数学通报2596号问题的另证与推广

湖南省常德市第三中学 陆信明 （邮编：415000）

2021年第4期《数学通报》刊登了彭翕成老师提供的问题2596号如下：

1 问题呈现

如图，在△ABC中作中线BM，已知∠ABM＝∠A+∠C，求证

彭老师给出了利用高中正余弦定理以及三角变换等知识的证明过程，现给出两种利用初中平面几何知识的证法以及对该问题的推广.

2 问题证明

证法一如图1，取AB的中点D，连接DM，因为点M是AC中点，所以DM是△ABC的中位线，

图1

所以DM∥BC，BC＝2DM，所以∠AMD＝∠C，

因为∠MDB＝∠AMD+∠A，∠ABM＝∠A+∠C，

所以∠MDB＝∠ABM，所以DM＝BM，所以BC＝2BM.

如图2，过点M作ME⊥AB于点E，

图2

因为DM＝BM，所以DE＝BE，

因为DA＝DB，所以AE＝3BE，

证法二如图3，过点A作BC的平行线交BM的延长线于点D，

图3

因为AD∥BC，所以∠DAM＝∠C，∠D＝∠CBM，

因为AM＝CM，所以△ADM≌△CBM，

所以AD＝BC，DM＝BM，

因为∠DAB＝∠DAC+∠BAM，∠ABM＝∠C+∠A，

所以∠DAB＝∠ABM，所以DA＝DB，所以BC＝DA＝DB＝2BM.

如图4，取AB中点E，连接ME，连接DE交AC于点F，

图4

因为DA＝DB，

所以DE⊥AB，

因为点M是BD中点，所以EM是△BAD的中位线，

所以EM∥AD，AD＝2EM，

所以△ADF∽△MEF，所以

3 推广

如图，在△ABC的边AC上有一点M，使得，已知∠ABM＝∠A+∠C，

注类比证法一即可得到证明过程，在此不再赘述.