注水压力和溶洞内压对水力裂缝扩展影响模拟研究

叶燊，乔江美，李同春

（1.武汉大学土木建筑工程学院，湖北武汉 430072；2.华能涪江水电有限责任公司，四川绵阳 622553）

在全球油气资源中，碳酸盐岩油藏分布非常广泛，其油气储量占世界油气资源总量一半以上，具有极其重要的地位[1−2]。我国碳酸盐岩油藏资源非常丰富，所含石油天然气资源量占全国油气资源总储量的27 %，在我国油气发展战略中起着重要作用[3−4]。相比其他国家，我国的碳酸盐岩油藏以缝洞型储层为主，大型洞穴是缝洞型油藏中主要的储集空间[5−6]，当溶洞无法直接和井眼沟通时，工程上常采用水力压裂技术产生水力裂缝沟通井眼和溶洞，实现缝洞型储层体积改造。因此，水力裂缝扩展路径对提高油气产量十分重要。

近年来对水力压裂的研究方法主要有室内试验和数值模拟两方面。室内试验方面：吴拥政等[7]结合真三轴水力压裂试验和工业CT 扫描，研究不同水平地应力差下水力裂缝起裂及扩展规律；邵长跃等[8]在水力压裂试验中利用声发射技术研究不同压裂液泵入流量与破裂压力及裂缝网络复杂程度之间的关系。姜浒等[9]通过试验研究定向射孔方位角等因素对水力裂缝起裂、扩展、形态的影响；陈勉等[10]在试验中模拟地层条件，分析节理、断裂韧性和天然裂缝如何影响水力裂缝扩展；翁振等[11]通过制作带有空洞的水力压裂试件，采用试验的方法研究泵注排量和无内压溶洞对水力裂缝扩展的影响。相比于数值模拟，试验的试样尺寸受试验设备限制，试样的各向异性、试验条件等因素会对试验结果造成影响，且制作存在天然溶洞的试样难度较大。数值模拟方面：王学敏[12]利用ABAQUS 模拟讨论不同预制裂缝角度下裂缝偏转角度和宽度的变化。龚迪光等[13]基于XFEM 方法，提出一种水力裂缝扩展新算法，研究不同压裂液排量、黏度对起裂压力和裂缝形态的影响。唐巨鹏等[14]通过ABAQUS 模拟软件建立三维页岩压裂模型，得到压裂液流速越大裂缝越趋于“长、细、弯”形态的结论。白凯华[15]采用cohesive 单元分析压裂液流体特性、排量等因素对裂缝几何尺寸的影响，但cohesive 单元方法需预制裂缝面，无法模拟真实情况。徐成[16]利用ABAQUS 中的XFEM 模块建立二维压裂模型，研究水平应力比、切槽角度对水力裂缝偏转距和扩展路径的影响，没有进行三维模型的计算。潘林华等[17]基于流—固耦合和损伤力学理论，建立缝洞型油藏有限元模型，模拟分析天然裂缝和缝洞体对水力裂缝转向极限水平应力差的影响，对溶洞如何影响水力裂缝扩展路径考虑较少。王毓杰等[18]采用单元劈裂法研究地应力差对裂缝沟通溶洞的影响，但模型尺寸偏小，没有考虑溶洞内压。李林地等[19]应用损伤力学理论，建立缝洞型储层的物理和数学模型，研究在天然裂缝和缝洞体干扰下水力裂缝的走向。

国内外学者对地应力差、压裂液排量、射孔角度、压裂液流体特性等因素进行了大量研究，得到了一系列的结论。然而针对缝洞型油藏中水力裂缝扩展的研究尚少，溶洞对水力裂缝扩展路径影响机制尚不明确。并且以往的模拟条件设置比较理想，如忽略了溶洞内压力的存在，与实际工程情况存在一定的差异。因此，开展不同注水压力和溶洞内压对水力裂缝扩展影响的相关研究。

1 TOUGH−AiFrac基本原理

TOUGH−AiFrac 耦合关系见图1，AiFrac 求解岩石的变形和裂缝的扩展，TOUGH 计算流体流动和流体压力，两者逐步相互迭代求解。

图1 TOUGH-AiFrac耦合原理Fig.1 Coupling principle of TOUGH-AiFrac

AiFrac 基于杂交有限元—无网格法(Finite Element−Meshfree Method)计算固体变形和裂缝扩展。在FEMM 算法中包含3种单元：裂缝穿过的裂缝单元、与裂缝单元相邻的过渡单元、余下的FE（有限元）单元。存在2 种节点：裂缝单元包含的PU（单位分解）节点和FE 单元包含的FE 节点。在单元域Ω上，对于任意点a={x，y，z}的整体近似uh(a)为[20]：

式中：uh(a)是全局近似，ui(a)是节点i的局部近似，ωi(a)是一组总和为1的非负权重函数。

针对裂缝单元，为了正确表示裂缝面的不连续位移场。定义ψΩ作为裂缝单元的节点集合，可见区域(a) ⊂ψΩ定义为[20]：

式中：ai是节点i的坐标，使用Shepard 公式计算裂缝单元的权函数，构造沿裂缝面的不连续近似。在节点a上，所有非零子权重函数φ'={φ'1,φ'2,φ'3,φ'4}定义为：

裂缝单元在节点i处的权函数为：

其中，φi(a)由四面体单元上的有限元形函数构成。

式中：P1，P2，P3，P4为四面体四个顶点，vol(P1P2P3P4)为四面体单元体积，vol(P(t)PiPjPk)为四面体中任意一点P(t)和三个顶点{}Pi，Pj，Pk组成的四面体单元体积。

采用标准有限元公式作为过渡单元的权函数，即：ωi(t) =φi(t)。FE 单元形函数为传统有限元形函数。

对TOUGH 中的TOUGHREACT 模块进行耦合，在模拟过程中假设温度恒定。TOUGH 是计算地质介质中多相和多组分流体流动和传热的软件，采用基于积分有限差分（IFD）的空间离散化和Newton−Raphson 方法，对每个时间步内各组分的质量平衡方程和能量平衡方程进行线性化。在TOUGH 中质量控制方程为一般的守恒形式：

式中：Qκ是组分κ的能量通量，kg（/m3·s）；是流体相中组分κ的流量，kg（/m3·s）；Mκ是组分κ的单位体积质量，kg/m3；计算如下：

式中：φ是孔隙度；Sl是饱和度；ρl是流体相密度，kg/m3；是流体相中组分的质量分数。

每个组分的质量通量为平流与非平流通量之和：

式中：ka是绝对渗透率，m2；krl是流体相相对渗透率；μl是流体相黏度，Pa·s；pl是流体相压力，Pa；g是重力加速度，m/s2；iκl是流体相中组分κ的扩散通量，kg/（m3·s）。

由Fick定律计算得到：

式中：Dv是多孔介质中有效分子扩散系数，取决于温度、气压、介质曲折率和气体饱和度。

对时间进行一阶有限差分离散化，结合上述方程，对时间tk+l=tk+ Δt上未知热力学参数采用完全隐式格式。平衡方程可变换为：

式中：R为残差，kg/m3；V为单元体积，m3；M为单位体积质量，kg/m3；qm为通量，kg/（m2·s）；Am为单元面面积，m2；Q为源项，kg/（m3·s）。采用Newton−Raphson迭代方法将非线性问题转化为线性方程，不断迭代直至达到相应的收敛条件。

TOUGH−AiFrac 耦合了TOUGH 和AiFrac 两个求解器，其中AiFrac基于有限无网格算法(FEMM)，具有显示获得裂缝扩展形态，无须重新划分网格、网格依赖性小[21]的优点；TOUGH 求解器可以对多相流、多组分及等温问题进行模拟求解。因此，TOUGH−AiFrac 耦合求解器适用于解决缝洞型油藏中流—固耦合问题。

2 注水压力对裂缝扩展影响

建立100 m×100 m×2 m 的三维模型（图2）。水平最大主应力（σH）沿x方向分布，水平最小主应力（σh）沿y方向分布，σH=10 MPa，σh=5 MPa，σH/σh为2.0。在模型中心建立一条长10 m 的水力裂缝，模拟与最大主应力夹角60°的射孔，模型参数参照张耀峰等[21]，岩石杨氏模量13 GPa，岩石泊松比0.2，岩石密度2 650 kg/m3，岩石孔隙度0.15，裂缝孔隙度0.25，岩石渗透率3×10−20m2，裂缝渗透率3×10−14m2。研究6 种不同注水压力，即8、12、16、20、24、32 MPa 下的裂缝扩展规律。

图2 计算模型示意图Fig.2 Schematic diagram of calculation model

2.1 不同注水压力裂缝起裂

算例共设置10 个扩展步，取裂缝第一扩展步的模拟结果进行分析，研究不同注水压力对水力裂缝起裂的影响。图3a 所示，将水力裂缝第一步扩展方向与裂缝初始方向的夹角定义为裂缝起裂角α，水力裂缝起裂角度与注水压力之间的关系见图3b。由图可知，6 种注水压力下的起裂角分别为72.8°、30.8°、17.3°、15.7°、12.2°、8.4°，并且随着注水压力的不断增加，起裂角度逐渐减小。对起裂结果进行拟合，起裂角度和注水压力之间满足乘幂关系，角度变化幅度同样随注水压力的增加而减小。16 MPa（即1.6 倍水平最大主应力）为起裂角度变化的临界水压值，当注水压力小于16 MPa 时，随注水压力的上升起裂角度减小较快，注水压力增加8 MPa 起裂角减小了55.5°，下降幅度为76.2%；注水压力达到16 MPa后，增加相同幅度的水压，起裂角减小均小于6°，下降幅度分别为29.5 %和31.3 %，下降幅度显著变缓。注水压力较小时，裂缝起裂受注水压力的影响较大，随着注水压力的增加，裂缝起裂方向逐渐趋于稳定，起裂受水压影响减小，起裂角度变化较小。

图3 不同注水压力裂缝起裂角Fig.3 Fracture initiation angle under different water injection pressure

2.2 不同注水压力裂缝扩展

不同注水压力下裂缝最终扩展结果见图4。注水压力为8 MPa 的水力裂缝在地应力的作用下最终沿着最大水平主应力方向扩展，当注水压力增加到24 MPa（即2.4 倍水平最大主应力）之后，裂缝扩展受地应力的影响相较于低注水压力时有明显减弱，裂缝更加倾向于沿着初始方向扩展，裂缝形态更加平滑，此时再增加注水压力对裂缝形态影响较小。注水压力越大，水力裂缝开度越大，裂缝尖端应力集中越明显，不同注水压力下的裂缝扩展形态表明，注水压力较小时，水力裂缝扩展受地应力作用影响明显。

图4 不同注水压力下裂缝扩展结果Fig.4 Fracture propagation results under different water injection pressure

为进一步量化注水压力影响指标，取裂缝尖端到裂缝初始位置中点的竖直距离作为裂缝的偏转距离L1（图5a），不同注水压力下的裂缝偏转距离见图5b。由偏转距离结果可知，随着注水压力的增加，裂缝偏转距离不断增加。较小注水压力时，偏转距离随注水压力的增加上升较快，当注水压力增加到24 MPa后，偏转距离增加幅度明显变缓，裂缝形态更加倾向于初始方向，逐渐趋于稳定，表明注水压力对水力裂缝扩展的影响是有限的。结合裂缝起裂角度、最终扩展形态和偏转距离结果得出，注水压力越大，水力裂缝受地应力的影响越小。

图5 不同注水压力下裂缝偏转距离Fig.5 Fracture deflection distance under different water injection pressure

3 溶洞内压对裂缝扩展影响

为了研究在不同溶洞内压和不同注水压力共同作用下水力裂缝的扩展规律，建立100 m×100 m×2 m存在溶洞的三维模型（图6）。其中，溶洞球心坐标为（60，45，1），半径5 m，内部流体压力分别为5、10、15、20、25、30、35、40 MPa。地应力分布同第2 章，最大水平主应力σH=10 MPa，最小水平主应力σh=5 MPa。为了减小地应力对水力裂缝扩展的影响，更好地研究溶洞内压和注水压力对水力裂缝的作用，在模型中沿最大主应力方向建立长度为10 m 的裂缝，其两端坐标分别为（35，55）、（45，55），从初始裂缝中点恒压注水，讨论16、24、32 MPa三种不同注水压力下8种不同溶洞内压对水力裂缝扩展的影响。

图6 存在溶洞计算模型示意图Fig.6 Schematic diagram of calculation model with karst caves

3.1 无溶洞裂缝扩展

图7为注水压力16 MPa 不存在溶洞的裂缝扩展结果。由于最大水平主应力沿x方向分布且初始水力裂缝方向与最大主应力方向重合，在注水压力和地应力的共同作用下水力裂缝沿最大水平主应力方向扩展，无偏转现象发生。

图7 无溶洞裂缝扩展结果Fig.7 Fracture propagation result without karst cave

3.2 不同溶洞内压裂缝扩展

注水压力24 MPa时不同溶洞内压下裂缝扩展结果见图8。对比存在溶洞和无溶洞的模拟结果可知，溶洞的存在改变了水力裂缝的扩展路径，对水力裂缝扩展有较大影响。以注水压力24 MPa的结果为例进行分析，因为裂缝初始方向与最大主应力方向重合，所以在远离溶洞的一端，水力裂缝沿着最大主应力方向扩展，扩展结果与3.1 节不存在溶洞的结果相同。在靠近溶洞的一端，由于溶洞的存在改变了周围应力场的分布及裂缝尖端最大主应力方向，使溶洞一定范围内的岩体产生拉应力区，表现为存在内压的溶洞对水力裂缝具有吸引作用，并且随着溶洞内压的增大，拉应力区不断增大（图9），吸引作用不断增强（图10a）。低溶洞内压（5、10、15 MPa）时溶洞对水力裂缝的吸引作用较弱，地应力影响高于溶洞影响，裂缝倾向于沿初始方向扩展，偏向溶洞的幅度较小，最终未能沟通溶洞。中溶洞内压（20、25 MPa），即溶洞内压达到2倍水平最大主应力后，溶洞对裂缝的吸引作用有所加强，溶洞的影响程度高于地应力，裂缝偏向溶洞的幅度增大，水力裂缝尖端扩展至溶洞边缘。高溶洞内压（30、35、40 MPa），溶洞影响作用完全占主导作用，吸引作用最强，溶洞一端的裂缝曲率最大，水力裂缝在溶洞的吸引作用下完全偏向溶洞，成功沟通溶洞。

图8 注水压力24 MPa下不同溶洞内压裂缝扩展结果Fig.8 Crack propagation results of different cave internal pressure under water injection pressure of 24 MPa

图9 不同溶洞内压拉应力区Fig.9 Tensile stress zone of caves with different internal pressures

将不同条件下溶洞对水力裂缝的吸引作用进行量化，定义水力裂缝尖端到裂缝初始位置的竖直距离为溶洞对裂缝的吸引距离L2（图10b）。不同注水压力和溶洞内压下的吸引距离见图11。由图11 可知，随着溶洞内压的增加，3 种注水压力下的吸引距离都不断上升，吸引作用不断增强。低溶洞内压时，吸引作用较弱，裂缝扩展主要受注水压力和地应力的影响，有较强的沿着初始方向扩展的趋势，因此，吸引距离较小，不同注水压力间的吸引距离相近且随溶洞内压增长的变化幅度较低。中、高溶洞内压时，溶洞对裂缝的吸引作用明显增强，相比于低内压溶洞吸引距离有大幅度提升，不同注水压力间的吸引距离差别明显。图11中各个溶洞内压下的结果均满足注水压力越大吸引距离越小的规律，表明溶洞内压恒定时，注水压力越大水力裂缝受溶洞吸引作用越弱。

图10 注水压力24 MPa不同溶洞内压裂缝扩展轨迹Fig.10 Crack propagation path of different cave internal pressure under water injection pressure of 24 MPa

图11 不同条件下溶洞对裂缝吸引距离Fig.11 Attraction distance of cave to fracture under different conditions

4 结论

基于一种新的流—固耦合求解器（TOUGH−AiFrac）基本原理，分别研究了注水压力和溶洞内压力对水力裂缝扩展的影响规律，得到了以下结论：

1）随着注水压力的增加，地应力对水力裂缝起裂方向的影响减小，裂缝更加倾向于沿着初始方向起裂。其中，1.6 倍水平最大主应力为裂缝起裂角临界水压值，注水压力小于该值时，起裂角受注水压力影响显著，变化幅度明显；注水压力大于该值后，起裂角变化幅度相对于前者显著变缓，起裂方向趋于稳定。

2）随着注水压力的增加，地应力对水力裂缝扩展路径的影响减小，裂缝扩展形态更加平滑。当注水压力达到2.4 倍水平最大主应力后，裂缝形态及偏转距离变化较小，趋于稳定。

3）溶洞内压越大，溶洞对水力裂缝的作用越强；内部压力达到2倍水平最大主应力的溶洞对水力裂缝的扩展存在吸引作用，且吸引作用随溶洞内压增加而增强，随注水压力增加而减弱。