链接数学实验，让思维拔节生长
——《长方形和正方形的面积》教学设计（一）

文|陈美华

【教学内容】

苏教版三年级下册第66～68页。

【教学过程】

一、复习激活，渗透方法

1.基础复习。

师：我们学过了哪些面积单位？怎样的正方形面积正好是1平方厘米、1 平方分米、1 平方米？

2.看图口答。

师：下面图形的面积是多少？（每格是1 平方厘米的正方形）

生：它们的面积分别是9 平方厘米、10 平方厘米、15 平方厘米，我是用数格子的方法得到的，可以从左往右数或从上往下数，有几个格子面积就是几平方厘米。

生：第三幅图也可以先数再算，因为它是长方形，先数出每排有5 个，有这样的3 排，再用3 乘5 得15，一共有15 格，所以面积是15 平方厘米。

师：通过数一数或数数算算，你们都有什么发现呢？

生：有几个1 平方厘米，它们的面积就是几平方厘米。

师：一个图形含有面积单位的个数就是这个图形的面积。

二、实验探究，发现方法

1.初次实验，引发猜想。

（1）启发思考，自主探究。

师：这里有两个没有分好格子的长方形，想知道它们的面积有什么好办法呢？（揭示课题：长方形的面积）

生：可以用尺去量一量长方形的长、宽是多少厘米，然后分成1 平方厘米的正方形格子，数数算算有几格，面积就是几。

生：我看到学具盒里有1 平方厘米的小正方形，可以用它去摆一摆、量一量，也可以知道长方形的面积。

师：（出示《实验记录单一》）同学们都有了自己的想法，那就开始行动吧！

（2）发散思考，交流分享。

师：同学们都有自己的收获了吗？来和大家分享一下吧。

生1：我是用小正方形去摆的。①号长方形每排摆4 个，摆了3排，用了4 乘3 一共12 个1 平方厘米的小正方形，所以面积是12平方厘米；②号长方形每排摆5个，摆了4 排，用了5 乘4 一共20个1 平方厘米的小正方形，所以面积是20 平方厘米。（如下图）

师：还有不同的方法吗？

生2：我先用尺量出两个长方形的长和宽，再在边上每1 厘米处点上标记，用尺连线将长方形分成1 平方厘米的小正方形，再用每排的个数乘排数就算出了两个长方形的面积。（如下图）

师：生2 用了分一分的方法，与生1 的方法有什么相同之处吗？

生：我认为生2 的方法其实也相当于用1 平方厘米的小正方形摆满了，再数一数、算一算的。

师：是呀，透过现象看本质，都是摆满了再数数算算。还有谁想与大家分享自己的想法？

生：我也是用小正方形去摆的，我觉得不需要摆满，①号长方形只要像这样先摆一排4 个，再摆1 列就表示有这样的3 排，4 乘3得到面积是12 平方厘米；②号长方形每排摆5 个，再摆1 列就表示有这样的4 排，5 乘4 得到面积是20 平方厘米。（如下图）

师：在这些方法中你们比较欣赏哪一种呢？为什么？

生：我欣赏没有摆满的方法，根据摆的一排与一列的个数可以想象出长方形摆满的情况，所以这种方法巧妙而且花的时间少。

师：是呀，解决同样问题的方法也是有讲究的。

（3）比较思考，引发猜想。

师：回顾研究长方形面积的实验过程，你们还有什么发现呢？

生：我发现长方形中含有1 平方厘米的小正方形的个数就是它的面积。

师：对呀，长方形含有面积单位的个数就是它的面积。

生：我还发现它们的面积是每排的个数乘排数。

生：我发现长方形的面积等于长乘宽。

师：在课始“看图口答”第三个图形时大家也想到了这个方法，仅三个例子得到的方法一定正确吗？

生：不一定，我们还要举出更多的例子去验证。

师：确实由几个例子得到的发现只能作为猜想，我们还要举出更多的例子去验证。下面我们进入第二个实验。

2.再次实验，验证推理。

（1）实验探究，尝试验证。

师：（出示《实验记录单二》）一般要举几个例子才能说明问题？

生：至少三个，也可以更多。

师：表格的下面可以根据需要继续增加几行。下面继续你们的研究行动吧！

实验记录单二研究问题：“长方形的面积＝长×宽”这个猜想对吗？实验材料：1 平方厘米的小正方形若干、直尺等。实验过程：1.摆一摆：用几个1 平方厘米的小正方形摆出几个不同的长方形。2.写一写：把实验结果填写到实验记录单中。长/cm 宽/cm 正方形/个 面积/cm2第1 个长方形第2 个长方形第3 个长方形实验结论：（ ）反例，我们的猜想是（ ）的。

（2）交流思辨，发现推理。

生：我摆了三个长方形，第一个长方形的长、宽分别是……我发现每个长方形所用小正方形的个数正好是长方形的面积，也等于长乘宽的积，所以我猜想“长方形的面积＝长×宽”是正确的。（如下图）

生：我用了画图分格子的方法进行实验，先想好三个长方形的长、宽分别是几厘米，再画一画、分一分……也验证了我们的猜想是正确的。（如下图）

生：我没有摆满，像上次一样只摆了一排和一列，就想象出了长方形的长与宽，同样验证了我们的猜想是正确的。（如下图）

师：同学们很会动脑子，大多数用了简摆的方法去举例。每个同学都至少举了三个例子，合起来已经有很多不同的例子了，例子还可以继续举下去吗？

生：可以。

师：再举出10 个、100 个、1000 个乃至更多的例子，就能说明我们的猜想一定是正确的吗？

生：不太确定。

师：大家可以举出无数的例子，但还不能急于下结论，有时候还要寻找有没有反例，如果一个反例也找不到就能下结论了。大家找找看，有反例吗？

生：我们想到了比较特别的一种，就是摆一排的那种，每排不管是几个，1 乘几面积还是几，仍然验证了我们的猜想，找不到反例。

师：为什么找不到反例呢？能结合刚才你们的研究过程来说说理由吗？先自己想一想，再与小组同学说一说。

生：不管摆多少个长方形都可以发现，长方形含有小正方形的个数就是它的面积，而小正方形的个数等于每排的个数乘排数，每排的个数就是长方形的长，排数就是长方形的宽，所以长方形的面积就等于长乘宽。（相应完善板书，如下图）

师：现在我们可以认为大家的猜想是正确的吗？

生：可以。

师：如果用S 表示长方形的面积，用a 和b 分别表示长方形的长和宽，公式怎么简写呢？

生：S=a×b。

（3）延伸拓展，整体建构。

师：同学们动手动脑自己研究发现了长方形的面积计算方法，正方形的面积计算方法又是怎样的？（课题补充：正方形）你能自己思考发现吗？先自己想一想，再与同伴交流一下想法。

（学生独立思考，小组交流）

生：我认为正方形的面积=边长×边长，因为正方形是特殊的长方形，当长方形的长和宽相等时，长方形就变成了正方形，只要将公式中的长方形改写成正方形，长和宽改写成边长就可以了。

生：我同意他的想法，我们可以想象，如果用边长1 厘米的小正方形去摆，就摆出了每排的个数等于排数的特殊情况，所以正方形的面积=边长×边长。

师：同学们根据长方形与正方形的关系推导出了正方形的面积计算公式，利用关系来推理也是很重要的本领，给自己鼓鼓掌！

师：如果用S 表示正方形的面积，用a 表示正方形的边长，公式又可以怎样简写？

生：S=a×a。

三、回顾反思，内化方法

师：通过刚才的学习研究，回顾一下长方形的面积公式是怎样推导出来的，正方形呢？

生：我们先通过几个例子的研究发现长方形的面积计算方法，由几个特殊例子得到的发现不一定正确，只能作为猜想，我们又举了更多例子去验证，并且找不到反例，最后得出结论。

生：我们还根据正方形与长方形的关系，推出了正方形的面积计算公式。

师：是呀，在许多数学方法或规律的学习中，都要经历这样的研究过程。

四、分层练习，拓展渗透

师：同学们自己研究发现了公式，要求长方形、正方形的面积需要什么条件？

1.看图计算。

教材第67 页“试一试”。

2.解决问题。

教材第68 页“想想做做”第1、2 题。

3.挑战自我。

下图中每个小正方形表示1平方厘米，你能算出两个长方形的面积吗？

4.文化渗透。

师：我们的祖先早就研究过长方形的面积，方田术曰：广从步数相乘得积步。这里的方田就是长方形，广是长，从就是宽，也就是我们今天研究的：长方形的面积=长×宽。你们今天自己研究发现了这个方法，特别棒！

五、回顾反思，梳理内化

师：同学们通过今天的学习有什么收获？

师：同学们不仅知道并会运用长方形和正方形的面积计算公式，还知道这些公式是怎么研究发现的。相信大家带着这样的研究方法与科学态度，一定会发现更多的数学奥秘。