透视“最短路径”，探索思路突破

王律奇

[摘  要] “蚂蚁爬行最短路径”是中考的常考题型，问题将三视图与空间几何相结合，考查空间转化和实际应用. “两点之间，线段最短”是破题的核心定理，解题时需要在展开图形中构建直角三角形，利用勾股定理来求线段长. 文章结合2021年南京市的中考压轴题，开展解题探究，并进一步总结拓展.

[关键词] 几何;最短路径;展开;旋转体

“蚂蚁爬行最短路径”在中考中时有出现，该类问题将几何体与平面图形有机结合，实现了简单的空间转化，可考查三视图、平面几何相关知识以及思维转化能力，下面进行具體探究.

考题呈现，背景揭示

1. 考题呈现

考题  （2021年江苏省南京市中考数学卷第27题）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？

（1）如图1所示，圆锥的母线长为12 cm，B为母线OC的中点，点A在底面圆周上，的长为4π cm. 在图2所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）.

（2）如图3所示，该几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成. O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上. 设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h.

①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为________（用含l，h的代数式表示）.

②设的长为a，点B在母线OC上，OB=b. 圆柱的侧面展开图如图4所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路.

2. 背景揭示

本题目中蚂蚁从几何体的某一点出发，沿着表面爬行到另一点，求最短路径，属于典型的“几何体表面线段最值”问题. 问题突破需要学生具备较强的空间想象能力，以及良好的学科素养. 对于蚂蚁在几何体表面爬行问题，学生解析时通常需将几何体展开成平面，然后运用勾股定理来计算最短路程，即利用“化曲为平”“化折为直”的思想来解决.

需要注意的是，几何平面展开的方式有多种，不同方式可形成不同的爬行路径，故需要理性思考、操作实践、分类总结，才可以确定方案，形成策略. 同时要注重数形结合的解题思想，深刻理解“两点之间，线段最短”原理的内涵.

考题分析，思路突破

上述探究几何体表面蚂蚁爬行中的最短路径，最显著的特点是涉及了圆锥体，其表面展开为扇形，必然含有圆弧，问题解析需要学生掌握圆弧的相关知识，下面进行具体探究.

1. 初探第（1）问

该问中的几何体为单圆锥，题干中直接呈现了圆锥展开的平面图——扇形，需要构建几何体与平面之间的关联.

求由点A爬行到点B的距离，根据“两点之间，线段最短”可知在平面图中就为线段AB的长.

连接OA，AC，如图5所示. 设∠AOC=n°，由于圆锥的母线长为12 cm，的长为4π cm，由弧长公式可得=4π，解得n=60. 因为OA=OC=12，所以△OAC为等边三角形. B是母线OC上的中点，由“三线合一”可知AB⊥OC. 在Rt△ABO中，AB=OA·sin60°=6.

评析  上述题设较为简单，只需建立几何体表面与平面图形之间的关联，利用对应定理即可确定最短距离. 本质上为简单的平面几何问题，突破的关键是分析△ACO的特性.

2. 深探第（2）问

该问设定几何体为圆锥和圆柱的组合，需要注意两点：一是两几何体展开后的平面图形，即圆锥展开为扇形，而圆柱展开为长方形;二是平面图形之间的关联，扇形的圆弧长=长方形的一边长. 探究几何体表面两点之间的距离，体现在平面中即为两点之间的距离.

①该问求点A到点O的最短距离，其中A为圆柱体底面圆周上一点，O为圆锥的顶点，观察可知最短路径为：先沿着过点A且垂足于底面的直线爬行到圆柱上底面圆周上，再沿着圆锥母线爬行到顶点O上，显然最短路径长就为母线长l加上圆柱的高h，即l+h.

②该问求点A到点B的最短距离，其中点B在母线OC上，需要画出点A到点B的最短路径，体现在平面中只需连接AB即可. 该问的特点是不需要求AB长，但需写出相应的解题思路，思路需要体现两点：一是求解点、线的顺序;二是呈现求点、线的具体模型、定理、公式.

求最短路径长的思路如下：如图6所示，连接OG，过点G作AD的垂线OF，垂足为F，由题意可知OG=OC=l，GF=C′D=h，OB=b. 求解顺序如下：

①由于的长为a，则展开后线段AD=a，可设线段C′G=x，则弧长=x，结合母线长l可求出∠COG.

②再过点B作OG的垂线BE，垂足为E. 因为OB=b，在Rt△OEB中使用三角函数，可求出OE和BE的长，从而可得到GE的长，利用勾股定理即可表示出BG的长.

③由于FD=C′G=x，则可得AF=a-x，在Rt△AGF中，用勾股定理可表示AG. 由AF+FH可得AH，由EG+GF可得HB.

④由于“两点之间，线段最短”，故需要求A，G，B三点共线，在Rt△ABH中，由勾股定理可得AB2=AH2+BH2，代入线段长可构建关于x的方程，即可求得x的值.

⑤再将x的值回代到BG和AG中，求其和即可得到最短路径长.

评析  上述第（2）问同样是求几何体表面两点之间的距离，其特殊之处在于两点位置一般，需要学生在展开的平面中构建模型. 其中第（2）问更为新颖，利用圆柱和圆锥构建了组合体，侧面展开图则为扇形和长方形的组合. 问题解析全方位呈现了思路构建的过程，对学生的思维有着较高的要求，虽简略了解题过程，但考查思路更具挑战性.

解后总结，拓展关联

1. 解后总结

“蚂蚁爬行问题”属于几何情景问题，将立体几何与平面几何充分结合起来，问题考查三大方面：一是立体几何与三视图;二是几何的知识定理;三是数学几何在实际中的应用. “两点之间，线段最短”是破解“最短路径”问题的核心定理. 基于几何体，可将问题分为两大类型：一是旋转体，如上述所涉及的圆锥、圆柱，此外还有球体等;二是非旋转体，如常见的棱柱、棱锥. 问题解析需要学生关注不同类型几何体的展开图，掌握对应的三视图.

类型一：旋转体，需要重点掌握圆锥和圆柱的展开图，圆锥的侧面展开图为扇形，几何体与展开图的关联如下：①圆锥体的母线→扇形的半径;②圆锥体底面周长→扇形圆弧长. 而圆柱的展开图为长方形，几何体与展开图的关联如下：①圆柱的高→长方形的宽;②圆柱的底面周长→长方形的长.

类型二：非旋转体，需要重点掌握棱柱和棱锥，两者展开均为几何常见的图形，对于规则的棱柱则为长方形，可直接利用平面几何知识分析;对于一般的棱锥，则可以考虑直接沿着一条侧棱展开，则展开图为三角形的串联组合，连接相关点，构建三角形即可求解最短线段.

2. 拓展关联

考题属于“蚂蚁爬行问题”中的类型一——旋转体，下面结合一道例题进一步探究类型二——非旋转体的突破过程.

例如图7所示，正方体的棱长为2，一只蚂蚁在顶点A处，在顶点G处有一粒米.

（1）若蚂蚁要吃到这粒米，需要爬行的最短距離为多少？

（2）若蚂蚁刚准备出发时，突然一阵风将米粒吹到了GF的中点M处，蚂蚁要想吃到该粒米需要爬行的最短距离为多少？

分析：正方体的侧面展开图为长方形，在长方形中连接相关点，构建直角三角形，利用勾股定理求解即可.

（1）该情形长方体的侧面展开图如图8所示，连接AG，则AG的长就为最短路径. 因为正方体的棱长为2，所以AC=4，CG=2，在Rt△ACG中，由勾股定理可得AG==2，即蚂蚁要吃到这粒米，需要爬行的最短距离为2.

（2）米粒位于点M处，而M为FG的中点，则侧面展开图如图9所示.

由题意可知AN=AB+BN=3，MN=2，在Rt△AMN中，由勾股定理可得AM==，即蚂蚁要吃到这粒米，需要爬行的最短距离为.

评析  上述考题以正方体为背景，“线段最短”与“勾股定理”组合是问题的根本所在，掌握其侧面展开图是解题的关键. 对于几何体中的点，学生解题时需要将其定位到展开图中，依托几何图形的性质来研究线段长.

写在最后

“蚂蚁爬行最短路径”问题在中考中十分常见，可全面考查学生的空间几何观以及几何分析转化能力. 将几何体展开是解题的首选方法，可实现问题的平面化，问题解析要关注其中的特殊位置，以其为纽带构建模型.

该类问题较为新颖，源于教材，又高于教材，问题中蕴含了丰富的几何知识和数学思想. 教学中教师要指导学生掌握解题的核心定理，合理渗透数学的化归转化、模型思想等，引导学生体验解题过程，体会思路构建，提升学生的解题思维，培养学生的空间几何观.