立足代数课堂,聚焦核心素养
——以“平方差公式(第1 课时)”为例

山东省淄博市淄川区杨寨中学(255000) 刘慧 王廷

当前,核心素养的提出,要求教师在课堂教学中必须坚持“以生为本”的理念,促进学生的全面发展.其中,数学核心素养的培养应致力于学生在数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象等方面的提升,这需要教师将核心素养的教育理念与教学课堂实践进行有机结合.下面,笔者以“平方差公式(第1 课时)”为例,谈谈在核心素养的视角下对初中代数课堂的教学实践与思考.

1 教材分析

平方差公式是多项式乘法运算中的一个重要公式,是在学习了整式乘法基本运算法则之后,对于特殊形式的多项式乘法的进一步研究,属于数学再创造活动的结果.平方差公式在整式乘法,因式分解,分式运算及其它代数式的变形中起着十分重要的作用.同时,它也是构建学生有价值的数学知识体系并形成相应数学技能的重要内容,是让学生感悟化归、换元、整体等数学思想,以及感受数学再创造性的好教材.

2 教学实录与分析

2.1 创设情境,激发兴趣

问题:从前,有一个狡猾的地主,把一块边长为a米的正方形土地租给张老汉种植.第二年,他对张老汉说:“我把这块地的一边减少b米(b ＜a),相邻的另一边增加b米,继续租给你,租金不变,你也没有吃亏,你看如何? ”张老汉一听,觉得好像没有吃亏,就答应道:“好吧”.回到家中,他把这事和邻居们一讲,大家都说:“张老汉,你吃亏了! ”张老汉非常吃惊.你觉得张老汉吃亏了吗?

师:同学们觉得张老汉有没有吃亏呢?

生1:没有吃亏!

生2:我觉得没那么简单,张老汉可能吃亏了!

师:两位同学有不同的意见,谁的观点是正确的呢? 下面请同学们小组合作,利用手中的纸片来研究一下吧!

教学分析:利用故事创设情境,激发学生强烈的求知欲和探索欲,调动学生的积极性,并训练学生的数学猜想能力,发展学生合情推理的数学素养.同时,也为学生了解平方差公式的几何背景做铺垫,进一步发展学生的几何直观.

2.2 自主探究,获取新知

师:刚刚同学们讨论的非常热烈,大部分同学都有了自己的结论,下面请一个小组上台来展示一下.

生3:我们小组通过拼图(如图1) 的方式来进行研究的:原来正方形的面积为a2,变形后长方形的面积为(a+b)(a-b),通过拼图可以发现长方形的面积比正方形的面积少了一个面积为b2的小正方形(动手演示),所以张老汉吃亏了!

图1

师:很好,十分清晰.通过拼图我们可以确定张老汉确实吃亏了,那么同学们能通过这个问题得到一个什么等式呢?

生4:(a+b)(a-b)=a2-b2.

师:很好! 这个等式我们把它叫做平方差公式.

(板书:平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2.)

师:同学们能利用多项式乘多项式的法则推导验证一下这个公式吗?

生5:(a+b)(a-b)=a2+ab-ab-b2=a2-b2.

师:很好! 请同学们注意,在这个公式中a、b可以是任意实数、字母、式子.同学们能用文字表达一下这个公式吗?

生6:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.

师:很好,表达的非常准确!

教学分析:通过小组合作以及学生动手操作,学生在探索面积变化的过程中,从“形”的角度得出了平方差公式.接下来,学生再利用乘法法则进一步推理验证,再从“数”的角度验证平方差公式,完成了从合情推理到演绎推理的过程,提升了逻辑推理的核心素养,也体会了数形结合的数学思想.同时,学生在把问题情境抽象成数学问题的过程中,锻炼了数学抽象、数学建模的能力,在拼图的过程中也提升了直观想象的数学核心素养.

2.3 深度挖掘,明确结构

师:请同学们利用平方差公式进行口算:(x+1)(x-1);(m+2)(m-2).

生7:(x+1)(x-1)=x2-1;(m+2)(m-2)=m2-4.

师:很好,同学们发现平方差公式的作用了吗?

生8:利用平方差公式可以进行快速运算!

师:对! 但是平方差公式可不能乱用! 下面请同学们看看下列这些乘法运算可以用平方差公式进行计算吗?

(1) (7ab -3b)(7ab+3b);(2) (-8 +a)(a-8);(3) (a+2b)(2b+a);(4)-(a-b)(a+b);(5) (-3-m)(m-3);(6)(x+3)(-x-3).

生9:第1 个和第4 个可以用!

生10:还有第5 个和第6 个可以用!

生11:不对! 第6 个不可以用!

师:能说明理由吗?

生11:因为两个括号里的第一项符号不一样!

师:观察非常仔细! 那同学们能总结一下整式乘法要满足什么样的结构才可以用平方差公式呢?

生12:两个乘式的第一项必须都是正的,第二项必须一正一负互为相反数.

师:有不同意见吗?

生13:两个乘式的第一项也可以都是负的,只要第一项相同就可以了.

师:不错,那么一定是第一项相同,第二项互为相反数吗?

生14:不一定! 只要两个乘式的两项中,有一项完全相同,另一项互为相反数就可以用平方差公式.

师:能具体说明一下原因吗?

生14:因为我们可以利用加法的交换律把相同的项都放在第一项,互为相反数的项都放在第二项,就可以应用平方差公式了.

师:非常好,观察认真,理由充分! 所以,在进行两个二项式乘法计算时,我们一定要观察好两个乘式是否符合平方差公式的结构特征,必要的时候需要进行恰当的变形再运用公式进行计算.

教学分析:在这个环节中,学生先通过两道简单的口算题初步感受平方差公式在乘法运算中带来的简便性,同时也锻炼了学生的数学运算能力.接下来,学生自主辨析并深入挖掘平方差公式的结构特征,这一步是学生理解公式,进而灵活运用公式解决问题的重要条件.在这个过程中,学生通过明辨结构,发展了抽象思维、符号意识以及推理能力,进一步提升了数学核心素养.

2.4 典例实践,学以致用

例1 计算:

(1)(2x+1)(2x-1);(2)(3x+2)(3x-2);(3)(b+2a)(2ab);(4)(-x+2y)(-x-2y).

例2 计算:

(1)102×98;(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5).

教学说明:教师选取个别学生板演,在巡视过程中及时记录学生出现的问题,然后师生一起纠错.其中,例1 的第(4)题学生错的较多,教师提醒学生要先对原多项式进行变形,再应用公式;例2 的第(2)题,个别学生由于思维定式认为(y-1)(y+5)也可以用平方差公式,教师要提醒学生注意:不能用平方差公式进行计算的应该用多项式乘法法则进行计算!

教学分析:通过这两个例题,让学生体会平方差公式如何正确运用,并检测学生对公式的理解程度.在这里放手让学生自主完成,充分体现了学生在课堂的主体地位,挖掘了学生的学习能力和潜力,提升了学生的运算能力,同时也发展了学生的数感和符号意识.

2.5 实践反馈,强化新知

练习1：判断下面各式的计算对不对? 若不对,应当怎样改正?

(1)(x+2)(x-2)=x2-2;

(2)(-3a-2)(3a-2)=9a2-4.

练习2：运用平方差公式计算:

(1)(a+3b)(a-3b);(2)(3+2a)(-3+2a);(3)51×49;(4)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2).

教学说明:学生独立完成,完成后小组内互相订正,互查错误,教师巡视指导.

教学分析:通过此环节,进一步加强学生对平方差公式的理解和运用,不仅能继续发展学生的运算能力,也培养了学生的应用意识.在组内互查订正的过程中,学生的自我管理和合作意识也得到了有效提升,初步发展了适应社会需要的必备品格和能力.

2.6 总结收获,感悟升华

师:通过这节课你学到了什么? 有什么收获呢?

生15:我学到了平方差公式,知道了平方差公式可以帮助我们简化计算!

生16:利用平方差公式要注意观察多项式的形式,满足平方差公式的结构特征才可以用! 有时需要先变形再用!

师:同学们在数学思想和数学方法方面有什么收获呢?

生17:在研究公式的时候可以借助拼图,用图形来帮助我们研究代数!

师:很好,这就是我们常说的数形结合思想! 刚刚同学们总结的非常好! 在今后的数学学习中,同学们也要继续努力,积极探索,在代数的海洋中发现更多的公式和结论!

教学分析:学生在总结中对学到的知识、方法、思想进行再升华、再提炼,通过有条理地表达锻炼了勤于总结,勤于反思的良好素养.

3 核心素养视角下对代数课堂教学的思考

3.1 注重对运算法则的探索过程

“数与代数”这部分课程内容的教学,不能简单地要求学生记忆各种运算法则,应关注学生对法则的探索过程.在《义务教育数学课程标准(2011 年版)》中指出:数学课程不仅包括数学的结果,也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法.在课堂教学中,教师不仅要关注结果,更要关注过程.只有在对法则的探索过程中让学生不断积累数学活动经验,才能有效提高学生的数学核心素养[1].

3.2 注重发展学生的推理能力

推理贯穿于数学教学的始终.也许有人认为推理能力的培养主要体现在几何教学中,这是不准确的.事实上,代数对发展学生的推理能力也有十分重要的作用.学生在对事物之间的数量关系或变化规律进行分析的过程中,通过归纳与概括,发现隐含其中的量与量之间的关系,并用符号一般性地表示出来,再用运算法则证明猜想,从合情推理再到演绎推理,都能发展学生的推理能力,有助于提升学生的逻辑推理核心素养.

3.3 注重发展学生的几何直观

在代数的课堂教学中,教师应注重将代数推理与几何直观相结合.几何直观有效帮助学生探索、理解、记忆代数结论的意义和结构.同时,在代数中发展学生的几何直观也可以帮助学生感悟数形结合的数学思想,提升学生直观想象的核心素养.

总之,核心素养视角下,在初中代数课堂的教学中,教师应致力于将发展学生的核心素养作为各项教学活动安排的基本思想.只有将核心素养的教育理念融入到课堂教学的每一个环节,才能在课堂教学中体现并落实数学核心素养,促进学生核心素养的持续性发展[2].