弹性梁中端惯容型非线性能量汇振动抑制研究

高志通， 方 勃， 张 振

(沈阳航空航天大学 航空宇航学院，沈阳 110136)

欧拉-伯努利梁作为工程实际应用中众多结构的简化模型，例如在航空航天、船舶制造以及汽车工业等领域中应用较广，严重的振动环境会导致结构件的损害，因此对欧拉-伯努利梁进行振动抑制研究具有重要的工程意义。近年来，利用非线性能量汇(nonlinear energy sink，NES)对控制系统进行振动控制设计已越来越引起国内外诸多学者的重视和深入研究，与传统线性吸振器相比较而言，NES具有减振频带宽、可靠性好、鲁棒性强等优点。张也弛[1]对NES连接一个两自由度线性主结构的对象进行了研究，结果表明单自由度NES具有良好的宽频减振效果。Al-Shudeifat[2]研究了一种基于磁力的新型非线性能量汇系统，结果表明与基于对称刚度的NES相比，此装置更加紧凑，而且更加有效。李海勤[3]利用增量谐波平衡法研究了阻尼非线性的NES的动力学性质和减振效果。Yang等[4]研究表明经过适当设计的NES可以通过非线性节拍，不可逆目标能量转移或者不同参数下有效吸收和消散宽频能量。刘中坡等[5]对NES的非线性刚度进行了优化分析，设计并开展了振动台试验。Chen等[6]研究了耦合有NES的桁架作为夹层的梁结构，分析了系统在冲击和谐波载荷下的动力学行为。臧健[7]以非线性能量汇为对象，提出了一种广义振动抑制评价方法，对带有杠杆式NES的系统进行了复杂动力学行为分析。为了增强非线性能量汇的减振性能，对非线性能量汇进行设计改造已经成为了热门研究方向，于是一些新型的非线性能量汇脱颖而出。例如：Al-Shudeifat等[8]提出了一种不同于纯立方刚度非线性力的具有变化非线性恢复力分量的新型非线性能量汇；Habib等[9]提出一种双稳态调谐非线性能量汇，表明这种新型NES具有更有效的振动能量吸收效应。由于非线性能量汇存在大质量的需求，特别在航空航天领域，对质量大小的要求非常重要，这也是非线性能量汇在工程中应用较少，仍在理论和试验阶段的重要原因。Zang等[10]通过引入杠杆来减小所需质量，提出了一种新型的非线性能量汇，并让杠杆式非线性能量汇应用于两自由度系统。但是杠杆式非线性能量汇会使结构变得较为复杂，而且杠杆式非线性能量汇中的惯性原件仍然采用的是质量块，不免会存在大质量的情况。因此对于小质量非线性能量汇的研究在科学研究以及工程应用中具有重要意义与价值。

惯容器是一种提供惯性参数的机械元件，最早由剑桥大学的学者Smith[11]提出，并将其命名为惯容器。惯容器具有两个连接终端，与质量都可作为惯性元件，但与质量不同的是，惯容器可以提供比其质量大得多的惯性系数且可调节。惯容器具体原理如下。

螺母旋转式滚珠丝杠惯容器，如图1所示，其原理公式为

(1)

式中：J为飞轮的转动惯量；p为丝杠的螺距；b为惯容器的惯性系数， kg，惯容器的物理性质与一个同等质量的质量块相似。根据式(1)可知，惯容器对飞轮旋转过程中产生的惯性质量进行了放大，从而能使较小的飞轮自质量实现上百千克的惯性质量，例如，滚珠丝杠惯容器的质量为1 kg，但其可调节到惯性为100 kg，从而为实际应用提供了有利条件。

由于这一特性，惯容器得到广泛关注与研究。研究表明，惯容器主要应用于线性减振装置之中，并且已经在工程中成功应用，例如车辆悬架系统[14]、火车悬架系统[15]，而且证明具有良好的减振效果。惯容器在飞机起落架[16]、工程建筑[17]、电缆[18]、大跨度桥梁[19]上也有所应用，并在斜拉索[20]上进行了接地使用研究。因此，将惯容器应用于弹性梁中端接地使用具有一定创新性，可为惯容器工程实际应用提供一定的理论支撑。但是，惯容器与NES相结合的研究还相对较少。Zhang等[21]提出了一种结合有惯容器的新型NES原型，并应用复平均法对耦合系统进行了振动控制分析。Zhang等[22]提出一种惯容型非线性能量汇，克服了带有惯容器的非线性能量汇存在大质量的缺陷，表明惯容型非线性能量汇比传统非线性能量汇具有更高的减振性能和更小的附近质量，促进和拓宽了惯容器的工程应用。董彦辰等[23]人设计并考察了一种基于非线性能量汇的新型非线性减振装置，通过以惯容器替代传统惯性元件以减少负载质量，并在系统中整合了基于超磁致伸缩材料的能量采集器，对其进行动力学分析。对于轴向运动梁的横向振动问题，不少学者也做了大量的研究：陈红永等[24]研究了轴向运动梁在轴向载荷作用下的振动特性；谭霞等[25]研究了在外部激励作用下，超临界轴向运动梁横向非线性振动的稳态响应，并研究了Euler-Bernoulli梁理论的适用范围；赵小颖等[26]应用哈密顿原理，对带有中间弹簧支撑的轴向运动梁的横向振动进行了动力学分析； Zhang等[27]研究了一种具有附加非线性能量汇的轴向运动梁的强迫振动控制方法，并从频域角度分析可得NES对梁的固有频率的影响不大；李炀等[28]研究了在外部激励作用下，两端带有弹簧支撑的轴向运动梁的横向振动特性；田耀宗等[29]论述了研究轴向运动梁振动问题的方法，并对轴向运动悬臂梁进行了计算分析和讨论。两端简支梁中端的振动往往是非常大的，主要是由于梁的第1阶主共振引起的，因此，对简支梁中端进行振动抑制具有较好实际效果。以惯容器代替非线性能量汇中的传统质量来克服非线性能量汇大质量的缺陷，并将其应用于简支梁中端具有一定创新性，并为工程实际应用提供了一定的理论支撑。

图1 螺母旋转式滚珠丝杠惯容器Fig.1 Inerter with nut rotation

本文提出用惯容型非线性能量汇对简支梁横向振动进行非线性振动抑制，并分析了惯容型非线性能量汇的参数变化对系统减振效果的影响，在一定程度上促进和拓宽了惯容型非线性能量汇与弹性梁相结合的工程应用。

1 带有惯容型非线性能量汇减振器的弹性梁系统

带有惯容型非线性能量汇的弹性梁横向振动力学模型，如图2所示。图2中：L为梁的长度；T为时间坐标；X为梁的轴向坐标；W(X，T)为梁的横向振动位移；F为梁受到均匀分布的力，F(X,T)=F0cos(ΩT)，F0和Ω分别为外激励力的线密度大小和频率。梁的中端连接着惯容型非线性能量汇减振装置。惯容型非线性能量汇的弹簧阻尼端与梁连接，惯容器端连接在地面上。kN为惯容型非线性能量汇的立方非线性刚度；cN为惯容型非线性能量汇的阻尼；bN为惯容型非线性能量汇的惯性，惯容器以较小的质量提供了更大的惯性，弥补了NES附加大质量的缺陷；UN为惯容型非线性能量汇的位移。

图2 中间带有惯容型非线性能量汇的弹性梁系统Fig.2 A elastic beam system with inertial nonlinear energy sink in the middle

由广义哈密顿原理、变分法以及分部积分法得到系统的动力学方程

(2)

式中：Wd为梁的中间部位的位移；d为L/2。

两端简支梁的边界条件为

(3)

无量纲参数如下

(4)

把式(2)进行无量纲化处理得

(5)

无量纲化后的边界条件为

(6)

弹性梁的材料选定为铝合金，系统的物理参数和几何参数如表1所示。值得注意的是：惯容器的惯性质量bN=0.28 kg，而其实际质量mb=0.002 8 kg。

表1 系统有量纲参数Tab.1 System dimensional parameter

表2 系统无量纲参数Tab.2 System dimensionless parameter

2 稳态幅频响应

2.1 Galerkin截断方程及其收敛性判断

应用Galerkin截断方法将偏微分控制方程式(5)截断为常微分方程，然后应用4阶Runge-Kutta数值方法对系统的时间历程进行求解。

假设控制方程中弹性梁的横向振动位移的近似解为

(7)

式中：N为大于等于1的整数；φn(x)为弹性梁的模态函数；qn(t)为梁横向振动的广义位移。Galerkin方法的势函数和权函数都选择为弹性梁的模态函数。偏微分方程式(5)经Galerkin截断处理后得到的常微分方程组为

(8)

式中，m=1,2,…,N。

(9)

因此，控制方程可以写作

(10)

其中，

(11)

常微分方程式(10)为耦合惯容型非线性能量汇的弹性梁系统在Galerkin截断处理下的动力学方程。分析了Galerkin截断阶数对系统自由振动响应的影响，对其进行收敛性判断。系统的初值设置为

(12)

分别取2阶、4阶和6阶Galerkin截断时系统的自由衰减振动时间历程，如图3所示。可以看出，4阶和6阶截断时的响应是重合的，而2阶截断的响应稍微有些偏差。由此可知，2阶Galerkin截断并不能很好地满足收敛条件，4阶和6阶Galerkin截断均可满足收敛条件。因此对自由衰减振动的分析均采用4阶Galerkin截断。

图3 不同Galerkin截断阶数下的自由衰减振动时间历程：梁中端Fig.3 Time history of free attenuated vibration with different Galerkin truncation orders: beam midpoint

将施加在梁上的均布力激励幅值设为F0=30 N/m，式(12)中的初值全部设为0。利用数值法可得到系统幅频响应曲线的数值解。图4为分别取2阶、4阶和6阶Galerkin截断时系统的稳态幅频响应曲线。如图4所示，在均布简谐力作用下，系统在第1阶和第3阶固有频率时产生两个共振峰。另外，在所选的激励频率范围内，4阶和6阶Galerkin截断的结果是重合的，而弹性梁经2阶Galerkin截断后无法呈现出第三阶固有频率处的共振峰。因此可以判断，4阶Galerkin截断可以满足计算系统稳态幅频响应的收敛性要求。因此在以下仿真计算中，Galerkin截断方程的阶数均采用4阶。

图4 不同Galerkin截断阶数下系统幅频响应曲线：梁中端Fig.4 Amplitude frequency response curves of the system with different Galerkin truncation orders: beam midpoint

2.2 谐波平衡方法求解及其数值验证

经Galerkin截断得到的系统常微分控制方程可以通过谐波平衡方法进行近似解析求解。由于在控制方程中只含立方非线性，因此在谐波平衡求解时只考虑奇数项。设谐波假设解为

(13)

式中：m为Galerkin截断阶数；2i+1为谐波阶数。

谐波平衡方法的推导过程以1阶Galerkin截断方程和1阶谐波假设解为例给出。此时，耦合惯容型非线性能量汇的弹性梁系统的控制方程为

(14)

其中，

(15)

假设1阶谐波解为

q1=a1,1cos(ωt)+b1,1sin(ωt),
uN=aL,1cos(ωt)+bL,1sin(ωt)

(16)

将式(16)代入式(14)中，平衡sin(ωt)与cos(ωt)的系数，得到一组非线性代数方程。

(17)

其中，

AL,1=φL,1a1,1-aL,1,BL,1=φL,1b1,1-bL,1

(18)

求解代数方程组可得到谐波系数，进而可得到系统的幅频响应曲线。前面已讨论过Galerkin截取到4阶较为合适。考虑到方程中的立方非线性，谐波平衡方法假设解中忽略偶数阶和高阶谐波影响，只保留1阶和3阶谐波近似解析求解系统的稳态幅频响应曲线。

如图5所示，对谐波平衡近似解析方法求得的系统稳态幅频响应进行数值验证，结果表明，解析解与数值解具有很好的吻合度。由此可得，解析结果是精确且可信的。此外可以看出，系统响应在第1阶主共振处具有非线性的硬化特性。对比Runge-Kutta数值方法的正向扫频和反向扫频结果，在第1阶主共振处表现出了非线性跳跃现象，而在第3阶主共振处并没有非线性特征。

图5 系统幅频响应解析解与数值解的对比Fig.5 Comparison between analytical solution and numerical solution of amplitude frequency response

3 惯容型非线性能量汇减振效果分析

通过前面分析可以了解到，在均布简谐力激励下，求解4阶Galerkin截断方程只得到了系统的第1阶和第3阶主共振。而且，弹性梁第1阶主共振和第3阶主共振的模态振型关于梁中点呈对称分布。因此，以下对惯容型非线性能量汇的减振的研究中，只给出梁的中端的响应。

3.1 瞬态响应分析

在式(12)所示初值条件下，对比未控系统与耦合惯容型非线性能量汇系统的瞬态响应时间历程，如图6所示。可以发现，耦合惯容型非线性能量汇系统的瞬态响应具有更快的衰减速度。

图6 初始位移激励下的瞬态响应时间历程：梁中端Fig.6 Transient response time history under initial displacement excitation: beam midpoint

对瞬态响应时间历程进行小波变换分析得到如图7～图9所示的时频图。如图7所示，在小位移激励下，未控系统与带有惯容型非线性能量汇系统都只含有一个主要频率成分，在表1和表2的参数条件下，惯容型非线性能量汇的引入对系统的自由衰减振动的固有频率并没有影响。随着初始位移的增大，未控系统的频率成分几乎不变，表明未控系统的鲁棒性很好。随着初始位移的增大，惯容型NES耦合系统的频率成分增多了，频率成分出现了非线性现象。由此可见，惯容型非线性能量汇对弹性梁横向振动的瞬态响应具有有效的减振效果。

图7 初始位移为0.01激励下瞬态响应小波变换时频图Fig.7 The wavelet transform time-frequency diagram of transient response under excitation of 0.01 initial displacement excitation

图8 初始位移为0.02激励下瞬态响应小波变换时频图Fig.8 The wavelet transform time-frequency diagram of transient response under excitation of 0.02 initial displacement excitation

图9 初始位移为0.03激励下瞬态响应小波变换时频图Fig.9 The wavelet transform time-frequency diagram of transient response under excitation of 0.03 initial displacement excitation

3.2 稳态响应分析

通过减振百分比评价惯容型非线性能量汇对稳态响应的减振性能。未加惯容型非线性能量汇控制的弹性梁的主共振最大幅值记为Au，耦合惯容型非线性能量汇的弹性梁的主共振最大幅值记为Ac，则惯容型非线性能量汇的减振百分比为

(19)

当给予均布力激励幅值为F0=10 N/m时，未控系统(uncontrolled)和惯容型非线性能量汇控制系统(with NES)的稳态幅频响应曲线，如图10所示。其中，图10(a)和图10(b)分别表明惯容型非线性能量汇对弹性梁中端第1阶和第3阶主共振的减振效果。显然，惯容型非线性能量汇对弹性梁的主共振响应具有显著的减振效果。梁中端第1阶和第3阶主共振的减振百分比分别为60.900 8%和1.823 0%。可以发现，惯容型非线性能量汇对第1阶主共振的减振效果明显优于对第3阶主共振的减振效果。

当激励幅值为F0=30 N/m时，惯容型非线性能量汇的减振效果如图11所示。可见此时惯容型能量汇在梁中端第1阶主共振的减振百分比分别为63.315 3%。

图10 惯容型非线性能量汇的减振效果F0=10 N/mFig.10 Damping effect of inertial nonlinear energy sink F0=10 N/m

图11 惯容型非线性能量汇的减振效果F0=30 N/mFig.11 Damping effect of inertial nonlinear energy sink F0=30 N/m

当激励幅值为F0=50 N/m时，惯容型非线性能量汇的减振效果，如图12所示。可见此时惯容型能量汇在梁中端第1阶主共振处的减振百分比为66.527 7%。

图12 惯容型非线性能量汇的减振效果F0=50 N/mFig.12 Damping effect of inertial nonlinear energy sink F0=50 N/m

通过比较三种激励幅值下惯容型非线性能量汇的减振效果发现，对于第1阶主共振，激励幅值的变化对减振效果具有显著的影响。相比于小激励幅值F0=10 N/m，中等激励F0=30 N/m时和大激励幅值F0=50 N/m的减振百分比分别增加了2.414 5%和5.626 9%。显然，激励幅值越大，惯容型非线性能量汇的减振效果越好。此外，分析耦合惯容型非线性能量汇系统的幅频响应曲线发现，激励幅值越大，第1阶主共振响应的非线性硬化现象越强。激励幅值的变化对第3阶主共振处惯容型非线性能量汇的减振效果的影响较小，但也可以看出随着激励幅值的增大，第3阶模态的减振百分比有所增加。

4 惯容型非线性能量汇的参数影响

惯容型非线性能量汇的三个参数分别是惯容器的惯性质量，阻尼器的阻尼以及非线性弹簧的立方非线性刚度，参数的选择对于惯容型非线性能量汇的减振效果具有直接的影响。因此，研究参数的变化，对于分析惯容型非线性能量汇对系统的减振效果具有重大的意义。惯容型非线性能量汇的参数见表1，激励幅值选择为F0=30 N/m，参数的选择基于稳态响应来展开分析。

4.1 惯容型非线性能量汇惯性质量的影响

惯容型非线性能量汇的惯性质量对于系统的幅频响应的影响，如图13所示。惯性质量的取值范围为0.056～0.560 kg。如图13可知，对于第1阶主共振响应，随着惯性质量的增大，幅频响应曲线的共振峰值向左上方移动，减振效果呈逐渐减小的趋势。惯性质量较小时，第1阶主共振峰值处的非线性硬化现象越明显。而惯性质量变化对第3阶主共振几乎没有影响。

4.2 惯容型非线性能量汇阻尼参数的影响

惯容型非线性能量汇阻尼的变化对幅频响应曲线的影响，如图14所示。阻尼的取值范围为1～150 N·s/m。显然，阻尼参数的变化对第1阶主共振和第3阶主共振都有明显的影响。第1阶主共振最大幅值随着惯容型非线性能量汇阻尼的增大呈现出先减小后增大的趋势，由此可见，阻尼参数存在一个最优值。另外，随着阻尼的增大，第1阶主共振峰值一直在向左发生偏移，也就是说，惯容型非线性能量汇阻尼的变化会对系统的固有频率产生一定的影响，阻尼越大，第1阶固有频率减小的越大。由图14(a)发现，最优阻尼值约为60 N·s/m。而图14(b)中，第3阶主共振峰值随惯容型非线性能量汇阻尼的增大一直在减小，增大阻尼，峰值会不断减小，第3阶主共振在阻尼增加到一定程度后不断趋于消失的状态。

图13 惯容型非线性能量汇惯性质量对幅频响应曲线的影响Fig.13 The influence of inertial mass on amplitude frequency response curve of inertial nonlinear energy sink

图14 惯容型非线性能量汇阻尼参数对幅频响应曲线的影响Fig.14 The influence of the damping parameters of inertial nonlinear energy sink on the amplitude frequency response curve

4.3 惯容型非线性能量汇立方非线性刚度的影响

惯容型非线性能量汇的立方非线性刚度变化对系统幅频响应曲线的影响，如图15所示。立方非线性的取值范围为1×107～1.5×108N/m3。如图15(a)所示，随着立方非线性刚度的增加，第1阶主共振的峰值向右下方移动，增加了减振效果，此时幅频响应曲线呈现出更强的非线性硬化特性。在第3阶主共振处，不同立方非线性刚度下的系统幅频响应曲线几乎是完全重合的。惯容型非线性能量汇立方非线性刚度的变化对第3阶主共振也是没有影响的。

图15 惯容型非线性能量汇立方非线性刚度对幅频响应曲线的影响Fig.15 The influence of inertia nonlinear energy sink cubic nonlinear stiffness on the amplitude frequency response curve

5 惯容型非线性能量汇参数的最佳取值范围

通过惯容型非线性能量汇参数对幅频响应曲线的影响了解到，参数变化对系统第1阶主共振响应的影响较大，因此，参数研究只考虑第1阶主共振。减振百分比可以直接反应减振效果，由式(19)可以确定，在前面分析看出存在最佳减振效果阻尼值，因此将惯容型非线性能量汇的惯性质量取为定值，讨论在不同激励力和不同梁弯曲刚度EI下，阻尼和立方非线性刚度的变化对惯容型非线性能量汇减振效果的影响。

5.1 不同激励力下惯容型非线性能量汇最佳取值范围

由二维等高线图16～图18可以看出阻尼和立方非线性刚度存在最佳的取值范围，比较发现，针对梁中端，最佳立方非线性取值均在其最大值，最佳阻尼值随着惯性质量的变化会有所改变。

图16 梁中端最佳阻尼附近二维等高线图F0=10 N/mFig.16 Two dimensional contour near the best damping of the midpoint of beam F0=10 N/m

图17 梁中端最佳阻尼附近二维等高线图F0=30 N/mFig.17 Two dimensional contour near the best damping of the midpoint of beam F0=30 N/m

图18 梁中端最佳阻尼附近二维等高线图F0=50 N/mFig.18 Two dimensional contour near the best damping of the midpoint of beam F0=50 N/m

由图16～图18可知，改变激励大小，不同惯性质量下的惯容型非线性能量汇的最佳参数值如表3所示。

表3 不同激励下梁中端最佳减振效果时惯容型非线性能量汇参数值Tab.3 The numerical value of inertial nonlinear energy convergence for the best vibration reduction effect at the middle end of beam under different excitations

由表3可知，在同一激励下，随着惯性质量的增加，达到最佳减振效果的阻尼会逐渐增加，减振效果也会越来越好；当惯性质量相同时，随着激励幅值的增大，达到最佳减振效果的阻尼相差不大。

5.2 梁不同弯曲刚度下惯容型非线性能量汇最佳取值范围

由二维等高线图19～图21可以看出阻尼和立方非线性刚度存在最佳的取值范围，比较发现，针对梁中端，最佳立方非线性取值均在其最大值，最佳阻尼值随着惯性质量的变化会有所改变。

由图19～图21可知，改变梁弯曲刚度EI大小，不同惯性质量下的惯容型非线性能量汇的最佳参数值，如表4所示。

图19 梁中端最佳阻尼附近二维等高线图EI=110.053 N·m3Fig.19 Two dimensional contour near the best damping of the midpoint of beam EI=110.053 N·m3

图20 梁中端最佳阻尼附近二维等高线图EI=115.063 N·m3Fig.20 Two dimensional contour near the best damping of the midpoint of beam EI= 115.063 N·m3

图21 梁中端最佳阻尼附近二维等高线图EI=120.073 N·m3Fig.21 Two dimensional contour near the best damping of the midpoint of beam EI= 120.073 N·m3

表4 梁不同弯曲刚度下梁中端最佳减振效果时惯容型非线性能量汇参数值Tab.4 The numerical value of inertial nonlinear energy convergence for the best vibration reduction effect at the middle end of beam under different bending stiffness of beam

由表4可知，在同一梁弯曲刚度下，随着惯性质量的增加，达到最佳减振效果的阻尼逐渐增加，减振效果也越来越好；当惯性质量相同时，随着梁弯曲刚度的增大，达到最佳减振效果的阻尼相差不大，且减振效果相差很小。

6 结 论

本文研究了中端下方连接有惯容型非线性能量汇(inertialnonlinear energy sink，I-NES)的弹性梁系统的振动响应。应用伽辽金方法离散系统的偏微分方程，基于谐波平衡方法近似解析求解系统的稳态幅频响应曲线，并对其进行数值验证。通过调节惯容型非线性能量汇的惯性质量、阻尼参数以及立方非线性刚度的大小，分析了惯容型非线性能量汇参数的改变对于系统减振效果的影响，并讨论了参数的最优取值范围。具体结论如下：

(1) 惯容型非线性能量汇能够以较小的附加质量实现有效的振动抑制，降低了振动控制的成本。在周期激励和瞬态激励下，应用于梁中端的惯容型非线性能量汇可以有效抑制弹性梁的横向振动。

(2) 参数研究表明，对于系统第1阶主共振，随着I-NES惯性质量的减小和立方非线性刚度的增加，减振效果不断增强。随着I-NES阻尼的增大，减振效果呈现出先增大后减小的趋势，因此阻尼存在最优值。

(3) 对于系统第3阶主共振，随着激励幅值的变化、I-NES惯性质量以及立方非线性刚度的增加，减振效果几乎没有影响。而当I-NES阻尼增加到一定程度后，第3阶主共振呈不断趋于消失的状态。

(4) 惯性质量越大，最优阻尼值越大，减振效果越好。优化后的I-NES减振百分比可高达98%，在不同激励和不同梁弯曲刚度下，最优阻尼值变化不大，对工程研究和设计提供了一定理论支撑。