑各种因素的影响，则无法得出正确结论。可以在教学中列举工程中比较常见的问题，例如：某工程为框架结构，二层顶板为转换层，通过深梁进行转换，如图2所示。设计人员在分析中错误地用梁单元来模拟转换层的深梁，导致分析结果失真。错误原因是，梁单元只能用于模拟细长杆件，无法体现深梁内部的应力应变分布，因此应当采用平面应力单元或壳单元进行建模。总之，应该让学生树立起正确运用分析工具的意识，即有限元仿真分析只能解决特定假定之下的问题，分析中要注重力学原理和基本概念，切不可盲目迷信软件计算的结果。

3 教学案例

本节展示了一些作者教学过程中常用的案例。这些案例是对教材内容或规范要求的阐释，教材采用丁阳编著的《钢结构设计原理(第2版)》[2](以下简称“教材”)，参考规范为GB 50017—2017钢结构设计规范[3]。主要包括：应力集中问题、高强螺栓连接问题、轴心受压构件的局部稳定性问题、梁的稳定性问题等。本节以大型通用有限元软件ABAQUS为例，较为详细地提供了建模方法和参数选取，其中用到了弹塑性分析、接触与摩擦、屈曲模态分析、后屈曲分析等技术手段，可以为教师的教学提供参考。

3.1 小孔应力集中问题

构件中孔洞、开槽等位置局部的峰值应力可以达到平均名义应力的数倍，称为应力集中现象。教材中用图3表达这一现象。

将上述问题简化为平面应力问题建立分析模型，采用缩减积分的平面应力单元(CPS4R)进行建模。模型尺寸为100 mm×200 mm长方形平板，正中有一椭圆形小孔，双轴长度分别为(15,5)，(10,5)，(5,5)，(5,10)，(5,15)，单位为mm。在底部施加固定边界限制其运动，在顶部施加100 MPa的竖向均布拉应力。材料按弹性考虑，弹性模量E=206 GPa，泊松比μ=0.3。计算结果如图4所示。

图4展示的是不同尺寸和方向的小孔所产生的Mises应力分布，即教材中所谓折算应力。由图4可以直观地看出，小孔的形状和方向对应力集中的影响。当缺陷的尖端越尖锐且垂直于外部荷载方向时，造成的应力集中就越严重。此外，从应力云图中，还可以观察到不同形状的缺陷对应力分布的影响范围。

3.2 承压型高强螺栓的受力

承压型高强螺栓的受力过程可分为弹性阶段、滑移阶段和弹塑性阶段，虽然以螺栓受剪或局部承压为极限状态，计算公式较为简单，但实际的受力过程比较复杂。为了展现承压型高强螺栓的受力全过程，建立了三维有限元模型。模型中，采用8.8级M16高强螺栓，弹性模量E=206 GPa，泊松比μ=0.3，屈服强度640 MPa，采用理想弹塑性模型，不考虑屈服后的强化作用。钢板厚度8 mm，单剪连接，螺栓孔直径为17 mm，材料为Q235钢，弹性模量E=206 GPa，泊松比μ=0.3，屈服强度235 MPa。建立1/2对称模型，在对称面上施加对称荷载，约束对称面上的节点垂直于对称面的平动自由度。所有部件均采用三维一阶缩减积分单元(C3D8R)进行建模。模型中共有5个接触对，分别是：1)上螺帽与上板；2)螺杆与上螺孔；3)上板与下板；4)螺杆与下螺孔；5)下螺帽与下板。为简化计算，所有接触面均采用“硬接触”(Hard contact)，摩擦系数取0.45。螺栓预紧力采用Bolt load命令进行设置，施加80 kN的预紧力。分析过程分两步进行。第一步(Step-1)中，螺栓预紧力由0增加至80 kN；第二步(Step-2)中，采用位移加载，将上板端部向右侧拉动。模拟结果如图5所示。

由图5可知，承压型高强螺栓的受力共分4个阶段，分别是弹性阶段、滑移阶段、承压弹性阶段和承压塑性阶段。教材中将承压弹性阶段和承压塑性阶段合并为弹塑性阶段。弹性阶段中，板件之间并未发生相对滑移，但由于螺帽与板件之间也存在摩擦，螺杆内部存在剪应力，说明螺杆在弹性阶段也贡献了一部分承载能力；随后进入滑动阶段，直到螺栓与孔壁发生接触；在承压弹性阶段，由于螺杆一定程度上阻止了板件的相对滑动，板件之间的滑动摩擦又变为静摩擦；随着加载的继续进行，螺栓发生较大的剪切变形，达到极限状态。在本算例中，可以通过有限元仿真，全面展示加载-失效的全过程，并可以观察到实验中难以观测的中间过程。

3.3 轴心受压构件的稳定性

轴心受压构件的稳定性是钢结构构件设计中的重要问题，其中包括腹板和翼缘的局部稳定问题以及整体稳定问题。在设计中，一般通过规定板的宽厚比，使得整体失稳先于局部失稳发生，避免局部失稳的发生。为了展示局部失稳的模式及板件宽厚比的影响，用有限元进行了建模与仿真。算例采用工字型截面，h×b=250×250，取三组翼缘板厚度(tf)和腹板厚度(tw)，分别为(16,10)，(20,10)和(20,16)，柱高L=2 000(上述单位均为mm)。采用三维线性缩减积分壳单元(S4R)进行建模。材料弹性模量E=206 GPa，泊松比μ=0.3。在屈曲模态分析中，只能将材料作为弹性材料进行考虑。将柱的上下截面分别耦合(Couple)在截面中心的参考点上，并对参考点施加球铰边界条件。采用ABAQUS的线性摄动(Linear perturbation)分析模块中的屈曲分析(Buckle)模块进行求解。求解时，在顶部参考点施加单位轴向荷载(1 kN)，如此求解出的特征值(Eigen value)即是弹性屈曲荷载(单位轴向荷载的倍数)。特征值分析结果如图6所示。

由图6可知，在腹板和翼缘较薄的时候，腹板和翼缘会同时发生局部屈曲，具有明显的波形特征；随着翼缘板厚度的增加，翼缘板的刚度增大，因此局部屈曲主要发生在腹板上。当腹板和翼缘均较厚时，构件将首先发生整体的弯曲屈曲。当然，由于这三个构件的设计均满足规范要求，一阶屈曲荷载均明显大于全截面受压屈服荷载，因此在实际中，上述构件并不容易发生图6中所示的屈曲模态，而更有可能发生全截面屈服，或因为初始缺陷的存在而发生局部屈服破坏。通过有限元仿真，可以让学生更好地理解弹性屈曲理论。

4 结语

本文总结了作者在本科钢结构课程中融入有限元仿真的教学经验。借助有限元仿真分析的方法，可以让学生更加直观地理解相关概念和理论公式，激发学生自主学习高等理论知识的兴趣。本文讨论了相关的教学方式和教学的侧重点，并给出了教材中部分重点难点问题的有限元建模方法，可供教师参考。作者认为，向本科生介绍高等理论时，要做到概念清晰准确，定性重于定量，以启发为主，鼓励实践应用，使得学生在不超过能力范围的前提下，能够了解正确的基本概念和原理，为后续升学深造或参加工作打下一定基础，给社会培养适应现代信息化生产技术的人才。