仿脊柱隔振器振动特性分析

李小彭， 王政浩， 王碧涵

(1. 吉林大学 汽车仿真与控制国家重点实验室，长春 130025；2. 东北大学 机械工程与自动化学院，沈阳 110819)

振动广泛存在于我们的生产生活之中，在一些场合下振动会对生产设备造成损害或影响设备的使用精度，为避免这种有害振动，隔振器得到了广泛的应用。隔振器按工作方式分为主动隔振器，半主动隔振器和被动隔振器，其中被动隔振器[1-6]由于其结构简单，节能等优势得到了更广泛的应用。

仿生学原理应用于被动隔振近年来吸引了大量学者关注，其中仿生学和非线性利用的结合成为当前被动隔振领域的研究热点之一，国内外学者在这一方向进行了大量的研究，Wu等[7]受到鸟腿的Z形结构启发，设计了正负刚度并联的仿生型隔振器，分别研究了不同结构参数对其静态刚度和动态隔振性能的影响；Yan等[8]受到猫从高空安全坠落的启发设计了一种三连杆结构(bio-inspired polygonal skeleton,BIPS)型隔振器，研究了不同结构构型变化对BIPS型隔振器静刚度，承载能力及工作范围的影响，同时研究了参数变化对隔振器动态性能的影响；Dai等[9]受袋鼠跳跃时腿部结构启发设计了一种BIQS型隔振结构并将其应用在太空卫星捕捉机械手中，通过数值仿真研究参数变化对机械手动态隔振性能的影响；Jing等[10]设计了一种X型仿生结构并将其应用于大型手提钻中，通过数值仿真研究参数变化对系统隔振性能的影响，并通过样机试验验证了结论的正确性，为结构参数设计提供依据；Deng等[11]基于鸟类脖颈结构建立了多自由度的准零刚度隔振器，运用谐波平衡法结合弧长法对隔振性能进行分析，研究发现该结构具有良好的低频隔振性能。王鑫等[12]设计了一种仿生X形抗冲击结构并将其应用于在轨末端执行器，建立了末端执行器在冲击力下的动力学模型，通过数值仿真对隔振性能进行分析，研究结果表明该结构能有效抑制航天器抓捕时的振动。Yan等[13]提出一种大行程的三连杆隔振器，通过静力学分析研究了机构的负刚度特性，并通过谐波平衡法对动态性能进行分析，研究结果表明该机构具有良好的低频隔振效果。

本文设计了一种仿人体脊柱隔振器，脊柱是人体的中轴骨骼，是身体的支柱，有负重减震等功能，人体在剧烈运动或跳跃时脊柱可以起到缓冲隔振的作用，防止颅骨大脑受到损伤，受此生物学原理启发，建立了仿脊柱节状连接的隔振器物理模型，通过数值仿真[14-17]分别研究了不同结构参数对隔振器静态刚度和动态隔振性能的影响，研究结果在被动隔振领域具有良好的工程应用前景。

1 静态特性

1.1 结构设计

仿脊柱节状连接隔振器结构图，如图1所示。主要结构包括：支座、连杆、转轴、隔板、开口销、滑动轴承、竖直弹簧、支撑轴、水平拉伸弹簧。在人体脊柱及其周围分布有韧带和肌肉，这些韧带和肌肉在人体剧烈运动时起到缓冲和减振作用，防止人体大脑和颅骨受到损伤。韧带主要包括相邻椎骨间的黄韧带和前后纵韧带，由于韧带具有很大的弹性，工作时如同弹簧作用的缓冲减振，受此生物学原理启发，在仿脊柱隔振器的结构设计中加入水平拉伸弹簧和竖直弹簧，分别对应人体脊柱结构的黄韧带和纵韧带进而起到缓冲和隔振作用，人体脊柱由多节椎骨连接而成，在此生物学构造启发下建立了仿脊柱隔振器多节节状连接的结构形式，同时为使隔振器受力更为均衡，每层均设计使用成对的水平横弹簧。考虑到实际隔振空间变化需要，仿脊柱型隔振器的设计具有便于拆装的结构特点，可根据实际隔振高度需要增加或减少连杆数量进而调节其层数，达到不同隔振高度区间内的重复利用，成为区别于传统隔振器的一大结构优势。

图1 仿人体脊柱隔振器结构图Fig.1 Structural diagram of human spine type vibration isolator

1.2 静刚度特性

本节建立了多层仿脊柱隔振器静力学模型，讨论了不同设计参数对隔振器静态刚度的影响，分析了隔振器在工作范围内达到正刚度的条件，并对仿脊柱隔振器不同参数下的承载能力进行分析。多层仿脊柱隔振器简化模型如图2所示。图2(a)和图2(b)分别代表仿脊柱隔振器初始状态的示意图和受到外部位移激励变型后状态的示意图。其中各项参数说明如下：y0为基础激励位移；y1为质量块位移;x为水平方向变形量;Kh为水平弹簧刚度;Kv为竖直弹簧刚度;θ为任意时刻连杆与水平面之间的夹角;φ为受到外部位移激励后的角度变化量;L为连杆长度;n为仿脊柱隔振器层数。

建立多层隔振系统的静力学公式为

(1)

式中，y=y1-y0。

图2 仿脊柱隔振器结构简图Fig.2 Structural model of simulated spinal vibration isolator

对式(1)做无量纲处理，即方程两侧同时除以KhL得到系统无量纲力-位移关系为

(2)

对式(2)求一阶导，可得系统的无量纲刚度关系为

(3)

式中，β为刚度比，β=Kv/Kh。

图3(a)和图3(b)为n=3，θ=π/4时不同刚度比条件下，系统的无量纲力-位移曲线和无量纲刚度-位移曲线，刚度比为2和1时，隔振器在整个工作范围内的无量纲刚度均为正值，刚度比为0.1时，隔振器在整个工作范围内无量纲刚度存在正刚度、零刚度和负刚度，无量纲力-位移曲线和无量纲刚度-位移曲线均具有明显的非线性特性。

图3(c)和图3(d)为n=3，β=0.25时不同初始角度下隔振器无量纲力-位移曲线和无量纲刚度-位移曲线不同初始角度时在整个工作范围内无量纲刚度均存在负刚度、零刚度和正刚度，随着初始角度的增加无量纲刚度的非线性程度明显增加。

图3(e)和图3(f)为β=0.25，θ=π/4时不同层数下无量纲力-位移曲线和无量纲刚度-位移曲线，随着无量纲位移逐渐增加，无量纲力和无量纲刚度均逐渐增加，层数为2和3时无量纲刚度存在负刚度，零刚度和正刚度，层数为4层时无量纲刚度均为正刚度。在整个工作范围内无量纲力-位移曲线和无量纲刚度-位移曲线均具有明显的非线性特性。

图3 不同参数条件下的无量纲力位移曲线和无量纲刚度位移曲线Fig.3 Dimensionless force displacement curve and dimensionless stiffness displacement curve under different parameter

(4)

K=4(cosθ-1)+β≥0

(5)

图4 工作和非工作区域刚度曲线Fig.4 Stiffness curves of working and non-working areas

图5 刚度分布图Fig.5 Stiffness distribution diagram

1.3 承载能力分析

承载能力对于任何隔振系统来说都是至关重要的性能参数，仿脊柱隔振器在满足正刚度条件式(5)时，整个工作范围内均具有正刚度，承载能力在压缩量达到最大值时达到最大。仿脊柱隔振器不满足正刚度条件式(5)时，隔振系统在工作范围内存在负刚度(见图4)，刚度值随着压缩量的增加不断减小，刚度减小至零时的压缩量对应的承载能力即为其承载能力最大值。

在满足正刚度条件时系统工作范围内刚度均为正值，不同的结构参数对隔振器的承载能力有着重要影响，以下分别对满足正刚度条件时不同刚度比和不同初始角度对承载能力的影响进行了讨论。当n=3时不同刚度比下的承载能力曲线，可以看出刚度比越小，承载能力越大，如图6(a)所示。当n=3时不同初始角度下的承载能力曲线，可以看出初始角度越大，承载能力越大,如图6(b)所示。

上述不同参数对承载能力的影响趋势可以为仿脊柱结构设计时的参数设计提供依据以满足实际工程中的承载需求。

图6 不同参数对承载能力的影响Fig.6 Influence of different parameters on bearing capacity

2 动态特性

动态特性是评价隔振器性能优劣的重要指标，本节利用拉格朗日方程建立了多层仿脊柱隔振器的动力学方程，通过谐波平衡法对动力学方程进行求解并推导出了系统位移传递率，研究了不同设计参数对隔振器位移传递率的影响，并通过四阶龙格库塔法求出了数值解与解析解进行对比，验证了结论的可靠性。

系统动能公式

(6)

(7)

系统的阻尼力

(8)

(9)

式中：y=y1-y0,y1为质量块的位移，y0为系统所受外部位移激励；c1为空气阻尼；c2为关节摩擦阻尼；nx为旋转关节数量。

(10)

由拉格朗日方程建立系统动力学方程，其中L=T-V将式(6)，式(7)，式(8)代入式(10)可得系统动力学方程为

(11)

式中：f1(y)，f2(y)分别为

(12)

(13)

将f1(y)和f2(y)在零点用泰勒公式展开

信息流原理可谓是职务犯罪调查信息化的理论模型，信息流原理的信息学意义是指在实践和空间中，向同一方向运动的一组信息。信息流的传输具有双向性，信息在由信息源流向信宿的同时，也可以由信宿反作用于信息源，如改变其数量、内容、方式，［3］信息流原理与职务犯罪调查原理基本相同。

(14)

(15)

泰勒展开式和精确表达式对比图，如图7所示。从图7可知，泰勒展开与精确表达式吻合良好。

图7 泰勒展开式和精确表达式对比图Fig.7 Comparison of Taylor expansion and exact expression

将式(14)和式(15)代入式(11)可得

(16)

自变量换为τ，其中τ=ω0t，隔振器无量纲的动力学方程为

(17)

设基础所受激励y0、谐波响应y分别如式(18)和式(19)所示

y0=scos(ωt)=scos(Ωτ)

(18)

y=s0+s1cos(Ωτ+φ1)

(19)

式中：Ω=ω/ω0;τ=ω0t。

将式(18)和式(19)代入式(17)，谐波响应的未知参数可由谐波平衡方程分别求得

(20)

(21)

(22)

系统的位移传递率为

(23)

3 仿真分析

根据式(23)得出的仿脊柱隔振器位移传递率公式分别讨论了不同设计参数对位移传递率的影响规律，通过四阶龙格库塔法得到数值解与谐波平衡法的解析解进行对比，两者吻合良好，验证了仿真结论的正确性，最后与相同参数下的常规线性隔振器进行了对比，可以看出仿脊柱结构隔振器具有更优越的低频隔振性能。

层数分别为n=5，n=4，n=3条件下隔振系统的位移传递率图像，如图8(a)所示。其中仿脊柱隔振器系统参数分别为Kh=4 000，Kv=1 000，θ=π/4，c1=5，c2=1，由图8(a)可知，随着层数增加，系统位移传递率明显降低，系统峰值频率明显减小。

初始角度分别为θ=π/4，θ=π/6，θ=π/12条件下隔振系统的位移传递率图像，如图8(b)所示。其中仿脊柱隔振器系统参数分别为Kh=4 000，Kv=1 000，n=3，c1=5，c2=1，由图8(b)可知，随着初始角度减小，系统位移传递率明显降低，系统峰值频率明显减小。

刚度比分别为β=1/3，β=1/4，β=1/12条件下隔振系统的位移传递率图像，如图8(c)所示。其中仿脊柱隔振器系统参数分别为n=3，c1=5，c2=1，由图8(c)可知，随着刚度比减小，系统位移传递率显著降低，系统峰值频率明显减少。

四阶龙格库塔法的数值解与谐波平衡法的解析解对比图，如图8(d)所示。其中所用到的动力学参数如表1所示。从表1可知，四阶龙格库塔法的数值解与谐波平衡法的解析解两者吻合良好，验证了仿真结论的正确性。

表1 动力学参数表Tab.1 Kinetic parameter table

相同参数下仿脊柱隔振器与常规线性隔振器位移传递率对比图，如图8(e)所示。其中线性隔振器的刚度系数和阻尼系数分别为K=1 000，c=5，可以看出相比常规线性隔振器，仿脊柱隔振器有具有更优越的低频隔振性能。

图8 位移传递率仿真图Fig.8 Simulation diagram of displacement transmissibility

通过以上讨论可知，调节仿脊柱隔振器的设计参数如增加层数，减小初始角度，降低刚度比等可以显著降低隔振器位移传递率；相同参数条件下仿脊柱隔振器相比线性隔振器有着更为优越的低频隔振性能。上述不同参数下位移传递率的变化趋势为仿脊柱结构的工程应用提供了基本的理论指导。

4 结 论

本文设计了一种仿脊柱隔振器，建立了隔振器的静力学模型，探究了不同设计参数对仿脊柱结构静态刚度和承载能力的影响趋势，通过谐波平衡法研究了关键设计参数对位移传递率的影响，结论如下：

(1)仿脊柱隔振器静态刚度具有明显非线性特性，通过设计参数的调节如改变刚度比，初始角度，层数等可以使隔振器在工作范围内获得正刚度、零刚度或负刚度。

(2)不同结构参数对仿脊柱结构隔振器的承载能力有着重要影响，满足正刚度条件时，刚度比越小，初始角度越大，承载能力也越大。

(3)仿脊柱隔振器通过调节隔振器的结构参数如降低刚度比，减小初始角度，增加层数等可以显著降低隔振器的位移传递率，且随着位移传递率的降低，隔振器峰值频率也明显减小，具有良好的低频隔振效果。