构建模型 融通方法
——“和对应”问题教学设计

文|王静文 陈 敏

【教学过程】

一、创设情境，提出问题

师：（出示图1）王老师和张老师约好明天晚上8：00 同时从各自家里出发去健身房健身。猜一猜，他们可能怎么走？

图1

师：如果健身房在这（如图2），他们两个怎么走呢？

图2

生：同向而行。

（请学生用手势比划）

师：健身房还可能在——

生：（标记健身房位置如图3）这时王老师和张老师同向而行。

图3

生：（标记健身房位置如图4）这时王老师和张老师（手势表示）面对面走。

图4

师：我们也用手来比划一下。像这样，面对面地走，人们称为相向而行，走着走着就会——相遇。4 分钟后，王老师和张老师在健身房相遇了。根据这些信息，你能提出什么数学问题？

生：王老师家到健身房的路程是多少米？

生：王老师家和张老师家相距多少米？

生：王老师比张老师多走了多少米？

……

师：同学们提出的问题都有研究价值。今天我们先来研究“王老师家和张老师家相距多少米”这个数学问题。现在能解决这个问题吗？你还需要什么信息？

生：两人的速度。

（补充课件，如图5）

图5

师：现在的信息够用了吗？谁能把这些信息连起来，编成一道完整的应用题？

根据学生的回答出示题目：王老师和张老师同时从家出发相向而行，王老师每分钟走80 米，张老师每分钟走60 米，经过4 分钟两人相遇。两家相距多少米？

师：你会列式解答吗？请拿出练习纸，在第一题的方框中作答。

【设计意图：通过生活事件引入，激发学生的研究兴趣，唤醒学生的日常经验，明确“同时、同向、相向、相遇”等专用术语的意思。集体逐步编成完整的问题的过程有助于学生深度了解问题中的基本数据信息，为下一阶段深度分析数量关系奠定基础。】

二、利用直观，引出模型

1.全班交流，理解意义。

师：你们都是怎样列式的？

生1：我是这样列式的：80×4+60×4=560（米）。（板书算式）

生2：我这样算：（80+60）×4=560（米）。（板书算式）

师：谁能解释这个算式（指生1 算式）所表示的意义？

生：他先用80×4 算出王老师走过的路程，再用60×4 算出张老师走过的路程，合起来就可以求出总路程。

师：是这样吗？让我们一起看着大屏幕说一说。

（课件动态逐步生成图6）

图6

师：算式（80+60）×4=560（米）又表示什么意思呢？

生：王老师和张老师两人1 分钟一共可以走（80+60）米，一共走了4 分钟，就是走了4 个（80+60）米。

（课件动态生成图7）

图7

师：（80+60）表示什么意思？

生：两位老师每1 分钟合起来走了（80+60）米，一共走了4 分钟，对应走了（80+60）×4=560（米）。

2.横向对比，引出模型。

师：这两种方法有什么区别？

生：第一种是分别求出王老师和张老师走过的路程，再求和。第二种是把王老师和张老师1 分钟走过的路程看成1 份，4 分钟有这样的4 份。

师：在两位老师速度不变的情况下，行走时间是1 分钟的4倍，行的路程也应该是——

生：（80+60）的4 倍。（随机板书“倍”）

师：照这个速度走8 分钟呢？走15 分钟呢？

小结：由于两位老师的速度始终不变，我们可以把1 分钟的路程和看作1 份，行几分钟，就是这样的路程和的几倍。

【设计意图：借助图形直观，解析不同算法的模型意义。算法1更贴近生活情境，以人物为线索，分别计算两位老师的行走路程，再相加，本质上是一个加法结构；算法2 则作了一定的数学抽象，抓住数学关系中速度不变，路程和时间之间的对应关系建立了乘法模型。通过对不同方法的比较，超越对相遇问题计算公式的机械记忆，深度理解数学模型刻画的数量关系本质。】

三、拓展应用，深化模型

1.情境变换，内化模型。

（1）提出问题。

师：除了可以把两个人1 分钟走过的路程合起来看成1 份，生活中哪些量也可以合起来作为1 份呢？

生：可以把运动衣和运动裤的价格合起来看成1 份，买4 套。

生：可以把师傅和徒弟1 分钟做的零件合起来看成1 份。

……

师：那我们还用这个算式（如图8），看看还可以解决哪些类似的数学问题。请你和同桌一起合作编一编。如果有困难可以打开锦囊（如图9）。

图8

图9

（2）同桌合作，创编问题。

（3）学生汇报，比较内化。

师：仔细看，他们把什么合起来看成1 份？（随机生成板书）

……

师：像这样的题目我们编得完吗？

生：编不完。

师：那这些题目之间有什么联系呢？

生：它们的数量关系是不变的。因为它们的1 份都不变，都可以先算出1 份和，再看有这样的几份，最后算出总数。

（教师板书关系式：1 份和×倍数=总数）

2.可逆变换，深化模型。

师：这道题的情境变化丰富多彩，那这道题本身能不能变化呢？我们来看：王老师和张老师同时从家出发相向而行，王老师每分钟走80 米，张老师每分钟走60 米，经过4 分钟两人相遇。两家相距560 米。

师：在这里，除了可以把王老师和张老师家相距多少米作为问题，还可以选哪个数量来做问题？

生：还可以求王老师的速度、张老师的速度、相遇时间。

师：你会求张老师的速度吗？（根据学生的叙述出示完整问题）

（1）列式解答。

（2）交流算法。

师：你们都是怎样列式的？

方法一：560－4×80=240（米）

240÷4=60（米/分）

方法二：560÷4－80=140-80=60（米/分）

师：让我们一起看着大屏幕说一说（课件动态演示如图10）。

图10

师：方法二又是怎么想的呢？

生：他先直接除以4，算出王老师和张老师两人1 分钟一共走多少米，再减掉王老师1 分钟走的路程，就是张老师1 分钟走的路程。

师：我们也结合线段图，来看一看，说一说。

（课件动态演示图11）

图11

生：560÷4 表示王老师和张老师1 分钟一起走过的路程，要求张老师的速度要用560÷4-80。

（3）方法优化。

师：这两种方法，你更喜欢哪一种？说说你的理由。

生：我更喜欢第二种，因为它步骤少，计算简单。

生：我也喜欢第二种，这种方法能把张老师和王老师合在一起看，很新颖。

师：在1 份不变的情况下，先求出1 份和，比分别去求更简捷。

（4）小结提升。

师：来看看这两题之间有什么联系与区别（图12）。

图12

生：它们的数据都是一样的。

生：它们的数量关系是一样的，只是求的问题不一样。

生：它们是一道题，只是反了过来。

……

师：是的，它们都用到了相同的数量关系。不同的是，第一题是知道速度和时间，求路程和；第二题是知道路程之和与时间，求其中一个人的速度。

师：还可以求什么？你会求吗？

生：我们还可以改成求相遇时间的问题。560÷（80+60）=4（分）。

3.巩固练习。

（1）只列式，不计算。

①甲队开凿进度12 米/天，乙队开凿进度14 米/天，两个工程队同时相向开凿，经15 天打通。这条隧道长多少米？

②货车和客车同时从相距420 千米的A、B 两城出发，相向而行，3 小时后相遇。货车的速度是60 千米/时，客车的速度是多少？

③学校采购了30 套课桌椅共花了5700 元，已知课桌100 元/张，椅子多少钱一把？

（2）自主练习，教师巡回批改，个别辅导。

师：和我们今天的例题相比，你有什么想说的吗？

生：第①题与例题中王老师和张老师家相距多少米的类型是一样的，只是情境变了，都是先把两队一天开凿的数量合起来看成1 份，15 天对应15 份。

生：这三道题的结构是一样的，都是求出1 份×倍数=总数。只不是过②③是逆向思考。例如第②题3 小时对应420 米，就可以反推1 小时合开140 米，再减60就可以了。

……

【设计意图：通过创编题目，进一步认识模型。环节1 为情境变换，引导学生体会不同生活情境可概括为同一数学结构，同一数学结构可反映到不同生活情境中，感悟数学的特点。环节2 为可逆变换，引导学生在数学结构内部作多向思考和推理，通过灵活分析数量之间的关系，更好地掌握和对应结构。环节3 通过练习，做好个体内化和沉淀，也方便教师诊断学生个体差异，制定下一步教学计划。】

四、总结回顾（略）