巧用运算模型，联系算理和算法

【摘要】当下的小学计算教学，教师往往更加重视学生的计算正确率和计算的速度，而忽视了学生对算理的理解。文章重点谈谈模型思想在小学数学计算教学中的渗透和应用，旨在让教师发现对算理的理解有助于提高计算正确率和计算的速度。教师只有加深学生对各类运算模型的理解并有效迁移，理解算理和算法，才能有效提高学生的计算正确率和计算的速度。教师在小学数学计算教学中有意识地渗透模型思想，有助于培养学生的计算能力、应用意识和创新能力。

【关键词】模型思想;运算模型;定律模型;应用意识;创新能力

【基金项目】本文系福建省教育科学“十三五”规划2020年度课题“在小学数学教学中渗透模型思想的实践研究”（立项编号：FJJKCG20-150）的研究阶段性成果之一。

作者简介：吴谋友（1984—），男，福建省福州市城门中心小学（一级教师，曾获得福州市小学数学优质课现场评选一等奖）。

模型思想是《义务教育数学课程标准（2011年版）》的十大核心词之一。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，教师在教学中渗透模型思想有助于学生发现数学知识之间的联系与规律。学生可以从生活情境或数学情境中，提取数学信息，建立数学模型，解决问题，验证模型，发现数学模型的价值，并把发现和建立的模型应用到其他生活情境或数学情境中[1]。这样的数学建模活动有助于学生发现数学的学习方法和研究方法，有助于启发学生用数学的眼光观察生活，培养学生的应用意识和创新意识。计算教学中存在的数学模型是学生后续进行计算学习的原动力，数学计算模型有助于学生理解数学算理，培养学生的计算能力。在小学数学教学中，计算是重要的教学内容之一，也是学生在生活中必须掌握的一项技能。作为数学教学的一部分，计算教学还需要培养学生的数学思维能力、推理能力等数学素养。教师在小学计算教学中有意识地渗透模型思想，有助于培养学生的计算能力、应用意识和创新能力。

一、 巧用运算模型，理解算理，掌握计算方法

掌握计算方法的关键在于理解算理，理解了才能“通”，“通”才能“久”。如果学生不理解算理，只是单纯地模仿或记忆教师的算法，那么即便学生当下会计算，并且能正确地计算出结果，对后续学习也不能起到多少帮助，甚至会越学越糊涂，产生负迁移。教师在计算教学中，要有意识地提炼各类运算模型，让学生掌握各类运算模型的算理，进而能推广至其他同类的或相似的计算情境中去;开展一系列的数学活动，让学生理解整数、小数、分数的四则运算体系，把握运算规律，提升数学素养[2]。

例如，在人教版三年级数学上册“多位数乘一位数”这部分内容中，学生需要学习多位数乘一位数（不进位）的笔算乘法。教学中，教师可借助小棒、计数卡片等教具，让学生熟悉多位数乘一位数（不进位）的笔算乘法竖式的写法，理解乘法竖式中的加法竖式使用的是简洁形式（如图1所示）。

在此基础上，学生在学习进位乘法时（如14×3），就很容易想到4×3=12，10×3=30，向十位进一，所以得42。通过小棒图，学生可以更容易地理解个位满几个十，就要向十位进几。

又如，教师在教学人教版三年级数学下册“两位数乘两位数”这部分内容时，应善于利用学生之前学过的运算模型——多位数乘一位数的计算法则，让学生将已有经验有效迁移到新知识的学习中。如在教学14×12的竖式写法时，教师可以引导学生在点子图上分一分、圈一圈、画一画，并把想法用算式表示出来。通过操作，学生发现在计算14×12时，应先算14×2=28，再算14×10=140，最后算28+140=168（如图2所示）。之后，教师再引导学生归纳两位数乘两位数的算法。通过运算模型，学生很容易想到两位数乘两位数是多位数乘一位数的2.0版本，从算理上讲，两者之间的差异只是数位对齐的问题。学生明白了算理之后，在计算时就不容易出现将第二步的计算结果写错位置的错误。

在教学中，教师要善于引导学生对比两位数乘两位数和两位数乘一位数这两种运算的异同点，不断地体会算理的统一性及算法的相似性，体会到乘法计算即加法计算的累加。通过辨析、讨论，学生能自觉地将两位数乘两位数的算理和算法纳入自己的计算方法体系中，为将来学习三位数乘两位数积累经验和奠定基础。

二、 巧用定律模型，理解法则，提高简算能力

在小学阶段需要学习的运算定律中，乘法分配律是学生学习的重点，更是难点，特别是在辨析其与乘法结合律的区别上，令许多学生头疼。教师通过分析学生的错题可以发现，学生的错误主要是对运算定律的特征认识不够深入。而部分教师在教学中往往采用不完全归纳法，如a×c+b×c=（a+b）×c這样的例子，让学生发现这些算式的共同点，归纳总结出乘法分配律的定义与特点。笔者认为这样的教学缺少了一个环节，那就是分析及归纳乘法分配律的结构模型的环节。

例如，教师可以向学生展示乘法分配律的直观图（如图3所示）。通过直观图，学生可以很容易地理解5个4加3个4等于8个4，即5×4+3×4=（5+3）×4。这样直观的展示形式，不仅能揭示乘法与加法之间的联系，还能让学生更容易接受、理解相关知识。

在此基础上，教师可以再列举一些满足这种规律的等式，引导学生观察这些等式两边结构的异同点，如等式的左边有3个数，右边却有4个数;等式左边有括号，右边没有;等式右边出现了两个c……让学生体会“分配”二字的含义，进而总结出“（a+b）×c=a×c+b×c”（顺向应用）和“a×c+b×c=（a+b）×c”（逆向应用）这两个运算模型。

另外，教师还可以设计如下练习，提高学生对乘法分配律和乘法结合律这两个运算模型的辨别能力。

找一找哪些算式是相等的？

①25×（4×3）            ④25×4×3

②25×（4+3）          ⑤25×4+3

③25×4+25×3        ⑥25×4×25×3

教师可以借助模型思想，从运算定律的模型结构入手，加深学生对运算模型的直观认识，使学生对各种运算定律的结构模型印象深刻，培养学生由此及彼的推理能力，让学生感受知识的产生和发展过程。

三、 巧用“一题多变”，类比分析，体会估算价值

估算教学是小学数学计算教学的重要组成部分，但由于部分教师在教学中缺乏指导，或者一些习题的命题导向不清晰，导致部分学生错误地认为估算没有笔算准确，既然能准确算出结果，为什么还要进行估算呢？那么教师该如何避免这样的现象发生？如何让学生对估算产生需求，感受估算的优越性、简洁性和必要性？笔者认为，教师可通过“一题多变”，营造不同的教学情境，但需注意这些情境应符合估算的模型特征，符合学生的生活实际，具有一定的可操作性，给学生广阔的估算空间，让学生在“变”中了解估算的优势和必要性，体会估算模型的价值，培养学生在具体情境中应用估算的主动性，让学生学会求同存异。

例如，教师在教学加法估算时，可呈现如下情境。

1.妈妈去商店买衣服，一件衬衫54元，一件短裤43元，买这两件衣服，妈妈带90元够吗？（去尾法：50+40=90，不够。）

2.妈妈去商店买衣服，一件西服158元，一件长裤133元，买这两件衣服，妈妈带300元够吗？（进一法：160+140=300，够。）

3.妈妈去商店买衣服，因标签信息模糊了，只能看到一件衬衫5□元，一件短裤4□元，买这两件衣服，妈妈带100元够吗？（引导学生进行分类讨论，主要看个位的两数之和是否大于10。）

4.妈妈去商店买衣服，因标签信息模糊了，只能看到一件西服15□元，一件短裤14□元，买这两件衣服，妈妈至少带（   ）元才够。（这题是利用第3小题的结论进行估算的问题。）

只有教师设置的问题具有可行性和可操作性，学生才有兴趣参与到数学活动中去。有意义的“一题多变”，能帮助学生在“变”中找出“不变”，进而找出估算的方法。在这一过程中，教师要注意每一题不一定都引导学生采用四舍五入法进行估算。不论是四舍五入法、进一法还是去尾法，关键是方法需要适用于问题情境。

在此基础上，教师可以改变情境，引入更多物品的计算问题，可呈現如下情境。

妈妈带100元去超市购物。她买了1袋大米，花了61.8元;还买了1kg肉，花了26.4元。

1.剩下的钱够买一盒10元的鸡蛋吗？（把一个或两个数据估大或是一个估大、一个不变。）

2.剩下的钱够买一盒20元的鸡蛋吗？（把一个或两个数据估小或是一个估小、一个不变。）

创设“一题多变”情境，拓展了学生的思维空间，激发了学生学习估算的内在动力，同时能让学生在分析、类比、拓展、归纳、总结等活动中体会估算模型在不同问题情境中的应用，有助于培养学生的思辨能力和创新能力。

四、 巧用“一题多解”，发散思维，优化运算模型

计算教学中的“一题多解”，即计算方法多样化。日常教学中，教师往往只重视计算方法的“多”，不求计算方法的“精”，也就是说，在渗透模型思想时，没有反思各类计算模型的优缺点，这样的教学会影响学生更好地改进计算方法[3]。教师在计算教学中，应有意识地渗透模型思想，引导学生对建模的全过程进行反思，使学生在观察、讨论、分析等活动中逐步领悟相关知识，获得自我体验，最终找到具有普遍性、规律性、持久性的适合自己的算法，实现算法的优化。

例如，人教版一年级数学教材中有关20以内退位减法的计算方法很多，教师在教学时关键是要让学生自主选择最佳的计算模型。教师可先让学生结合操作分析算理，然后说明算理内容，在这一过程中，学生的思维层次能不断提升，知识不断内化，很容易感受到平十法和破十法（如图4所示）在计算中的优势，从而达到算法的优化。在此基础上，教师要善于引导学生回顾和思考，使学生认识到不论是平十法还是破十法，都是把新知识转化为旧知识的过程，即10以内的减法。学生可以体会到10以内的减法和20以内退位减法的模型意义，并认识到此类模型可推广到其他的减法中，为将来学习多位数的减法、小数减法、分数减法等内容打下基础。

再如，在人教版四年级数学下册“运算定律与简便计算”单元的学习中，学生在计算中经常出现关于乘法分配律与乘法结合律的错误，如25×（4+40）=25×4+40;67×38+62×67=（38+62）×（67+67）;125×32×25=125×8+4×25;99×99=99×100-1，为了让学生了解乘法分配律和乘法结合律的运算模型的异同点，找出错误的原因，笔者设计了“一题多解”环节，让学生用多种计算方法解题，体会不同的算法和思维过程。如学生在计算125×48这一算式时，运用了以下3种方法：125×8×6，125×（40+8），（125×8）×（48÷8）。通过对不同算法的梳理与比较，学生能够针对模型的特点再次进行总结，对运算模型结构进行完善。

综上所述，教师要充分运用各类运算模型来揭示数学计算中的本质和联系，在教学中向学生渗透模型思想，引导学生借助模型去学习和思考数学知识。教师要具备培养学生模型思想的自觉意识，将模型思想的培养工作自始至终落实到数学计算教学的每个环节中，培养学生的创新意识和数学素养。

【参考文献】

中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

邹颖军.基于核心素养，培养学生的计算能力[J].小学教学参考，2020（26）：93-94.

谢碧瑾.发散性思维在小学计算教学中的应用研究[J].小学教学参考，2020（11）：68-69.