破解图形旋转后精确定位的几种方法

同济大学附属实验中学 孙 虎 （邮编：201805）

图形旋转问题是初中几何教学中的重点和难点，在确定图形旋转前后位置的过程中，学生常会陷入僵局.一方面，由于教师在平常的教学过程中经常借助绘图软件直接呈现旋转的始末状态，从而降低甚至忽略了对学生的作图要求；另一方面，在研究旋转前后图形位置的问题时，教师常常引导学生先绘制草图，再根据旋转前后的几何元素之间的相对关系确定精确图形.而在实际解决问题的过程中，学生常常在绘制草图既“猜测”运动后位置的过程中就陷入困境，从而无法确定图形旋转后元素之间的关系而无法成功解决问题.本文从深刻挖掘旋转的性质入手，借助几个问题对精确绘制旋转后的图形进行探讨，期望能对日常教学有所启发和帮助.

1 旋转本质再认识

如图1，△ABC绕平面内一点O逆时针旋转α后得 △A′B′C′，可以将这个过程看成A、B、C三点分别绕着以O为圆心的三个同心圆旋转α后并顺次联结A′、B′、C′各点所得的结果.由此可以得到以下几个性质：

图1

性质1对应点到旋转中心的距离相等（OA＝OA′，OB＝OB′，OC＝OC′）；

性质2对应点与旋转中心的连线所成角相等 且 都 等 于 旋 转 角（∠AOA′＝∠BOB′＝∠COC′＝α）；

性质 3对应线段相等（AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B′C′）；

性质 4对应角相等（∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′）；

性质5旋转前后两个图形的对应线段或对应线段所在直线相交所成的角中必有一个等于旋转角α，[1]（当A′B′与AB相交于点E时，有∠BEB′＝∠AOA′＝α）.

此外，还可以得到如下性质：

性质6旋转前后对应线段所在直线与旋转中心的距离保持不变（OH＝OH′），且对应线段所在直线就是以O为圆心，O到所在直线的距离为半径的圆的切线.

证明联结OB，OB′，由性质1和性质3易知OA＝OA′，OB＝OB′AB＝A′B′.

所以△AOB≌ △A′OB′（SSS）;

所以∠OBA＝∠OB′A′;在△BOH和△B′OH′中，有∠OHB＝∠OH′B′，∠HBO＝∠H′B′O，OB＝OB′，所以 △BOH≌ △B′OH′（AAS），所以OH＝OH′.

性质7旋转可逆（△ABC绕点O逆时针旋转α得到 △A′B′C′的过程也可以看成 △A′B′C′绕点O顺时针旋转α后得到△ABC的过程）.

借助以上对旋转问题性质的分析，可以让学生在解决几何问题的过程中对图形元素的位置和数量关系有更加深刻的认识，从而在问题解决过程中变被动解题为主动尝试，既积累了解题经验，又把握了旋转问题的客观规律和本质特征.

2 认清“三点共线”图，“等距”“可逆”解疑难

例1（2019年长宁区二模）如图2，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，将△ABC绕着点C旋转，点A、B的对应点分别是点A′、B′，若点B′恰好在线段AA′的延长线上，则AA′的长等于____.

图2

分析点C是旋转中心，当△ABC绕点C旋转后，A′、B′的位置都有待确定.题干中的“点B′恰好在线段AA′的延长线上”可以转述为等价语言“A、A′、B′在同一条直线上”，但是无论哪种表述都无法直接进行精确绘图，在教学过程中可以先引导学生先绘制出草图，寻找出元素之间的关系再进行精确绘图和解决问题.

解法一（画草图解决问题）

当△ABC旋转至满足条件的位置后，可以先绘制如图3的草图，由旋转的性质，易知△ACA′为等腰三角形，过C作CH⊥AA′，垂足为H，因为“点B′恰好在线段AA′的延长线上”，可以获得Rt△B′HC，因为∠B′＝∠B，且易知所以B′H＝cos∠B′·所以

图3

评注画草图是解决图形运动问题的常用方法，通过草图寻找旋转过程中几何元素之间的显著特征进行研究，从而让旋转的结果更加清晰.在实际教学过程中，通过绘制草图解决运动问题的难点在于很多学生无法通过问题描述正确确定图形的位置，甚至绘制出错误的草图误导自己的问题解决过程.那么，能否通过图形的性质直接绘制精确的图形呢？

解法二（依据“距离不变”解决问题）

由旋转的性质6可知，在旋转的过程中，线段AB所在直线与旋转中心C的距离保持不变.如图4，过C作AB的垂线，垂足为D.可知，BD在旋转前后都是以O为圆心，OD为半径的圆的切线.以此为基础，可以将“若点B′恰好在线段AA′的延长线上”转述为“圆O的切线恰好过点A”，便可以过点A作圆O的切线，切点为D′，依据旋转前后“对应线段的长度相等”，可以分别延长AD′到点A′、B′，使A′D′＝AD，A′B′＝AB，最后，联结B′C，通过以上步骤便可以精确绘制出旋转后的图形并求解.

图4

评注通过对旋转性质6的简单运用，就可以将原先连草图都难以画出的图形运动精确地绘制出运动后的状态，在实际的解题教学过程中也比较容易让学生理解.但是从精确绘图的角度来说，通过圆外一点作圆的切线，精确地找到切点的难度也比较大，从这个角度出发，解法二的描述还不是最精确的作法（当然可以通过略微复杂的办法精确找到切点）.

解法三（依据“旋转可逆”解决问题）

由旋转的性质7可知，旋转前后的图形相对位置不会发生变化.换句话说，如果通过旋转前的位置可以画出旋转后的位置，那一定也可以通过旋转后的位置画出旋转前的位置.对于本题而言，通过画草图确定旋转后的位置比较困难，那不妨将所给图形△ABC看成旋转后的图形△A′B′C，通过这种方式画出旋转前的图形以确定他们的相对位置.如图，将 △ABC重新标记为 △A′B′C，因为A、A′、B′在同一条直线上，且A′C＝AC，便可作图.如图5，以C为圆心、AC长为半径画圆，与B′A′的延长线交于点A（从解题的角度，此时已经可求AA′的长），分别以C、A为圆心，CB′、A′B′长为半径画弧，交于点B，△ABC即为所做旋转前的图形.

图5

评注由于本题中的关键信息A′、B′都在旋转后的图形上，问题便成了“绘制一条未知直线过一个已知定点”，由于涉及到的限制较多，导致难度大增.然而，通过“旋转可逆”的性质，将这一绘图要求转化为“在一条已知直线上确定一个未知点”，而且需要满足的条件只有“到旋转中心的距离不变”，难度几乎没有.可见，在解决图形旋转的问题中，巧妙运用旋转可逆的性质，可以将问题的难度降低很多.

变式1在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，cosA＝如图6）.△ABC绕着点C旋转，点A、B的对应点分别记为A′、B′，A′B′与边AB相交于点E.如果A′B′⊥AC，那么线段B′E的长为___.

图6

简析变式1指出旋转后的边与原三角形的边有特殊的位置关系（互相垂直），思考方式与例1几乎一致，都可以从旋转过程中线段与旋转中心的距离不变、旋转可逆两个角度进行问题解决，具体过程请有兴趣的读者自行研究（参考答案：

3 旋转要素不确定，等价转换破真相

例 2已 知 ，在 △ABC中 ，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，点D、E分别在边AC、BC上，且CD:CE＝3:4.将△CDE绕点D顺时针旋转，当点C落在线段DE上的点C′处时，BC′恰好是∠ABC的平分线，此时线段CD的长是___.

分析与常规的旋转问题相比，本题的难点主要有以下几个：①学生需要根据描述自己绘制符合条件的图形；②旋转中心是AC边上的一个动点，位置无法确定；③旋转后点C的落点位置也未知，以上三个难点使得大多数解题者无法确定旋转后的图形，从而无法准确分析各个元素之间的数量关系.

解析如图7，根据描述无法确定线段DE的具体位置，但是，易知DE∥AB.从而确定旋转三要素中的旋转角α即为∠CDE＝∠A.由旋转性质3可知DC＝DC′，所以△DCC′为顶角等于旋转角α的等腰三角形，CC′为底边，根据等腰三角形的三线合一的性质可以知，CC′与△DCC′顶角的角平分线互相垂直，而顶角的角平分线与∠A的角平分线互相平行.容易确定底边的位置，等腰△DCC′的底边与∠ABC的平分线的交点既为点C′.

图7

步骤一作∠A的角平分线，与边BC交于点F；

步骤二过C作CG⊥AF，交边AB于点G;

步骤三作∠B的角平分线，与CG交于点C′；

步骤四过C′作DE∥AB，分别与边AC、BC交于D、E两点.

因为BC′平分∠B，所以∠ABC′＝∠EBC′，因 为DE∥AB，所 以 ∠EC′B＝∠ABC′，所 以∠EC′B＝∠EBC′，所以EC′＝BE.令CD＝3a，则有DE＝5a，CE＝4a，DC′＝DC＝3a，C′E＝DE-DC′＝2a，BE＝C′E＝2a.所 以CE+BE＝4a+2a＝6a＝12，解得a＝2，所以CD＝3a＝6.

评注解答此题的关键在于旋转中心点D的具体位置的确定，而确定点D的位置又恰是本题的难点.本题中，点D的位置虽然未确定，但是通过旋转前CD所在直线与旋转后C′D所在直线的夹角确定旋转角的大小，再根据旋转过程中对应线段的长度相等的性质，得到顶角大小、一腰方向、底边上的一个顶点确定的等腰三角形△CDC′.从而获得CC′所在直线，再根据两条直线相交于一点确定C′的位置，继而解决问题.可见，在旋转要素残缺的问题中，充分利用旋转性质挖掘隐藏信息，将几何元素的关系进行转换使得隐藏信息显性化是解决这类问题的一大法宝.

变式2如图9，△ABC为边长为9的等边三角形，E为边AB的中点，D为BC边上的点，将△CDE绕点D顺时针旋转（旋转角 0＜α＜180°），点C、E的对应 点 分 别 为C′、E′，当C′E′∥AB时 恰 好 经 过△ABC的重心，则此时线段CD的长为______.

图9

简析由CE与AB在旋转前夹角为90°，旋转后相互平行可知，旋转角α＝90°，所以△CDC′为等腰直角三角形，可知 ∠DCC′＝45°.因为C′E′经过重心，可以过重心作AB的平行线，与CC′相交于点C′.具体过程请有兴趣的读者自己尝试（参考答案：9-3）.

4 线段关系不确定，相似性质来帮忙

例 3如图10，在△ABC中 ，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕边AB上点P旋转得 △A′B′C′，若CC′恰好是AA′与BB′的比例中项，则AP:PB＝____.

图10

分析例3关注旋转前后对应点连线之间的关系，不借助旋转基本性质进行研究会难以入手.从旋转的性质出发，因为对应点与旋转中心的连线所成角都等于旋转角α，再根据对应线段相等可知，每一组对应点与旋转中心构成的三角形都是彼此相似的等腰三角形，通过以上分析，可以将对应点连线的问题转化为点到旋转中心的问题，本题便可迎刃而解.

解析如图11，联结A′P、B′P、CP、C′P，易知∠APA′＝∠BPB′＝∠CPC′，AP＝A′P，BP＝B′P，CP＝C′P.所以△APA′∽ △CPC′∽ △BPB′，所以当CC′2＝AA′·BB′时，CP2＝AP·BP即在Rt△ACB中：①当P为AB中点时，有AP＝BP＝CP，此时AP:PB＝1；②当△APC∽△CPB即CP⊥AB时，易知，所以有综上有AP:BP＝或1.

图11

评注旋转过程中，对应点与旋转中心所成的等腰三角形彼此相似，在这一背景下，对应点连线之间的数量和位置关系可以转化为相似三角形之间的对应关系进行研究，通过合理的转化，既可以让解题思路更加清晰，也可以加深对运动本质的深刻理解.

变式3如图12，已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，BD平分∠ABC，将△ABC绕着点A旋转后，点B、C的对应点分别记为B′、C′，如果点B′落在射线BD上，那么CC′的长度为_____.

图12

简析由条件中的点B′落在射线BD上，可以确定三角形旋转后的确切位置，根据题干画出图形以后，虽然CC′的位置确定，但是由于△CAC′∽△BAB′，可以通过线段之比将其转化，从而获得结果.（参考答案

5 教学启示

解决旋转问题要关注图形运动的过程.从以上旋转问题的解决可以看出，旋转问题初始和最终位置的确定是解决问题的重点，常规方法就是按照旋转规则画出每个关键点的对应点再顺次联结.但是本文的例1和例2都无法直接通过描述绘制出旋转后的图形，这就要求教师在教学过程中引导学生对旋转的本质进行分析，紧紧抓住旋转过程中保持不变的位置和数量关系.在应用“图形旋转”对几何图形运动问题展开探究时，要培养学生熟练地转换运动和静止这两种不同状态，通过拓展学生的想象空间，挖掘知识间的内在联系，进而利用旋转的基本性质找到解题途径.[2]

旋转问题的解决要注重学生逻辑思维能力和理性思维水平的培养.几何学培养逻辑思维能力的过程，是以“形”为研究对象，逐步深人地引导学生合乎逻辑地思考的过程.[3]旋转等图形运动问题的解决有依靠直觉的部分，比如通过绘制草图获得精确的位置和数量关系.但是在教学过程中，也不能忽视逻辑思维能力等理性特征的发展，因为几何是启发逻辑思维和培养演绎推理能力的最有效的途径[4]，所以教师要通过引导学生通过对几何性质的深度挖掘，获取运动过程中明确的概念结构和严谨的逻辑体系，从而更高效地解决问题.