HPM视角下的教学设计
——以“抛物线及其标准方程”为例

陈静颖 陆新生

(上海师范大学数理学院,200233)

数学知识有其自身的由来与历史,通过追溯数学的历史脉络,学生能更深刻地理解数学概念、感受数学的文化魅力．本文以“抛物线及其标准方程”的教学设计为例,基于HPM视角进行探究．

一、教学过程设计

1.回顾历史,复习旧知

公元前4世纪古希腊柏拉图学派数学家梅内克缪斯为了解决倍立方问题,发明了圆锥曲线(如图1-3),他利用垂直于一条母线的平面去截顶角分别为锐角、直角、钝角的三种圆锥,得到三种曲线,并分别称之为锐角、直角和钝角圆锥曲线.

互动1教师使用GeoGebra演示平面与二次锥面不同角度下的截面(图4-6)．

师:古希腊数学家阿波罗尼斯曾说:用一个平面去截一个二次锥面,得到的交线就称为圆锥曲线．例如当平面只与一个二次锥面相交,且不过圆锥顶点,所得曲线称为椭圆．用相同的方法,你还能得到什么结论?

生1:当平面与一对二次锥面都相交,且不过圆锥顶点,所得曲线称为双曲线．

师:非常好,那么当平面与二次锥面的母线平行,且不过圆锥顶点,是什么圆锥曲线?这就是我们今天将要学习的圆锥曲线．

设计意图一方面复习之前学习过的圆锥曲线椭圆和双曲线,另一方面从历史的角度引导学生探究圆锥曲线的共同点与不同点．

2.善用教具,探究新知

用具准备透明圆锥、形状为抛物面的硬纸片.

互动2用透明圆锥与一平面纸片演示一平面截圆锥得到的截面,请学生观察该截面与圆锥的截线.

师:现在我手里有一个圆锥和一个平面,用这个平面去截圆锥．当平面与圆锥母线平行时,可以得到一个奇特的截面,请大家观察这个截面,思考它所得到的截面曲线又是什么呢?

用具准备7-8张形状为抛物线的纸片,一张圆形纸片,组合为圆锥截面.

互动3教师用折纸得到的教具演示圆锥与母线平行的不同截面都是相同的形状(图7).

师:刚刚已经把圆锥和平面相截所得的截面给大家演示出来,重复无数次这样的操作,取和圆锥母线平行的截面,就能得到这样一个模型,大家仔细观察,所得截面的模型和什么很像?

生2:圆锥．

师:这说明这个截线也是一种圆锥曲线,那么应该如何研究圆锥曲线的方程呢?

生3:① 建立坐标系;② 作图并取点;③ 确定坐标;④ 判断是什么曲线．

师:太棒了,请你们以四人为一小组讨论,得到圆锥曲线的方程．

用具准备有平面直角坐标系的纸片,一把可以弯曲的尺(抛物线尺).

小组分享研究曲线的四个步骤,一是建系,二是作图和描点,三是确定坐标,四是判断曲线．用可以弯曲的尺对照当平面与圆锥母线平行时的截面曲线,用尺照着这条曲线将它刻画出来,取到这条曲线后,在平面直角坐标系中将它描出来,得到了一条经过原点的曲线．

师:用几何画板也可画出这个曲线(图8),大家一起来观察一下,这个曲线有哪几个特殊点?

生4:它经过原点、(2,1)、(4,4)以及它们的对称点．

师:说得很好,所以它的方程是什么?形状是什么?

师:为什么二次函数是一条抛物线呢?

设计意图运用两个教具,从正向与逆向两个方面让学生感受截面与截线的关系,第一个教具让学生知道圆锥的截面与截线,第二个教具让学生知道无数个截面与截线可以还原成圆锥.

3.巧用软件,讲解定义

师:欧几里得发现,椭圆的定比小于1,双曲线的定比大于1,那么抛物线的定比与1又是什么关系呢?

互动4演示几何画板软件,取抛物线上一动点M,到x轴上定点F的距离为FM,到定直线的距离为HM．

师:通过几何画板的演示(图9),FM与HM有什么关系?

生6:FM始终等于HM.

师：那么抛物线的定比与1又是什么关系呢？

生7：抛物线的定比等于1.

师:说得非常棒,可以发现,抛物线是平面内与一个定点和一条定直线距离相等的点的轨迹,这就是抛物线的定义．

4.前后呼应,突出重点

洛必达得出轨迹的定义:(1)凡在轨迹上的点都符合条件;(2)符合条件的点都在轨迹上．抛物线的定义:平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过F)距离相等的点的轨迹．

互动5通过建系、设点、列式、化简、检验五个步骤来得到抛物线的标准方程．

(1)建系

师:如何设置x轴、y轴使我们的方程更易求解呢?

生8:过点F作准线l的垂线,垂足为K,以直线FK为x轴,线段KF的中垂线为y轴,建立直角坐标系xOy．

(2)设点

(3)列式

(4)化简

(5)检验

经检验y2=2px(p>0)是抛物线的方程.

互动6运用几何画板探究初中学习过的二次函数为什么是抛物线？

设计意图通过建系、设点、列式、化简、检验五个步骤，回顾求圆锥曲线的标准方程,并且将初中学习的二次函数与高中学习的抛物线的标准方程贯穿起来,形成连续概念．

5.折纸融合,引起兴趣

互动7带领学生折纸(折出抛物线)．

用具准备一张A4纸.

第1步:取一张矩形纸,以矩形的一边a为抛物线准线,在矩形内部取一点F为抛物线焦点.

第2步:开始折纸片,使得a边正好通过点F，可以知道,这种折法是有很多种,一种一种来(图11、12).

第3步:每折一种,就有一条折痕,用笔将这条折痕画出来，然后继续画其余的折痕,如上图右边继续折,继续画,就会得到若干条折痕.折完以后,就会看到,这些所有的折痕围成一条抛物线轮廓)(图13、14).

证明首先,直线a和点F可以确定一条抛物线,不妨设为C.如图14所示,因为是折纸,所以可以在直线a上作一个点F关于折痕对称的点M,并过M作MP垂直于直线a,交折痕于P,根据对称原理知道,,PF=PM，即点P到定直线a与到定点F的距离相等,所以P点在抛物线C上.另一方面,取折痕上异于P的一点Q,很容易知道,FQ≠QN,所以Q点不在抛物线C上.也就是说,折痕与抛物线只有一个交点,故折痕是抛物线的一条切线.所以折纸法里得到的每一条折痕都是抛物线的切线,若干条切线包围住了这条抛物线,抛物线的轮廓也就显示出来了.

设计意图利用折纸折出抛物线,引起学生的兴趣,并且通过证明,再一次让学生对抛物线的定义记忆深刻．

二、教学反思

1.善用数学史,了解数学文化

数学史能够帮助学生理清数学概念的生成由来与知识脉络.本课从抛物线的发现、发展、几何性质、方程和作图,见证抛物线的五个发展历程,学生对每一步的历史故事都感到新奇,每一步也与抛物线的概念息息相关,巧妙融合数学与历史．

2.巧用教具与动态软件,理解数学原理

本课时共采用了三个教具与GeoGebra、几何画板两个几何动态软件,通过自制教具引入平面与圆锥的关系,达到学生体会圆锥曲线的发展历程的目标;通过GeoGebra、几何画板、折纸操作,达到学生发现抛物线的几何性质、研究为什么二次函数是抛物线的目的.

3.重视知识迁移,促进知识内化

在本节课之前,学生已经学习了椭圆、双曲线,对圆锥曲线的研究过程和研究方法有了一定的了解和认识,这对于圆锥曲线的后续学习有借鉴、迁移的作用.抛物线是圆锥曲线中的一种,也是日常生活中常见的一种曲线,在初中时学习过二次函数,将二次函数与抛物线贯穿．