波形钢腹板组合箱梁剪力滞及剪切变形分析模型

何晓阳

（1.浙江省城市轨道交通智能运维技术与装备重点实验室，浙江 金华 321004；2.浙江师范大学工学院，浙江 金华 321004）

0 引言

波形钢腹板PC箱梁是一种新型的钢-混凝土组合结构形式。与传统的PC箱梁相比，其主要特点是用波形钢腹板代替传统的混凝土腹板，并同时施加体内及体外预应力。因此，该种结构不仅具有自重轻、造型美观、施工速度快等优点，还可提高预应力效率、消除传统PC箱梁常见的腹板开裂病害[1-4]。

由于波形钢腹板较薄，因此其剪切变形很大。国内外学者对波形钢腹板剪切变形对组合箱梁力学行为的影响进行了大量研究。贺君等[5]假定顶底板截面转角相同，但与整个截面转角不同，提出了波形钢腹板组合梁的挠度计算方法。聂建国等[6]将波形钢腹板箱梁的弯曲行为分解为桁架作用和弯曲作用，开发了剪切变形分析模型。陈卓异等[7]研究了波形钢腹板组合槽形梁的剪应力分布规律，建立了相应的剪切挠度计算公式。李明鸿等[8]推导了等截面波形钢腹板箱梁的剪应力，将剪切变形考虑到挠度计算中。Zhou等[9]考虑混凝土底板承受剪力，分别推导了变截面波形钢腹板箱梁弯曲及剪切变形的计算公式。冯建祥等[10]推导了考虑剪切变形及滑移的波形钢腹板梁力学响应解析解。陈夏春等[11]考虑混凝土翼板局部弯曲，建立了波形钢腹板组合梁的夹层梁模型。以上研究均表明波形钢腹板剪切变形对挠度的影响很大，但未考虑混凝土翼板的剪力滞效应。

箱梁结构包括波形钢腹板组合箱梁在弯曲荷载作用下均会产生剪力滞效应[12]。因此，根据拟平面假定[13]，学者们提出了各种波形钢腹板箱梁剪力滞效应的分析方法。李立峰等[14]利用能量变分法和模型试验，研究波形钢腹板组合箱梁的剪力滞效应。刘保东等[15]推导了波形钢腹板箱梁的挠度计算公式，发现不可忽略剪力滞及剪切变形对挠度的影响。姚浩等[16]提出了考虑剪力滞效应及剪切变形的波形钢腹板箱梁挠度计算方法，并分析了不同宽跨比及高跨比下剪切变形及剪力滞效应对挠度的影响。冀伟等[17]推导了波形钢腹板箱梁的挠度解析解，并研究了剪力滞及剪切变形对挠度的影响。李丽园等[18]从分析波形钢腹板箱梁各板的面内挠曲剪应力出发，给出能同时考虑各板剪切变形的剪切形式因子。姜瑞娟等[19]则给出了波形钢腹板箱梁剪力滞效应的有限差分法解。柳兴成等[20]考虑波形钢腹板和混凝土翼板的面内剪切变形，推导了波形钢腹板箱梁挠度的解析表达式。马驰等[21]构造考虑剪力滞和剪切变形的梁单元，研究了波形钢腹板箱梁的力学性能。孟胜利等[22]利用能量变分法及有限元软件共同研究了波形钢腹板组合箱梁剪力滞系数的横向及纵向分布。上述研究假定波形钢腹板箱梁的截面中性轴与形心轴重合，导致轴向平衡条件不能严格满足。为满足纵向平衡条件，陈水生等[23]在剪力滞位移函数中添加修正项，但添加的修正项物理意义不够直观明确。同时，综合考虑轴向平衡条件、剪力滞效应及剪切变形的波形钢腹板组合箱梁研究也很少。此外，轴向平衡条件对波形钢腹板箱梁变形与应力分析结果的影响几乎未见报道。

文中将在位移场中截面纵向位移以满足轴向平衡条件，并分别采用剪力滞强度函数及截面转角考虑剪力滞效应及剪切变形，建立波形钢腹板组合箱梁的力学分析模型。并利用有限元模型结果验证文中提出模型的有效性。最后，研究了轴向平衡条件对变形及应力计算结果的影响。

1 位移及应变场

图1给出了均布荷载作用下典型的波形钢腹板组合箱梁。其由混凝土顶板、混凝土底板、混凝土悬臂板及波形钢腹板组成。均布荷载对称地布置在波形钢腹板与混凝土上翼板交界处的上方，以避免箱梁出现扭转、畸变及横向弯曲。假设波形钢腹板或者钢翼板与混凝土翼板之间不存在界面滑移及上拔。此外，假定波形钢腹板承担全部的截面剪力，混凝土翼板承担全部的截面轴力及弯矩。图1中的O点为截面形心，ebf及etf分别为截面形心轴到混凝土上翼板或下翼板形心轴的距离。

图1 波形钢腹板组合箱梁

定义v（z）为截面任一点的竖向位移或挠度。在位移场中添加截面纵向位移以满足轴向平衡条件。采用剪力滞函数及截面转角分别描述箱梁翼板的剪力滞效应及波形钢腹板的剪切变形。因此，混凝土顶板、底板、悬臂板及波形钢腹板的纵向位移函数可分别表示为：

式中，i=1,2,3,4分别表示混凝土顶板、底板、悬臂板及波形钢腹板；w为截面纵向位移；φ为绕X轴的截面转角；f为剪力滞强度函数；ψi（i=1,2,3）分别为混凝土顶板、底板、悬臂板的剪力滞位移函数。

根据式（1）及式（2），各板的应力分量可表达为：

式中，εi，γi（i=1,2,3,4）分别为混凝土顶板、底板、悬臂板及波形钢腹板的正应变及剪应变。

由于波形钢腹板的褶皱效应，即轴向刚度很小，因此波形钢腹板的正应力可以忽略不计。假设混凝土及波形钢板均为线弹性材料，混凝土顶板、底板及悬臂板的正应力及剪应力，以及波形钢腹板的剪应力可表达为：

式中，Ec、Gc分别为混凝土的弹性模量及剪切模量；Ge为波形钢腹板的等效剪切模量，可按Gs（a1+a2）/（a1+a3）计算，其中Gs为波形钢腹板材料的剪切模量，而 a1，a2，a3见图 1。

剪力滞位移函数ψi可选为：

式中，2b1，2b2，b3分别为混凝土顶板、底板及悬臂板的宽度。

2 控制微分方程及边界条件

根据虚功原理，波形钢腹板组合箱梁的整体平衡方程可表达为：

式中，py为竖向均布荷载；L为箱梁跨径；Ai（i=1,2,3,4）为混凝土顶板、底板及悬臂板，以及波形钢腹板的积分区域。

将式（3）～式（9）代入式（13），通过分部积分可得控制微分方程如下：

对应的边界条件可写为：

式中，Af、Aw分别为混凝土各板面积之和与波形钢腹板面积；Bf为混凝土各板关于X轴的静矩之和；If为混凝土各板关于 X 轴的惯性矩之和；Afψ、Bfψ、Ifψ、Ifdψ分别为与剪力滞效应有关的混凝土翼板广义几何特性，可按下式计算：

由式（14）～式（17）可知，轴向平衡条件、翼板剪力滞效应及波形钢腹板剪切变形均已考虑在分析模型中。

3 控制微分方程求解

根据式（14）～式（16），可得以下包含位移变量的表达式：

式中：

D为积分常数。

将式（26）和式（27）代入式（17）可得：

式中：

根据式（32）可获取剪力滞强度函数表达式：

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式中

C1、C2为积分常数。

将式（36）代入式（26）及式（27），可获取截面纵向位移及截面转角表达式如下：

式中，C3～C6为积分常数。

将式（39）代入式（15），可推导获取竖向位移的表达式如下：

式中，C7为积分常数。

式（36）及式（38）～式（40）中的积分常数 D 及C1～C7可根据波形钢腹板组合箱梁两端的边界条件确定。典型的边界条件有简支、固定及自由3种。因此式（18）～式（21）可改写为：

（2） 固定端：w=0，v=0，φ=0，f=0。

（3） 自由端：w'=0，v'=-φ，φ'=0，f'=0。

当需要计算波形钢腹板组合箱梁混凝土顶板、底板、悬臂板及波形钢腹板的应力或应变时，可将式（36）及式（38）～ 式（40）分别代入式（7）～ 式（9）或式（3）～ 式（6）获取。

需要注意的是，在推导过程中移除截面纵向位移w（z），考虑轴向平衡条件的文中模型即可退化为传统模型，即不考虑轴向平衡条件的情况。

4 模型验证与分析

图2给出了波形钢腹板组合简支箱梁的截面、立面及荷载工况。该简支箱梁分别承受对称作用在两波形钢腹板上方的两种荷载工况：①均布荷载py=10kN/m；②跨中集中荷载P=25kN。采用的混凝土弹性模量及泊松比分别为34.5GPa及0.2，而波形钢腹板采用的钢材弹性模量及泊松比分别为206GPa及0.3。

图2 波形钢腹板组合箱梁的截面、立面及荷载（单位：cm）

为验证文中提出的分析模型，利用ANSYS建立波形钢腹板组合箱梁的三维有限元模型。其中，混凝土翼板离散成56000个SOLID185单元，波形钢腹板离散成6000个SHELL181单元。与SOLID185单元相比，SHELL181单元的节点除了平动自由度还拥有转动自由度，因此运用MPC法模拟波形钢腹板与混凝土翼板的固定连接。

表1显示了在均布荷载及集中荷载作用下波形钢腹板组合箱梁的跨中截面正应力。表1中应力计算点位置见图2。由表1可知，文中模型计算的跨中截面正应力与三维有限元模型结果比较吻合。与文中模型相比，由于忽略了轴向平衡条件，传统模型低估上翼板正应力，高估下翼板正应力。其中，在集中荷载工况下，传统模型低估了5.37%的上翼板与腹板交叉处（计算点B处）正应力。此外，在均布荷载和集中荷载作用下，混凝土各板均出现剪力滞效应，且与均布荷载工况相比，集中荷载工况下的剪力滞效应更为明显。

表1 波形钢腹板组合箱梁跨中截面应力MPa

图3则给出了均布荷载及集中荷载作用下波形钢腹板组合箱梁挠度曲线。由图3可知，在均布荷载及集中荷载工况下，文中模型计算的挠度曲线均与有限元模型结果比较接近。其中，对于均布及集中荷载工况，文中模型与有限元模型计算的跨中挠度差距分别为4.84%、6.20%。此外，文中模型与传统模型获得的挠度几乎一致，可见，轴向平衡条件对挠度计算的影响可以忽略。

图3 波形钢腹板组合箱梁挠度曲线

5 结语

文中建立了考虑轴向平衡的波形钢腹板组合箱梁剪力滞效应及剪切变形分析的理论模型。通过在位移场中添加截面纵向位移以实现轴向平衡，引入剪力滞强度函数及截面转角分别考虑混凝土翼板的剪力滞效应及波形钢腹板的剪切变形。根据虚功原理建立组合箱梁的控制微分方程，并推导了各位移变量的解析表达式。采用有限元模型验证了理论模型和解析表达式的正确性及精度。同时结合算例分析表明，可以忽略轴向平衡条件对挠度计算的影响，但需重视轴向平衡条件对集中荷载工况下截面正应力的影响。