高速磁浮列车-桥梁耦合振动实时混合试验的数值仿真研究

王 贞， 侯金佑， 吴 斌， 杨 格， 王 涛， 许国山， 丁 勇

(1. 武汉理工大学 土木工程与建筑学院，武汉 430070； 2. 黑龙江科技大学 建筑工程学院，哈尔滨 150022；3. 哈尔滨工业大学 土木工程学院，哈尔滨 150090)

近年来，中国在高速铁路设计、建造与运营等方面取得举世瞩目的成就。新时期，如何开发新型高速交通工具，保证技术持续领先，是相关领域研究的突出问题。磁浮列车具有速度高、舒适性好等特点[1]，近些年受到越来越多的重视。上海磁浮线的建设和运营，促进了国内磁浮技术的发展，目前已有多个中低速磁浮线投入商业运行。不过，高速磁浮列车技术发展相对缓慢，对其安全性、舒适性等问题还需要有更深入的认识。

车桥耦合振动是高速磁浮列车安全性的突出问题，国内外的研究人员采用多种方法研究该问题。由于桥梁桥墩处竖向刚度远大于其他位置，列车过桥墩时存在冲击相互作用甚至导致跳车，对磁浮控制非常不利，甚至影响运行安全性。数值仿真是最常用的研究方法，研究人员多采用简化或精细模型开展耦合振动分析。Cai等[2]分别采用移动荷载-轨道梁模型和两自由度的二系悬挂系统来研究车桥耦合问题；Lee等[3]将车辆简化为带有主动控制器的5自由度模型，研究各结构参数对车桥耦合振动的影响；Min等[4]将磁浮车建模为含有一个车体和4个转向架的三维模型，研究了车辆的横向共振等问题。但数值模拟的结果有待进一步验证，随着研究的深入，建造了一些试验线路开展相关试验，取得了一些研究成果。不过，线路试验耗时长、成本高，试验工况较局限，不利于研究的开展。西南交通大学研制了磁浮列车单悬浮架车-轨耦合振动试验台，可在实验室模拟磁浮列车运行状况，为车辆悬浮控制系统的设计、轨道梁选型等提供试验手段，但不能对多悬浮架及整车进行试验。

为解决数值模拟和全结构物理试验的缺陷问题，混合试验方法[5-7]在地震工程领域应运而生并得到了长足发展。目前，该项技术已初步应用于列车振动研究。山口辉也等[8]将混合试验方法应用于车桥耦合系统，取一节车厢作为试验子结构，在其两端布置车体间运动模拟装置，建立前后两节车厢数值模型，从而再现3节编组车辆的运行状态。张博等[9]对车桥耦合实时混合试验的时滞补偿问题开展了深入研究。

本文提出高速磁浮列车-桥梁耦合振动实时混合试验方法，为相关研究提供一种试验解决方案。在该方法中，取单节车厢作为试验子结构，其余车厢和桥梁结构作为数值子结构在计算机中模拟，通过振动台台阵再现二者边界条件，从而复现车辆与桥梁的耦合振动。该方法既能达到对车桥耦合振动的研究目的，又可大幅降低试验成本和周期，同时能够开展试验线无法完成的极端工况研究。本文阐述该方法原理，详细介绍试验系统建模，并分析试验模拟结果。

1 车桥耦合实时混合试验原理

车桥耦合实时混合试验原理如图1所示。取其中一节车厢进行试验加载，其余车厢及桥梁结构进行数值模拟，试验过程中实时交互数据。试验加载中利用振动台台阵(8套三向6自由度振动台)模拟桥梁挠度及桥墩冲击对列车的作用，利用车端关系模拟系统(1台反力支架及一台水平作动器)模拟数值车厢对试验车厢的约束力。

车桥耦合实时混合试验系统主要包括车辆与桥梁动力学计算系统、振动台台阵、试验车厢、力测量系统、试验及数值车厢悬浮力控制算法、台阵及牵引力控制系统等。其中车辆与桥梁动力学计算系统主要用于桥梁和车辆方程的求解、加载时滞补偿、实时位移和力信号传递与信号处理等。试验系统在MATLAB/Simulink环境中完成。

图1 车桥耦合实时混合试验原理Fig.1 Principle of real-time hybrid test for train-bridge coupling vibration

车桥耦合实时混合试验流程如图2所示。主要步骤包括：①设置车辆的初始位置，计算桥梁在自重作用下的响应；②车辆在ti时刻上桥，获取ti时刻桥梁与车辆的响应；③进行悬浮和导向控制，获取数值车厢的悬浮力、导向力和牵引力；④将ti时刻试验车厢对应的桥梁挠度和速度与数值车厢的牵引力发送给台阵控制系统和牵引力控制系统，复现试验车厢的实际振动；⑤通过力测量系统获取ti时刻试验车厢的悬浮力、导向力和牵引力；⑥获取ti+1时刻车辆的位置，由数值车厢和试验车厢的悬浮力计算ti+1时刻桥梁的响应；重复步骤③～步骤⑥，直到试验结束。

图2 车桥耦合实时混合试验流程图Fig.2 Flow diagram of real-time hybrid test for train-bridge coupling vibration

2 车桥耦合试验系统建模

车桥耦合实时混合试验涉及环节多，对系统性能要求高，在正式试验前开展仿真研究，探索方法的性能与方法的挑战，具有重要意义。该仿真系统主要由车辆模型及磁力模块、桥梁模型、振动台台阵模型和时滞补偿模块等构成。本文仅考虑车辆的悬浮力，暂不考虑车辆的导向力和牵引力。

2.1 车辆模型

以德国TR06磁浮车辆为原型，每节车厢长度为24 m，车厢共4个磁浮转向架，每个磁浮转向架由4个悬浮电磁铁组成。计算简图如图3所示。车辆简化为5刚体10自由度模型，刚体之间通过线性的弹簧、阻尼器连接。

图3 车辆模型简图Fig.3 Schematic diagram of train model

为简化分析，采用静悬浮状态的线性化电磁力模型，即一系悬挂等效为常系数的弹簧-阻尼系统(见图3)。线性化处理尽管忽略了电磁铁的响应滞后问题，仍能够较好保证计算精度[10]。电磁力计算公式为

(1)

式中：f为总电磁力;f0为静悬浮状态的悬浮力，f0=(Ms+4Mp)/16，Ms和Mp分别为车体和转向架的质量；kp和cp分别为等效磁隙刚度和等效磁隙阻尼；h为磁间隙;h0为静悬浮状态的间隙，对于常导电磁悬浮(electromagnetic suspension,EMS)列车，磁间隙一般为8～10 mm，本文h0取10 mm。车辆其他参数如表1所示。

由文献[11]可知，分别对车体和转向架做受力分析，考虑车辆的沉浮运动和点头运动，由达朗贝尔原理建立运动方程。

车体的沉浮和点头运动方程分别为

(2)

(3)

(4)

采用五节车厢编组车辆，选取首节为试验车厢，其余四节为数值车厢，试验车厢与数值车厢的建模方法相同，不再赘述。

表1 列车模型参数Tab.1 Parameters of train model

2.2 桥梁模型

磁浮车辆高速通过桥梁桥墩处时，由于此处竖向刚度较大，车辆与桥梁之间产生较大的冲击相互作用，不利于车辆的安全、平稳行驶。为了在实验室准确模拟车辆通过桥墩的耦合振动过程，需要建立较为准确的桥梁模型。对于支座和桥墩模型，若假定桥墩处的竖向刚度远大于桥梁其他位置，则可不必建立较为精细的支座和桥墩模型便可体现桥梁刚度变化情况，较为准确模拟车辆通过桥墩时因桥梁刚度突变而产生的冲击相互作用。简支梁桥桥墩处的冲击相互作用更为剧烈，本文以简支梁桥为例开展研究。

磁浮交通的桥梁结构由上部F型钢轨、轨枕和下部钢筋混凝土梁等组成，一般可采用精细有限元模型[12-13]或者简化的欧拉梁模型[14]来模拟。精细有限元模型计算时间相对较长，无法满足实时混合试验的实时计算要求；把桥梁简化为欧拉梁，简化计算较方便，计算结果可基本满足要求。对于多跨简支梁桥，可将钢轨与钢筋混凝土梁分开建模，并简化为欧拉梁模型，分别体现上部F型钢轨的连续性和下部多跨简支梁的特点，钢轨与钢筋混凝土保持竖向变形协调。本文建立五跨简支梁，跨度为25 m，简支梁间隙Δ为0.01 m，桥梁简图如图4所示。主要参数如表2所示。

图4 桥梁简图Fig.4 Schematic diagram of bridge

表2 桥梁模型参数Tab.2 Parameters of bridge model

按照有限元方法组装整体刚度矩阵和整体质量矩阵，并考虑瑞利阻尼。仿真中，车辆对桥梁的电磁力未施加在节点时，采用梁单元的三次多项式插值函数获取等效节点荷载，单元不发生轴向变形，插值函数轴向分量为0。耦合点处桥梁响应采用上述相同的插值函数求解。将运动方程写成矩阵形式为

Mbab+Cbvb+Kbdb+ATFc=0

(5)

式中：Mb为桥梁质量矩阵;Cb为桥梁阻尼矩阵;Kb为桥梁刚度矩阵;AT为形函数矩阵;Fc为电磁力向量。由式(1)可知，Fc由两部分组成，为车辆重力和因间隙变化对应的等效弹簧力和阻尼力。计算得桥梁前两阶频率分别为6.80 Hz和27.19 Hz，在桥梁自重下，桥梁跨中挠度为6.6 mm。

2.3 振动台台阵模型

振动台台阵由8台振动台组成，取其中一台建模。由文献[15]可知，系统的开环传递函数可表示为

(6)

式中：Kv为开环增益;ωn为油柱共振频率;ξn为系统阻尼比。振动台主要参数如表3所示。

表3 振动台主要参数Tab.3 Primary parameters of shaking table

振动台负载时固有频率ωn=31.52 Hz，开环增益Kv=0.187，阻尼比ξn=0.3。调整伺服放大增益来提高系统的响应速度和阻尼比，并保持系统稳定。振动台系统的基本反馈是位移反馈，引入加速度反馈和速度反馈，组成三参量反馈控制[16]，与三参量前馈控制共同组成振动台控制系统。振动台模型主要控制参数如表4所示。其中：kd为伺服放大增益;kdr为位移前馈参数;kvr为速度前馈参数;kar为加速度前馈参数;kdf为位移反馈参数;kvf为速度反馈参数;kaf为加速度反馈参数。

表4 振动台模型控制参数Tab.4 Control parameters of shaking table model

采用振动台台阵再现桥梁的竖向位移和速度，为了减少振动台数量，降低试验开展难度，每台振动台模型的输入值为与之对应的两个耦合点(如yb11和yb12)位移的平均值，竖向速度通过桥梁位移的差商实现。数值仿真结果表明取两个耦合点位移的平均值对试验精度的降低较小，且能够提高试验方法的可行性，故可采用此简化处理方式。

2.4 时滞补偿模块

加载系统时滞会导致较大的实时混合试验误差，时滞补偿对车桥耦合实时混合试验的成功开展具有至关重要的意义，尤其是对高频信号的补偿效果，直接影响试验的成败。张博等采用基于鲁棒线性二次高斯控制的自适应时间序列算法补偿时滞，具有较好的时滞补偿效果，为车桥耦合实时混合试验的实施提供一定参考。

本文采用两级自适应时滞补偿方法[17-18]对振动台台阵系统进行时滞补偿。两级自适应时滞补偿方法如图5所示。第一级采用二阶多项式外插补偿时滞，第二级采用基于最小二乘法的自适应方法对剩余时滞进行精细补偿。具体实施步骤为：0～0.1 s内，只采用多项式外插补偿时滞，0.1 s后，同时采用多项式外插和自适应时滞补偿方法。图中:ya为期望位移；yac为自适应方法计算值;ym为位移实测值；θa为模型参数，初始参数θa取[1；0；0；0]，试验初期的时滞补偿效果受初始参数等的影响。

图5 两级自适应时滞补偿方法Fig.5 Schematic of the two-stage adaptive delay compensation method

3 数值仿真及结果分析

由车辆模型和桥梁模型建立整体数值分析模型，加入振动台台阵模型和时滞补偿模块开展实时混合试验模拟。设定车辆由桥梁前1 000 m处驶向桥梁，并假定上桥前车辆和桥梁均不发生振动。

3.1 位移与速度时程对比

设置车辆运行速度分别为400 km/h，500 km/h和600 km/h。首节车厢yb11耦合点处混合试验仿真与数值模拟的位移时程对比，如图6所示。不同速度下，二者均能较好吻合，仅在峰值处有些许误差。中间跨的位移响应小于两端跨，这是由于F型钢轨对中间跨的约束作用较强，导致桥梁端跨的挠度较大。车辆通过桥墩时，位移时程出现尖点，复现了冲击相互作用。

图6 位移时程的对比Fig.6 Comparison of displacement time histories

为了评估混合试验仿真相对数值模拟的误差，采用均方根误差和最大幅值误差进行评价，计算公式方根误差

最大幅值误差

表5 不同车速时位移误差指标Tab.5 Displacement error indices for different train speeds

首节车厢yb11耦合点处混合试验仿真与数值模拟速度时程的对比如图7所示。车辆通过桥墩时位移时程出现尖点，速度时程应发生突变，且随着速度的提高，速度突变越大(见图7)。由于耦合点在桥墩处的速度变化较大，混合试验仿真对速度时程的吻合效果相对较差，表明该试验方法对加载系统的动力性能提出较高要求。

图7 速度时程的对比Fig.7 Comparison of velocity time histories

yb11耦合点处速度时程的均方根误差和最大幅值误差，如表6所示。与位移时程相比，均方根误差变大，表明速度模拟精度降低。当车速较高时，列车快速过桥，冲击发生的频率更高、冲击作用更大，对加载系统的动力性能要求更高，对试验开展带来较大挑战。

表6 不同车速时速度误差指标Tab.6 Velocity error indices for different train speeds

3.2 悬浮间隙时程对比

车辆通过桥墩时与桥梁产生较大的冲击作用，悬浮间隙有明显变化，影响车辆的悬浮控制作用，对混合试验的精度可能有较大的影响。

时速500 km/h混合试验仿真与数值模拟的悬浮间隙控制结果比较如图8所示。车辆上桥前，车辆与桥梁均不发生振动，悬浮间隙稳定保持在10 mm。车辆在桥面运行时，当车辆通过桥墩，由于桥梁竖向刚度的变化，会出现悬浮间隙的突变；混合试验仿真结果在首跨产生较大的差别主要由于仿真初期参数估计精度较低，且受初始参数影响较大，影响了加载效果。离开桥面后，振动台台阵不再振动，只有车辆自身振动，悬浮间隙保持较为规律的振动，混合试验仿真与数值模拟吻合较好。混合试验仿真与数值模拟相比，悬浮间隙总体吻合较好，仅在桥墩处因冲击相互作用有稍大差异，但能够较好的在平衡位置波动。该图表明，混合试验仿真结果与数值模拟基本一致，混合试验可行，能够实现评估耦合振动与冲击的目的。

图8 500 km/h车辆悬浮间隙控制结果Fig.8 Result of suspension gap control for speed of 500 km/h

3.3 时滞补偿效果

时滞补偿效果影响混合试验的精度，对实时混合试验具有重要意义。车速为500 km/h时混合试验的数值仿真结果如图9所示。对振动台台阵系统分析得系统时滞约为8.4 ms，经时滞补偿后，期望位移与响应位移相位差约为2 ms，两级自适应时滞补偿方法对系统有较好的补偿效果。期望位移与响应位移在第一个峰值处误差较大，主要由于仿真初期参数估计精度较低，且受到初始参数等的影响，降低了对幅值误差的补偿效果。

由图9可知，命令位移幅值略大于期望位移。加入时滞补偿模块前振动台台阵系统命令位移与响应位移的对比图，如图10所示。系统输入为幅值1 mm、频率为10 Hz的正弦波信号。可见，命令位移的频率相对较高时，振动台台阵系统会产生较大的幅值衰减。因此，采用自适应时滞补偿时，为了降低期望位移与响应位移之间的误差，算法需要使命令位移的幅值略大于期望位移(见图10)。

图9 500 km/h混合试验数值仿真结果Fig.9 Simulation result of hybrid test for train speed of 500 km/h

图10 振动台系统命令位移与响应位移对比图Fig.10 Comparison of command and response displacements of shaking table system

4 结 论

本文将实时混合试验方法应用于高速磁浮列车-桥梁耦合振动试验，阐述了方法原理与流程，建立了系统数值模拟模型，开展了数值模拟。主要结论如下：

(1)整体上，混合试验模拟结果与整体数值仿真结果吻合较好，表明高速磁浮列车的车桥耦合实时混合试验具有可行性。

(2)车辆通过桥墩时与桥梁产生较大的冲击相互作用，准确复现该相互作用对加载系统的动力性能要求较高，此类实时混合试验仍然存在较大困难。