依托生活情境 促进概念生成

孟菲菲

【摘 要】 概念是数学学习中一个非常重要的载体，是数学教学中一个非常重要的基点.本设计依托生活情境，通过教师引导，让学生自然生成概念，展示了概念教学的一个范式，对今后的概念课教学起着示范作用.

【关键词】 生活情境;变量;对应;函数概念

概念在数学学习中是非常重要的，它能反映出很多数学思想和深刻的内涵，因此概念教学是数学教学中一个非常重要的基点.在实际教学中对于概念教学，老师和学生却有不重视的倾向.很多教师在课中把概念用很短的时间交代一下，接着辅以大量的习题训练，把概念课变成了解题课，造成对概念理解的不足，走入用做题来学习数学的误区，这样会造成学生在面对综合问题时往往不能很好解决，而困难的产生通常是源于对基础概念的理解不透彻.对概念教学进行深入细致研究的文章较少，文[1][2]对概念教学做了一定研究.本文在概念教学方面从一个新的角度展示.

函数是初中数学的一个核心概念，借助函数的概念可以帮助学生判断遇到的关系是否为函数关系.“6.1函数”是苏科版数学教材八年级上册的内容，作为函数的起始课，起到引领整个函数学习的作用，其意义非常重大.本设计依托生活情境，通过教师的不断引导，让学生自然生成概念，在更深层面上研究了函数的概念，展示了概念教学的一个范式，对今后的概念课教学起着示范作用.

1 教学目标与目标解析

1.1 教学目标

（1）通过简单的例子让同学们了解常量及变量的含义，能够在问题情况下找到常量和变量;

（2）通过具体情境分析，理解和掌握函数的概念，能够从函数的概念判断两个变量之间的关系是否为函数关系;

（3）经历函数概念的生成和发生过程，初步体验从特殊到一般，由具体转换成为抽象的思维过程，找出概念中的几个要点，渗透归纳思维方法.

1.2 目标解析

达成教学目标（1）的标志是能从一个具体的问题情境中找出所有的量，并能准确的区分它们是常量还是变量.

达成教学目标（2）的标志是：可以准确地确定两个变量之间的关系是否是函数关系，并且可以使用函数的概念来判断.

达成教学目标（3）的标志是在过程（1）和（2）中，学生通过交流共同工作，充分体验从具体到一般、由具体到抽象的过程.

2 教学问题诊断分析

对于函数这个概念，抽象又不易理解，选择问题情境时既要能适应学生在这一時期的能力发展水平，又要能促进他们的思维向高一阶段发展.教学时要引导学生通过观察、类比、分析、归纳等思维活动，发现多个问题情境总有这样三个共性特征：1.一个变化过程;2.有两个变量x与y;3.当x每取一个值时，y都有唯一一个值与它对应，然后将其数学化，概括出函数的概念，体会归纳的思想方法.

研究函数这个概念时往往要结合大量的具体情境加以分析和归纳，要体会三个共性特征都是规定的且缺一不可，特别是学生对“当x每取一个值时，y都有唯一一个值与它对应”的理解，教师科学性的引导是必不可少的.

学生需要理解函数的概念是什么，并能紧紧围绕概念函数确定两个变量之间的关系是否为函数关系，此知识的困难点在于如何理解功能概念的要素.

3 学情分析

从知识上看，学生已经具备了在具体的问题情境中找出变化的量、不变的量的能力，因此，学习常量和变量的概念并不困难，函数的功能主要是为了研究变量和变量之间的关系，学生以前从未学过相关知识，也不能找到已经学过并与之相关联的内容，而函数概念非常的抽象，特别难以理解和教学，它是一个全新的知识，因此教会学生学习函数的方法与学习函数的经验对今后各类函数的学习就显得至关重要.

站在思维的角度层面上分析，八年级学生已经具备了抽象逻辑思维的初步能力，因此，作为老师而言教育内容需要将其变得更加的具体、形象，并且也需要呈现出来抽象、归纳和概括的要求[1].所以在教学中，为了让学生形成函数的概念，一方面要运用直观形象的素材和问题情境，引发学生的探究兴趣;另一方面要创造条件，引导学生经历独立思考、合作探究、分析对比、总结归纳、生成概念的过程，并给予学生发表见解的机会，教师要适时进行表扬与鼓励，充分发挥学生学习的主动性.

4 教学过程设计

4.1 问题情境师：老师早晨是开车过来的，来之前到加油站加了一箱油，向学生展示汽车加油时加油机的视频.

4.2 建构活动

活动一

问题1：（如图1）在加油过程中，涉及到哪些量？

问题2：加油后，汽车以60公里/小时的速度匀速从加油站开往学校.在汽车匀速行驶过程中涉及哪些量？

师：你能对问题1、问题2中的一些数量进行分类吗？依据是什么？

师生活动 教师播放加油过程中计价表的视频，并让学生回答问题1和问题2，说出两个问题中的量中哪些量变化？哪些量不变？教师要求学生分别给这两种量起名字.

设计意图 在具体的问题情境中，学生能找出其中的变化的量与不变的量，引导学生定义常量与变量，掌握常量与变量的概念.

活动二

问题3：加油过程过程中有几个变量？它们是怎样变化的？当加油的升数每取一个值时，加油的总金额都有唯一一个值与它对应吗？

师生活动 教师再次播放加油视频，在播放过程中频繁按下暂停键，让学生回答上诉问题，教师板书：（这里不妨设加油量为x升，加油的总金额为y元）变化的过程中有两个变量x与y，当x每取一个值时，y都有唯一一个值与它对应.

设计意图 帮助学生分析变化过程的要点，用频繁暂停的方式引起学生关注“当x每取一个值时，y都有唯一一个值与它对应”.

问题4：（如图2）气象站测得南京某日气温变化图.

（1）一天中3点、9点和16点的大致温度分别是多少？

（2）对于这一天的任意一个时刻，你都能从图中了解当时的气温吗？

师生活动 学生回答完上述问题后，教师应追问这样几个问题：

1.这是不是一个变化过程？

2.这个过程中有几个变量？它们是怎样变化的？

3.如果时间t取一个值，那么温度T是否有唯一值与之对应？

板书内容：变化过程包括两个变量t和T，对每一个t，T都有唯一的一个值与之对应.

设计意图 进一步强化学生熟悉研究变化过程的内容与方法.

问题5：（如图3）用火柴棒搭小鱼的游戏.

（1）搭小鱼的过程中，哪些量是变量.

（2）如果S表示火柴棒的根数，n表示小鱼的数量，是否可以用式子表示两者之间的关系？

师生活动 当展开了回答活动之后，我们继续问下面的问题：

1.这是不是一个变化过程？

2.这个过程中有几个变量？它们是怎样变化的？

3.当小鱼数量n取一个值时，火柴棒S是否有唯一一个值与之对应？

教师板书：变更过程包含两个变量n和S，对每一个n，S都有唯一一个值与之对应.

设计意图 进一步强化学生掌握研究变化过程的内容与方法.

4.3 数学认识

问题6：上述三个变化过程有哪些共同之处？

师生活动 教师将学生合理的分成了不同的小组，主要是为了让他们能够自由的讨论，并将整理好的一致观点进行发言或补充发言，最终形成一致结论：都是一个变化的过程，有两个变量（称为x和y），对于x的每个值，y都有唯一一个对应的值.

教师板书：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，所以我们称y为x的函数，其中x是自变量.

设计意图 学生通过前面的三个问题情境的研究，经历独立思考，合作交流，归纳总结的学习过程，能轻松理解函数的概念，并掌握函数的实质.

4.4 例题精讲

例1 用一米长的铁丝做一个长方形.a是矩形的长度，其与宽度b是否存在着函数关系？

师生活动 学生思考并回答上述问题，教师进行适当引导和评价，关键是学生能抓住函数概念的三个要素：1.是变化过程;2.有两个变量;3.b每取一个值时，a都有唯一一个值与它对应.

设计意图 学生通过具体实例识别函数的概念，在更深层面上强化概念.

例2 （如图4）水滴造成的这一圈又一圈的涟漪可以看作是一个不断向外扩展的圆圈.

这个过程中存在函数关系吗？你能说说看吗？

师生活动 这个问题相对较为开放，学生可以有不同的答案，只要说的有道理即可.注意：学生在解释变量之间的函数关系时一定要紧扣函数的概念.

设计意图 前面的问题情境中的两个变量都是直接给出的，而本题中存在多种函数关系，教师应引导学生从各个角度来探寻其中的函数模型，培养学生的发散性思维方式.

4.5 拓展提申

下表中y是x的函数吗？

师生活动 让学生们有一定的独立自主思考时间，再进行小组的讨论.引导学生紧扣函数的概念来进行判断，引导学生发现当x每取一个值时，y有两个值与它对应，不符合函数的概念.教师还可以追问x是y的函数吗？学生回答，教师加以引导并进行点评.

设计意图 函数概念的三个要素：1.变化过程;2.有两个变量;3.x每取一个值时，y都有唯一一个值与它对应.其中的核心与难点在于第三个要素，这也是学生最难以理解的，在这里当x每取一个值时，y有两个值与它对应，这个就不是函数.这个问题的设置起到引导学生对函数概念的第三要素进行辨析与理解的作用.

4.6 在问题情境中找寻函数模型

加完油，汽车以60km/h的速度从加油站匀速驶往学校，在汽车行驶过程中，存在函数关系吗？说说看.

设计意图 当问题情景中的变量有多个时，学生能根据函数的定义从中发现不同的函数模型，并能够充分利用所学的函数知识，来判断两个变量之间是否存在函数关系.

5 教学反思

这是一堂具有代表性的概念课教学.准备课程的时候需要加以明确本课程的要点.这节课的要点主要是讲清楚两个概念：一是常量与变量;二是函数的概念.

对于常量与变量的概念，可以设计一个问题情境，让学生从中找出里面所有的量进行分类，并进行命名，教师加以规范.这个概念比较简单，教师不必花费大量时间.

站在函数概念的角度上来分析，定义如下：一般来说，在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，那么y可以被称作是x的函数，x为自变量.如果单纯的用语言来表达，那么太复杂了，这成为了本次课程的难点.如何科学简单地引导学生在更深层面上理解函数的概念并且加以巩固和强化相关概念，是本课程的核心关键点.

5.1 引导学生得到函数概念的教学设计思路

教师设计了三个问题情境，分别是汽车加油问题、一昼夜气温随时间变化的问题、用火柴棒搭小鱼的问题，并各自设置了一些小问题.每个问题做完后我都会问几个同样的问题：一是一个变化过程吗？是怎么变化的？二是这个问题中有几个变量？分别是哪几个变量？三是当一个变量（具体问题具体对待）每取一个值时，另一个变量都有唯一一个值与它对应吗？并把学生的正确答案并排板书.在之后的学生探讨这三个问题情境有什么共同特征时，就很容易归纳出这样的结论：1.都是一个变化的过程;2.都有两个变量（教师告诉学生不妨记为x和y，也可以用其它的字母表示）x和y;3.对于x的每个值，都有唯一一個与之对应的y值.此时，学生自然而然地可以将函数的概念自己生成.

5.2 巩固强化函数概念的设计思路

在归纳出函数的概念之后，教师首先给出了几个问题，让学生回答是否存在函数关系？是哪两个量的函数关系？为什么？这样的问题的设置目的在于让学生反复对照函数的概念进行对比与辨析从而达到强化函数概念的效果.

其次，教师要求学生举出生活中的函数的例子，并说明理由.这个问题实际上是让学生建立函数模型，只有对函数概念达到理解透彻的程度才可以做到.将函数概念变为实际问题情境来理解是从另一个角度来强化函数的概念.

再次，教师设置了一个非函数的例子让学生加以辨析，让学生经历对比、分析、讨论的过程，从正面和反面两个角度对函数的概念进行强化.

最后，教师回到上课开始时的问题情境，让学生探寻其中的函数关系，形成函数建模的意识与习惯，从而更深一步强化函数的概念.

一堂好的概念课教学，一定要解决好学生怎样逐步生成概念以及怎样帮助学生巩固强化概念这样两个问题.教师要设计好的问题情境以及问题，要能调动和引导学生经历独立思考、实践操作、合作交流、归纳总结、巩固强化的过程，从而成为高效的课堂，而不是教师直接告诉学生概念是什么，一味的通过不断做题来练习和强化.

参考文献

[1]李红蕾.加强数学概念教学 促进学生思维发展[J].中学教学参考，2012（12）：80.

[2]张芸芸.初中函数概念的教学策略分析[J].新课程研究（下旬刊），2018（06）：64-66.